Evaluare Națională 2022, matematică: test de antrenament 4

Subiectul I, 1)

Răspuns corect: b) $19$

• Cel mai mic număr prim este $2$.
• Diferența cerută este: $21-2=19$.

---

Subiectul I, 2)

Răspuns corect: b) $1$

• Ecuația este $\frac{1}{x}=1$.
• Înmulțind cu $x$ (unde $x$ este număr natural nenul), obținem $x=1$.

---

Subiectul I, 3)

Răspuns corect: d) $1$

• Numerele întregi din intervalul $(-3,4]$ sunt: $\{-2,-1,0,1,2,3,4\}$.
• Numărul de elemente este $7$.
• Suma lor este:
  $$S=(-2)+(-1)+0+1+2+3+4=7$$
• Media aritmetică este:
  $$m_a=\frac{7}{7}=1$$

---

Subiectul I, 4)

Răspuns corect: c) $\{0,1,2,5\}$

• Pentru ca $\frac{6}{x+1}\in \mathbb{N}$, numitorul $x+1$ trebuie să fie un divizor natural al lui $6$.
• Divizorii naturali ai lui $6$ sunt $D_6=\{1,2,3,6\}$.
• Rezolvăm pentru fiecare valoare:
  • $x+1=1⟹x=0\in \mathbb{N}$
  • $x+1=2⟹x=1\in \mathbb{N}$
  • $x+1=3⟹x=2\in \mathbb{N}$
  • $x+1=6⟹x=5\in \mathbb{N}$
• Mulțimea valorilor căutate este $\{0,1,2,5\}$.

---

Subiectul I, 5)

Răspuns corect: c) Matei

• Deoarece $4\sqrt{3}>0$, avem $7+4\sqrt{3}>7-4\sqrt{3}$, adică $y>x$.
• Cel mai mare număr este $y$, iar cel mai mic număr este $x$.
• Diferența dintre cel mai mare și cel mai mic este:
  $$y-x=(7+4\sqrt{3})-(7-4\sqrt{3})=7+4\sqrt{3}-7+4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$$
• Matei a obținut rezultatul $8\sqrt{3}$, deci el a calculat corect.

---

Subiectul I, 6)

Răspuns corect: b) falsă

• Bogdan are $100$ de lei, deci jumătate din suma lui este $100:2=50$ lei.
• Dacă îi dă acești bani lui Adrian:
  • Adrian ar avea: $150+50=200$ lei.
  • Lui Bogdan i-ar rămâne: $100-50=50$ lei.
• Dublul sumei care i-ar rămâne lui Bogdan este: $2\times 50=100$ lei.
• Cum $200\ne 100$, afirmația lui Adrian este falsă.

---

Subiectul al II-lea, 1)

Răspuns corect: d) $4$

• Fie lungimea segmentului $AB=x$. Atunci $BC=2x$.
• Punctul $C$ este mijlocul segmentului $BD$, deci $CD=BC=2x$.
• Lungimea segmentului $AC=AB+BC=x+2x=3x$.
• Punctul $C$ este mijlocul segmentului $AE$, deci $CE=AC=3x$.
• Atunci $DE=CE-CD=3x-2x=x$.
• Segmentele au lungimile: $AB=x$, $DE=x$, $BC=2x$, $CD=2x$, $AC=3x$, $CE=3x$, $AD=AB+BD=x+4x=5x$, $BE=BC+CE=2x+3x=5x$.
• Perechile de segmente congruente sunt:
  1. $(AB,DE)$ — ambele au lungimea $x$
  2. $(BC,CD)$ — ambele au lungimea $2x$
  3. $(AC,CE)$ — ambele au lungimea $3x$
  4. $(AD,BE)$ — ambele au lungimea $5x$
• Numărul perechilor de segmente congruente este $4$.

---

Subiectul al II-lea, 2)

Răspuns corect: c) $50^{\circ }$

• Dreptele $OE$ și $OC$ sunt perpendiculare, deci $\sphericalangle EOC=90^{\circ }$.
• Cum punctul $D$ este între semidreptele $OE$ și $OC$, avem:
  $$\sphericalangle DOC=\sphericalangle EOC-\sphericalangle DOE=90^{\circ }-50^{\circ }=40^{\circ }$$
• Semidreapta $OC$ este bisectoarea unghiului $DOB$, deci $\sphericalangle DOB=2\cdot \sphericalangle DOC=2\cdot 40^{\circ }=80^{\circ }$.
• Punctele $A,O,B$ fiind coliniare, unghiul $\sphericalangle AOB$ are $180^{\circ }$.
• Atunci:
  $$\sphericalangle AOD=180^{\circ }-\sphericalangle DOB=180^{\circ }-80^{\circ }=100^{\circ }$$
• Măsura unghiului $\sphericalangle AOE$ este:
  $$\sphericalangle AOE=\sphericalangle AOD-\sphericalangle DOE=100^{\circ }-50^{\circ }=50^{\circ }$$

---

Subiectul al II-lea, 3)

Răspuns corect: c) $\sqrt{3}\text{ cm}$

• În triunghiul dreptunghic $ABC$ (cu $\sphericalangle A=90^{\circ }$), segmentul $AM$ este mediana corespunzătoare ipotenuzei $BC$, prin urmare:
  $$BC=2\cdot AM=2\cdot 3=6\text{ cm}$$
• Punctul $M$ fiind mijlocul lui $BC$, avem $MC=\frac{BC}{2}=3\text{ cm}$.
• Triunghiul $NMC$ este dreptunghic în $M$ ($MN\perp BC$) și are $\sphericalangle C=30^{\circ }$.
• În triunghiul dreptunghic $NMC$:
  $$\mathrm{tg}(\sphericalangle C)=\frac{MN}{MC}⟹\mathrm{tg}(30^{\circ })=\frac{MN}{3}⟹\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{MN}{3}⟹MN=\sqrt{3}\text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 4)

Răspuns corect: b) $106{\text{ m}}^2$

• Fie $h$ înălțimea trapezului $ABCD$.
• Aria trapezului este:
  $${\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}\cdot h=EF\cdot h=424{\text{ m}}^2$$
• Linia mijlocie $EF$ este paralelă cu bazele trapezului și se află la distanța $\frac{h}{2}$ de baza mică $CD$.
• Astfel, înălțimea triunghiului $CEF$ corespunzătoare bazei $EF$ este $h^{\prime }=\frac{h}{2}$.
• Aria triunghiului $CEF$ este:
  $${\mathcal{A}}_{CEF}=\frac{EF\cdot h^{\prime }}{2}=\frac{EF\cdot \frac{h}{2}}{2}=\frac{EF\cdot h}{4}=\frac{424}{4}=106{\text{ m}}^2$$

---

Subiectul al II-lea, 5)

Răspuns corect: a) $55^{\circ }$

• Deoarece $AB$ este diametru, punctele $A,O,B$ sunt coliniare, iar arcul $\text{overarc}AB$ are măsura de $180^{\circ }$.
• Unghiul la centru $\sphericalangle DOB=70^{\circ }$, deci măsura arcului mic $\text{overarc}DB$ este de $70^{\circ }$.
• Măsura arcului mic $\text{overarc}AD$ este:
  $$\text{m}(\text{overarc}AD)=180^{\circ }-\text{m}(\text{overarc}DB)=180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$$
• Unghiul $\sphericalangle ACD$ este un unghi înscris în cerc care subîntinde arcul $\text{overarc}AD$, așadar:
  $$\sphericalangle ACD=\frac{\text{m}(\text{overarc}AD)}{2}=\frac{110^{\circ }}{2}=55^{\circ }$$

---

Subiectul al II-lea, 6)

Răspuns corect: a) $8\text{ dm}$

• Baza piramidei este pătratul $ABCD$ cu latura $AB=\sqrt{2}\text{ dm}$.
• Diagonala bazei este:
  $$BD=AB\sqrt{2}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2\text{ dm}$$
• Triunghiul $VBD$ este echilateral, prin urmare muchiile laterale $VB$ și $VD$ sunt congruente cu $BD$:
  $$VB=VD=BD=2\text{ dm}$$
• Într-o piramidă regulată, toate muchiile laterale sunt egale: $VA=VB=VC=VD=2\text{ dm}$.
• Suma lungimilor celor patru muchii laterale este:
  $$4\times 2\text{ dm}=8\text{ dm}$$

---

Subiectul al III-lea, 1)

a)

• Dacă numărul apartamentelor cu $2$ camere ar fi egal cu cel al apartamentelor cu $3$ camere, atunci ar fi câte $40:2=20$ de apartamente din fiecare tip. (1p)
• Numărul total de camere ar fi:
  $$20\cdot 2+20\cdot 3=40+60=100\text{ camere}$$
  Cum $100\ne 110$, deducem că nu este posibil ca numărul apartamentelor cu două camere să fie egal cu numărul apartamentelor cu trei camere. (1p)

b)

• Notăm cu $x$ numărul apartamentelor cu $2$ camere și cu $y$ numărul apartamentelor cu $3$ camere:
  $$\{\begin{array}{l}x+y=40\\ 2x+3y=110\end{array}$$ (1p)
• Din prima relație avem $y=40-x$. Înlocuind în a doua relație:
  $$2x+3(40-x)=110$$ (1p)
• Rezolvăm ecuația:
  $$2x+120-3x=110⟹-x=110-120⟹-x=-10⟹x=10$$
  Deci în bloc sunt $10$ apartamente cu $2$ camere. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 2)

a)

• Calculăm $E(-1)$:
  $$E(-1)={\left(-(-1)+(-1{)}^2\right)}^2+4(-1{)}^3=(1+1{)}^2+4(-1)=2^2-4=4-4=0$$ (1p)
• Calculăm $E(0)$:
  $$E(0)={\left(-0+0^2\right)}^2+4\cdot 0^3=0+0=0$$
  De unde rezultă că $E(-1)=E(0)=0$. (1p)

b)

• Simplificăm expresia $E(x)$:
  $$E(x)=(x^2-x{)}^2+4x^3=x^4-2x^3+x^2+4x^3=x^4+2x^3+x^2=(x^2+x{)}^2$$ (1p)
• Pentru orice număr natural nenul $n$, avem $n^2+n>0$, deci:
  $$\sqrt{E(n)}=\sqrt{(n^2+n{)}^2}=n^2+n=n(n+1)$$ (1p)
• Folosind descompunerea în fracții simple $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$, suma devine telescopică:
  $$\frac{1}{\sqrt{E(1)}}+\frac{1}{\sqrt{E(2)}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{E(n)}}=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}$$
  $$=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$$
• Egalitatea dată devine:
  $$\frac{n}{n+1}=\frac{2021}{2022}⟹n=2021$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 3)

a)

• Aflăm valorile funcției:
  $$f(0)=2-0=2$$ (1p)
  $$f(2)=2-2=0$$
• Calculăm expresia:
  $$\frac{f(0)-f(2)}{2}=\frac{2-0}{2}=\frac{2}{2}=1$$ (1p)

b)

• Aflăm coordonatele punctelor de intersecție cu axele:
  • Cu axa $Ox$: $f(x)=0⟹2-x=0⟹x=2$, deci $A(2,0)$.
  • Cu axa $Oy$: $x=0⟹y=f(0)=2$, deci $B(0,2)$. (1p)
• Fie $M$ mijlocul segmentului $AB$. Coordonatele lui $M$ sunt:
  $$x_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{2+0}{2}=1,y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{0+2}{2}=1⟹M(1,1)$$ (1p)
• Punctul $C$ are coordonatele $C(-4,0)$. Distanța $CM$ este:
  $$CM=\sqrt{(x_M-x_C{)}^2+(y_M-y_C{)}^2}=\sqrt{(1-(-4){)}^2+(1-0{)}^2}=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}\text{ cm}$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 4)

a)

• În triunghiul $ABD$ dreptunghic în $A$, aplicăm teorema lui Pitagora:
  $$BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\text{ cm}$$ (1p)
• Perimetrul triunghiului $ABD$ este:
  $${\mathcal{P}}_{ABD}=AB+AD+BD=8+6+10=24\text{ cm}$$ (1p)

b)

• Triunghiul $BCD$ este dreptunghic în $C$ ($CD=8\text{ cm}$, $BC=6\text{ cm}$, $BD=10\text{ cm}$).
• Deoarece $M$ este mijlocul laturii $CD$, avem $DM=\frac{CD}{2}=4\text{ cm}$.
• În triunghiurile dreptunghice $△MND$ și $△BCD$, unghiul $\sphericalangle D$ este comun, deci $△MND\sim △BCD$ (cazul U.U.). Raportul ariilor lor este egal cu pătratul raportului de asemănare:
  $$\frac{{\mathcal{A}}_{MND}}{{\mathcal{A}}_{BCD}}={\left(\frac{DM}{BD}\right)}^2={\left(\frac{4}{10}\right)}^2=\frac{16}{100}=\frac{4}{25}⟹{\mathcal{A}}_{MND}=\frac{4}{25}\cdot {\mathcal{A}}_{BCD}$$ (1p)
• Aria triunghiului $BCD$ este:
  $${\mathcal{A}}_{BCD}=\frac{BC\cdot CD}{2}=\frac{6\cdot 8}{2}=24{\text{ cm}}^2$$
  Atunci ${\mathcal{A}}_{MND}=\frac{4}{25}\cdot 24=\frac{96}{25}=3,84{\text{ cm}}^2$.
• În triunghiul $CND$, segmentul $NM$ este mediană, deci împarte triunghiul în două triunghiuri de arii egale: ${\mathcal{A}}_{CMN}={\mathcal{A}}_{MND}=3,84{\text{ cm}}^2$. (1p)
• Aria triunghiului $BCN$ este:
  $${\mathcal{A}}_{BCN}={\mathcal{A}}_{BCD}-{\mathcal{A}}_{MND}-{\mathcal{A}}_{CMN}=24-2\cdot 3,84=24-7,68=16,32{\text{ cm}}^2$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 5)

a)

• Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$, deci $BM=\frac{BC}{2}=\frac{8}{2}=4\text{ cm}$.
• În triunghiul echilateral $ABC$, $\sphericalangle B=60^{\circ }$.
• Triunghiul $BMP$ este dreptunghic în $P$ ($MP\perp AB$), deci $\sphericalangle BMP=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$. (1p)
• Conform teoremei unghiului de $30^{\circ }$:
  $$BP=\frac{BM}{2}=\frac{4}{2}=2\text{ cm}$$ (1p)

b)

• Deoarece $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $BC$ și respectiv $AC$, segmentul $MN$ este linie mijlocie în triunghiul $ABC$:
  $$MN=\frac{AB}{2}=\frac{8}{2}=4\text{ cm}$$ și $MN\parallel AB$.
• În $△BMP$, aplicând teorema lui Pitagora:
  $$MP=\sqrt{B{M}^2-B{P}^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\text{ cm}$$ (1p)
• Cum $MN\parallel AB$ și $MP\perp AB$, rezultă direct că $MP\perp MN$, deci $\sphericalangle PMN=90^{\circ }$.
• În triunghiul dreptunghic $PMN$, aplicăm teorema lui Pitagora:
  $$PN=\sqrt{M{P}^2+M{N}^2}=\sqrt{(2\sqrt{3}{)}^2+4^2}=\sqrt{12+16}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}\text{ cm}$$ (1p)
• Comparăm $PN=2\sqrt{7}\text{ cm}$ cu $3\sqrt{3}\text{ cm}$:
  $$(2\sqrt{7}{)}^2=28,(3\sqrt{3}{)}^2=27$$
  Cum $28>27$, rezultă că $2\sqrt{7}>3\sqrt{3}$, adică $PN>3\sqrt{3}\text{ cm}$. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 6)

a)

• Volumul cubului cu latura $AB=6\text{ cm}$ este:
  $$V_{\text{cub}}=A{B}^3=6^3=216{\text{ cm}}^3$$ (1p)
• Transformăm în litri ($1{\text{ dm}}^3=1\text{ litru}=1000{\text{ cm}}^3$):
  $$V_{\text{cub}}=216{\text{ cm}}^3=0,216{\text{ dm}}^3=0,216\text{ litri}$$
  Cum $0,216>0,2$, rezultă că volumul cubului este mai mare decât $0,2\text{ litri}$. (1p)

b)

• Avem $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$ și $B^{\prime }{C}^{\prime }\subset (A^{\prime }BC)$, deci $A^{\prime }{D}^{\prime }\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$. Cum $A^{\prime }{D}^{\prime }\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ (dreapta $A^{\prime }{D}^{\prime }$ este perpendiculară pe două drepte concurente ale feței laterale: $A^{\prime }A$ și $A^{\prime }{B}^{\prime }$), rezultă că planul $(A^{\prime }BC)$ care conține dreapta $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel A^{\prime }{D}^{\prime }$ este perpendicular pe fața $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$.
• Fie $M$ mijlocul segmentului $A^{\prime }B$. Deoarece $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ este pătrat, diagonalele sunt perpendiculare, deci $AM\perp A^{\prime }B$.
• Deoarece $(A^{\prime }BC)\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ după dreapta $A^{\prime }B$ și $AM\perp A^{\prime }B$, rezultă că $AM\perp (A^{\prime }BC)$. (1p)
• Proiecția punctului $A$ pe planul $(A^{\prime }BC)$ este $M$.
• Punctul $Q$ este mijlocul segmentului $A^{\prime }D$. Dreapta $A{D}^{\prime }$ este paralelă cu $B{C}^{\prime }$ și $A^{\prime }D\perp A{D}^{\prime }$, etc., dar mai simplu: dreapta $AQ$ este chiar dreapta $A{D}^{\prime }$ (deoarece $Q\in A^{\prime }D$, diagonalele feței $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ se intersectează în $Q$, deci $Q$ este și mijlocul segmentului $A{D}^{\prime }$).
• Prin urmare, dreapta $AQ$ este aceeași cu dreapta $A{D}^{\prime }$.
• Unghiul dintre dreapta $AQ$ și planul $(A^{\prime }BC)$ este unghiul dintre dreapta $A{D}^{\prime }$ și planul $(A^{\prime }BC)$.
• Cum $D^{\prime }C\parallel A^{\prime }B\subset (A^{\prime }BC)$ și $A{D}^{\prime }\parallel B{C}^{\prime }\subset (A^{\prime }BC)$, dar proiecția lui $A$ pe $(A^{\prime }BC)$ este $M$, iar $D^{\prime }$ se proiectează într-un punct simetric, proiecția dreptei $A{D}^{\prime }$ pe $(A^{\prime }BC)$ formează cu $A{D}^{\prime }$ unghiul $\sphericalangle (A{D}^{\prime },M{D}^{\prime })$.
• În triunghiul dreptunghic $A{D}^{\prime }M$ (cu $AM\perp (A^{\prime }BC)$ și $M{D}^{\prime }\subset (A^{\prime }BC)⟹AM\perp M{D}^{\prime }$):
  • Ipotenuza $A{D}^{\prime }$ este diagonala unei fețe a cubului: $A{D}^{\prime }=6\sqrt{2}\text{ cm}$.
  • Cateta $AM$ este jumătatea diagonalei feței: $AM=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\text{ cm}$. (1p)
  • Avem $\sin (\sphericalangle A{D}^{\prime }M)=\frac{AM}{A{D}^{\prime }}=\frac{3\sqrt{2}}{6\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$.
  • Rezultă că $\sphericalangle A{D}^{\prime }M=30^{\circ }$.
• Așadar, măsura unghiului dintre dreapta $AQ$ și planul $(A^{\prime }BC)$ este egală cu $30^{\circ }$. (1p)

EVALUAREA NAȚIONALĂ PENTRU ABSOLVENȚII CLASEI a VIII-a

Anul școlar 2021 – 2022

Matematică

Testul 4

---

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Diferența dintre numărul $21$ și cel mai mic număr prim este egală cu:

• a) $18$
• b) $19$
• c) $20$
• d) $21$

5p 2. Numărul natural nenul $x$ pentru care $\frac{1}{x}=1$ este egal cu:

• a) $-1$
• b) $1$
• c) $2$
• d) $3$

5p 3. Media aritmetică a numerelor întregi din intervalul $(-3,4]$ este egală cu:

• a) $0$
• b) $\frac{1}{2}$
• c) $\frac{4}{7}$
• d) $1$

5p 4. Mulțimea valorilor naturale ale lui $x$ pentru care $\frac{6}{x+1}$ este număr natural este:

• a) $\{-7,-4,-3,-2,0,1,2\}$
• b) $\{0,1,2,3,5\}$
• c) $\{0,1,2,5\}$
• d) $\{1,2,5\}$

5p 5. Andrei, Dina, Matei și Nora calculează diferența dintre cel mai mare și cel mai mic dintre numerele reale $x=7-4\sqrt{3}$ și $y=7+4\sqrt{3}$. Rezultatele obținute de ei sunt trecute în tabelul următor:

Andrei	$-8\sqrt{3}$
Dina	$0$
Matei	$8\sqrt{3}$
Nora	$14$

Dintre cei patru elevi, cel care a calculat corect diferența este:

• a) Andrei
• b) Dina
• c) Matei
• d) Nora

5p 6. Adrian are $150$ de lei, iar Bogdan are $100$ de lei. Adrian afirmă: „Dacă Bogdan mi-ar da jumătate din suma lui, atunci aș avea dublul sumei care i-ar rămâne lui Bogdan.” Afirmația lui Adrian este:

• a) adevărată
• b) falsă

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura alăturată sunt reprezentate punctele distincte coliniare $A,B,C,D$ și $E$, astfel încât punctul $C$ este și mijlocul segmentului $AE$ și mijlocul segmentului $BD$. Dacă $BC=2\cdot AB$, atunci numărul perechilor de segmente congruente, determinate de punctele date, este egal cu:

• a) $1$
• b) $2$
• c) $3$
• d) $4$

[Figura: O dreaptă pe care sunt situate în ordine punctele A, B, C, D, E]

5p 2. În figura alăturată sunt reprezentate punctele coliniare $A,O$ și $B$. Punctele $C,D$ și $E$ sunt situate de aceeași parte a dreptei $AB$, astfel încât semidreapta $OC$ este bisectoarea unghiului $DOB$. Dreptele $OE$ și $OC$ sunt perpendiculare și măsura unghiului $DOE$ este de $50^{\circ }$. Măsura unghiului $AOE$ este egală cu:

• a) $30^{\circ }$
• b) $40^{\circ }$
• c) $50^{\circ }$
• d) $100^{\circ }$

[Figura: Punctele A, O, B coliniare, semidreptele OE, OD, OC situate de aceeași parte a dreptei AB, cu OC bisectoarea unghiului DOB și OE perpendicular pe OC]

5p 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$, iar $AM=3\text{ cm}$. Măsura unghiului $C$ este egală cu $30^{\circ }$, iar dreptele $MN$ și $BC$ sunt perpendiculare. Lungimea segmentului $MN$ este egală cu:

• a) $\frac{\sqrt{3}}{2}\text{ cm}$
• b) $1,5\text{ cm}$
• c) $\sqrt{3}\text{ cm}$
• d) $3\text{ cm}$

[Figura: Triunghiul dreptunghic ABC cu unghiul drept în A, M mijlocul ipotenuzei BC, N pe cateta AC astfel încât MN este perpendicular pe BC]

5p 4. Figura alăturată reprezintă schița unui teren în formă de trapez $ABCD$ cu suprafața de $424{\text{ m}}^2$. Dacă $EF$ este linia mijlocie a trapezului $ABCD$, atunci aria triunghiului $CEF$ este:

• a) $53{\text{ m}}^2$
• b) $106{\text{ m}}^2$
• c) $207{\text{ m}}^2$
• d) $212{\text{ m}}^2$

[Figura: Trapezul ABCD cu baza mare AB și baza mică CD, linia mijlocie EF cu E pe BC și F pe AD, triunghiul CEF hașurat]

5p 5. Punctele $A,B,C$ și $D$ sunt situate pe un cerc de centru $O$, astfel încât punctele $A$ și $B$ sunt diametral opuse, segmentele $AB$ și $CD$ sunt concurente, iar măsura unghiului $DOB$ este de $70^{\circ }$. Măsura unghiului $ACD$ este egală cu:

• a) $55^{\circ }$
• b) $70^{\circ }$
• c) $110^{\circ }$
• d) $180^{\circ }$

[Figura: Cercul de centru O cu diametrul AB, coarda CD intersectând AB, unghiul la centru DOB de 70 de grade și unghiul înscris ACD]

5p 6. În figura alăturată este reprezentată o piramidă regulată $VABCD$, cu baza pătratul $ABCD$. Dacă triunghiul $VBD$ este echilateral și $AB=\sqrt{2}\text{ dm}$, atunci suma lungimilor muchiilor laterale ale piramidei este egală cu:

• a) $8\text{ dm}$
• b) $8\sqrt{2}\text{ dm}$
• c) $4\sqrt{2}\text{ dm}$
• d) $6\text{ dm}$

[Figura: Piramidă patrulateră regulată VABCD cu secțiunea diagonală VBD pusă în evidență]

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrie rezolvările complete. (30 de puncte)

5p 1. Într-un bloc de locuințe sunt $110$ camere, repartizate în $40$ de apartamente cu $2$, respectiv cu $3$ camere.

• (2p) a) Este posibil ca numărul apartamentelor cu două camere din acel bloc să fie egal cu numărul apartamentelor cu trei camere? Justifică răspunsul dat.
• (3p) b) Determină numărul apartamentelor cu $2$ camere din acest bloc.

5p 2. Se consideră expresia $E(x)=(-x+x^2{)}^2+4x^3$, unde $x$ este număr real.

• (2p) a) Arată că $E(-1)=E(0)$.
• (3p) b) Determină numărul natural nenul $n$, știind că:
  $$\frac{1}{\sqrt{E(1)}}+\frac{1}{\sqrt{E(2)}}+\frac{1}{\sqrt{E(3)}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{E(n)}}=\frac{2021}{2022}$$

5p 3. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2-x$.

• (2p) a) Calculează $\frac{f(0)-f(2)}{2}$.
• (3p) b) Știind că $A$ și $B$ sunt punctele de intersecție a reprezentării grafice a funcției $f$ cu axele $Ox$, respectiv $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$, determină distanța dintre punctul $C(-4,0)$ și mijlocul segmentului $AB$.

[Figura: Sistemul xOy cu graficul funcției f intersectând axa Oy în B și axa Ox în A, și punctul C situat pe axa Ox în stânga originii]

5p 4. În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi $ABCD$ cu $AB=8\text{ cm}$ și $AD=6\text{ cm}$. Punctul $M$ este mijlocul laturii $CD$, iar punctul $N$ se află pe $BD$, astfel încât dreptele $MN$ și $BD$ sunt perpendiculare.

[Figura: Dreptunghiul ABCD cu punctul M mijlocul laturii CD, segmentul BD și perpendiculara MN pe BD, cu N pe BD]

• (2p) a) Calculează perimetrul triunghiului $ABD$.
• (3p) b) Arată că aria triunghiului $BCN$ este $16,32{\text{ cm}}^2$.

5p 5. În figura alăturată este reprezentat un triunghi echilateral $ABC$, cu $AB=8\text{ cm}$. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $BC$, respectiv $AC$, iar punctul $P$ se află pe latura $AB$, astfel încât dreptele $MP$ și $AB$ sunt perpendiculare.

[Figura: Triunghiul echilateral ABC cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui AC, P pe AB astfel încât MP este perpendicular pe AB]

• (2p) a) Arată că $BP=2\text{ cm}$.
• (3p) b) Arată că lungimea segmentului $PN$ este mai mare decât $3\sqrt{3}\text{ cm}$.

5p 6. În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=6\text{ cm}$.

[Figura: Cubul ABCDA'B'C'D' cu planul A'BC hașurat, punctul Q mijlocul segmentului A'D și segmentul AQ trasat]

• (2p) a) Arată că volumul cubului este mai mare decât $0,2\text{ litri}$.
• (3p) b) Calculează unghiul dintre dreapta $AQ$ și planul $(A^{\prime }BC)$, unde punctul $Q$ este mijlocul segmentului $A^{\prime }D$.