Evaluare Națională 2026, matematică: examen oficial (sesiunea iunie)

Subiectul I, 1)

• Răspuns corect: c)
• Rezolvare:
  Efectuăm mai întâi înmulțirea, conform ordinii operațiilor:
  $$2\cdot 5=10$$
  Apoi scăderea:
  $$12-10=2$$

---

Subiectul I, 2)

• Răspuns corect: c)
• Rezolvare:
  Calculăm $40\%$ din numărul total de elevi ($250$):
  $$\frac{40}{100}\cdot 250=\frac{4}{10}\cdot 250=4\cdot 25=100\text{ ba˘ieți}$$

---

Subiectul I, 3)

• Răspuns corect: d)
• Rezolvare:
  Opusul numărului $10$ este $-10$.
  Suma dintre numărul $10$ și opusul său este:
  $$10+(-10)=10-10=0$$

---

Subiectul I, 4)

• Răspuns corect: c)
• Rezolvare:
  Transformăm fracția zecimală periodică simplă în fracție ordinară:
  $$1,(2)=\frac{12-1}{9}=\frac{11}{9}$$

---

Subiectul I, 5)

• Răspuns corect: b)
• Rezolvare:
  Din proporția $\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{x}{\sqrt{5}+1}$, aplicăm proprietatea fundamentală a proporțiilor (produsul mezilor este egal cu produsul extremilor):
  $$2\cdot x=(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)$$
  Folosim formula $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
  $$2x=(\sqrt{5}{)}^2-1^2=5-1=4$$
  $$x=\frac{4}{2}=2$$
  Conform tabelului, Andreea a obținut rezultatul $2$.

---

Subiectul I, 6)

• Răspuns corect: a)
• Rezolvare:
  Din diagrama cu bare se citesc vânzările lunare de mașini:
  • Ianuarie: $1000$
  • Februarie: $2000$
  • Martie: $500$
  • Aprilie: $2500$
    Numărul minim de mașini vândute este $500$, înregistrat în luna martie. Prin urmare, afirmația este adevărată.

---

Subiectul al II-lea, 1)

• Răspuns corect: c)
• Rezolvare:
  Deoarece $C$ este mijlocul segmentului $AD$ și $AD=6\text{ cm}$, avem:
  $$AC=\frac{AD}{2}=\frac{6}{2}=3\text{ cm}$$
  Punctul $B$ se află între $A$ și $C$, deci:
  $$BC=AC-AB=3-1=2\text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 2)

• Răspuns corect: b)
• Rezolvare:
  Dreptele $AB$ și $CD$ sunt paralele, iar $AC$ este secantă. Unghiurile alterne interne $\sphericalangle BAC$ și $\sphericalangle DCA$ sunt congruente, deci:
  $$\sphericalangle BAC=\sphericalangle DCA=80^{\circ }$$
  Punctele $E$, $A$ și $C$ fiind coliniare în această ordine, unghiurile $\sphericalangle EAB$ și $\sphericalangle BAC$ sunt adiacente suplementare:
  $$\sphericalangle EAB=180^{\circ }-\sphericalangle BAC=180^{\circ }-80^{\circ }=100^{\circ }$$

---

Subiectul al II-lea, 3)

• Răspuns corect: d)
• Rezolvare:
  Centrul de greutate $G$ împarte triunghiul $ABC$ în 6 triunghiuri de arii egale prin intermediul medianelor sale. Triunghiul $DGC$ este unul dintre aceste $6$ triunghiuri cu arii echivalente:
  $${\mathcal{A}}_{ABC}=6\cdot {\mathcal{A}}_{DGC}=6\cdot 15=90{\text{ cm}}^2$$

---

Subiectul al II-lea, 4)

• Răspuns corect: b)
• Rezolvare:
  Diagonala $BD$ împarte paralelogramul $ABCD$ în două triunghiuri congruente: $△BCD\equiv △DAB$.
  Triunghiul $BCD$ este dreptunghic în $D$ (deoarece $BD\perp BC$).
  Aria triunghiului dreptunghic este:
  $${\mathcal{A}}_{BCD}=\frac{BD\cdot BC}{2}=\frac{12}{2}=6{\text{ cm}}^2$$
  Aria paralelogramului este:
  $${\mathcal{A}}_{ABCD}=2\cdot {\mathcal{A}}_{BCD}=BD\cdot BC=12{\text{ cm}}^2$$

---

Subiectul al II-lea, 5)

• Răspuns corect: b)
• Rezolvare:
  Unghiurile înscrise în cerc $\sphericalangle BDC$ și $\sphericalangle BAC$ subîntind același arc de cerc, $\text{overarc}BC$, deci au măsuri egale:
  $$\sphericalangle BAC=\sphericalangle BDC=40^{\circ }$$
  Segmentul $AC$ este diametru, așadar unghiul $\sphericalangle ABC$, fiind înscris într-un semicerc, are măsura de $90^{\circ }$.
  În triunghiul dreptunghic $ABC$ (cu $\sphericalangle ABC=90^{\circ }$):
  $$\sphericalangle BCA=90^{\circ }-\sphericalangle BAC=90^{\circ }-40^{\circ }=50^{\circ }$$

---

Subiectul al II-lea, 6)

• Răspuns corect: a)
• Rezolvare:
  Baza $ABCD$ este un pătrat cu latura $AB=4\text{ cm}$, având aria:
  $${\mathcal{A}}_b=A{B}^2=4^2=16{\text{ cm}}^2$$
  Înălțimea piramidei este $VO=6\text{ cm}$.
  Volumul piramidei regulate este:
  $$V=\frac{{\mathcal{A}}_b\cdot VO}{3}=\frac{16\cdot 6}{3}=16\cdot 2=32{\text{ cm}}^3$$

---

Subiectul al III-lea, 1)

• a) Fie $n$ numărul de copii ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$).
  Dacă fiecare copil contribuie cu câte $18$ lei și mai sunt necesari $30$ de lei, prețul mingii este dat de formula:
  $$P=18n+30$$ (1p conform baremului)
  Dacă prețul mingii ar fi $153$ de lei:
  $$18n+30=153⟹18n=123⟹n=\frac{123}{18}=\frac{41}{6}\notin \mathbb{N}$$
  Deoarece numărul copiilor nu este un număr natural, nu este posibil ca mingea să coste $153$ de lei. (1p conform baremului)

• b) Dacă fiecare copil contribuie cu câte $24$ de lei, sunt în plus $12$ lei, deci prețul mingii se poate scrie și:
  $$P=24n-12$$
  Egalând cele două relații ce reprezintă prețul mingii:
  $$18n+30=24n-12$$ (1p conform baremului)
  $$24n-18n=30+12⟹6n=42⟹n=7\text{ copii}$$ (1p conform baremului)
  Aflăm costul mingii:
  $$P=18\cdot 7+30=126+30=156\text{ lei}$$ (1p conform baremului)

---

Subiectul al III-lea, 2)

• a) Aducem toate fracțiile la numitorul comun $(x-2)(x-3)$:
  $$E(x)=\frac{x(x-2)}{(x-2)(x-3)}+\frac{x-3}{(x-2)(x-3)}+\frac{7-3x}{(x-2)(x-3)}$$
  $$E(x)=\frac{x^2-2x+x-3+7-3x}{(x-2)(x-3)}=\frac{x^2-4x+4}{(x-2)(x-3)}$$ (1p conform baremului)
  Recunoaștem restrângerea ca pătrat al unui binom: $x^2-4x+4=(x-2{)}^2$.
  $$E(x)=\frac{(x-2{)}^2}{(x-2)(x-3)}=\frac{x-2}{x-3}$$, pentru orice $x\in \mathbb{R}\setminus \{2,3\}$. (1p conform baremului)

• b) Calculăm valoarea lui $E(4)$:
  $$E(4)=\frac{4-2}{4-3}=\frac{2}{1}=2$$ (1p conform baremului)
  Înlocuim în expresia lui $A$:
  $$A=2^n+2^{n+3}=2^n(1+2^3)=2^n(1+8)=2^n\cdot 9$$ (1p conform baremului)
  Deoarece $n$ este număr natural nenul ($n\ge 1$), rezultă că $2^n$ este divizibil cu $2$.
  Astfel, $A=2^{n-1}\cdot 2\cdot 9=2^{n-1}\cdot 18$.
  Cum $2^{n-1}\in \mathbb{N}$, numărul $A$ este divizibil cu $18$, pentru orice număr natural nenul $n$. (1p conform baremului)

---

Subiectul al III-lea, 3)

• a) Calculăm valorile funcției $f(x)=3x-6$:
  $$f(1)=3\cdot 1-6=3-6=-3$$ (1p conform baremului)
  $$f(3)=3\cdot 3-6=9-6=3$$
  $$f(1)+f(3)=-3+3=0$$ (1p conform baremului)

• b) Determinăm punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate:

  • Cu axa $Ox$: $f(x)=0⟹3x-6=0⟹3x=6⟹x=2$, deci $A(2,0)$.
  • Cu axa $Oy$: $x=0⟹f(0)=-6$, deci $B(0,-6)$. (1p conform baremului)
    În reperul cartezian $xOy$, axele sunt perpendiculare, deci triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$, cu catetele $OA=|2|=2$ și $OB=|-6|=6$.
    Calculăm lungimea ipotenuzei $AB$ cu teorema lui Pitagora:
    $$AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}=\sqrt{2^2+(-6{)}^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$$ (1p conform baremului)
    Punctul $M$ fiind mijlocul ipotenuzei $AB$, segmentul $OM$ este mediana corespunzătoare ipotenuzei în triunghiul dreptunghic $AOB$, prin urmare:
    $$OM=\frac{AB}{2}=\frac{2\sqrt{10}}{2}=\sqrt{10}$$ (1p conform baremului)

---

Subiectul al III-lea, 4)

• a) Deoarece $OA=OB=R=6\text{ cm}$, triunghiul $AOB$ este isoscel de bază $AB$.
  Punctul $M$ fiind mijlocul laturii $AB$, mediana $OM$ este și înălțime, deci $OM\perp AB$. (1p conform baremului)
  În triunghiul dreptunghic $OMA$ (cu $\sphericalangle OMA=90^{\circ }$), aplicăm teorema lui Pitagora:
  $$AM=\sqrt{O{A}^2-O{M}^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\text{ cm}$$ (1p conform baremului)

• b) Construim diametrul $BE$ al cercului. Deoarece $BE$ este diametru, triunghiurile $BAE$ și $BDE$ sunt înscrise în semicerc, deci:
  $$\sphericalangle BAE=90^{\circ }⟹AE\perp AB$$
  $$\sphericalangle BDE=90^{\circ }$$ (1p conform baremului)
  Din ipoteză avem $CD\perp AB$, iar din construcție $AE\perp AB$, deci dreptele $AE$ și $CD$ sunt paralele ($AE\parallel CD$).
  Coardele paralele determină pe cerc arce congruente între ele: $\text{overarc}AC\equiv \text{overarc}DE$, de unde rezultă că și lungimile coardelor sunt egale: $AC=DE$. (1p conform baremului)
  În triunghiul dreptunghic $BDE$ (unde $\sphericalangle BDE=90^{\circ }$), conform teoremei lui Pitagora:
  $$D{E}^2+B{D}^2=B{E}^2$$
  Diametrul cercului este $BE=2R=2\cdot 6=12\text{ cm}$. Înlocuind $DE$ cu $AC$, obținem:
  $$A{C}^2+B{D}^2=12^2=144{\text{ cm}}^2$$ (1p conform baremului)

---

Subiectul al III-lea, 5)

• a) În paralelogramul $ABCD$, $CD\parallel AB$ și $CD=AB=10\text{ cm}$.
  Cum $N$ este mijlocul lui $CD$ și $T$ este mijlocul lui $AB$:
  $$DN=\frac{CD}{2}=5\text{ cm},AT=\frac{AB}{2}=5\text{ cm}$$
  Avem $DN\parallel AT$ și $DN=AT=5\text{ cm}$, prin urmare patrulaterul $ATND$ este paralelogram. (1p conform baremului)
  Perimetrul său este:
  $${\mathcal{P}}_{ATND}=2\cdot AT+2\cdot AD=2\cdot 5+2\cdot 8=10+16=26\text{ cm}$$ (1p conform baremului)

• b) Fie $S$ punctul de intersecție dintre dreptele $AM$ și $NT$ ($AM\cap NT=\{S\}$).
  În $△ABM$, $T$ este mijlocul segmentului $AB$, iar $TS\parallel BM$ (deoarece $NT\parallel AD\parallel BC$).
  Rezultă că segmentul $TS$ este linie mijlocie în triunghiul $ABM$, de unde:
  $$TS=\frac{BM}{2}=\frac{4}{2}=2\text{ cm}$$
  Deoarece $NT=AD=8\text{ cm}$, obținem $SN=NT-TS=8-2=6\text{ cm}$. (1p conform baremului)
  De asemenea, din linia mijlocie $TS$, punctul $S$ este mijlocul lui $AM$, deci $AM=2\cdot SM$.
  În plus, dreptele $SN$ și $BM$ sunt paralele ($SN\parallel BM$), iar dreptele $SM$ și $BN$ se intersectează în $Q$. Conform teoremei fundamentale a asemănării:
  $$△QNS\sim △QBM⟹\frac{QS}{QM}=\frac{SN}{MB}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$$
  De aici:
  $$\frac{SM}{QM}=\frac{QS+QM}{QM}=\frac{QS}{QM}+1=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}$$ (1p conform baremului)
  Cum $AM=2\cdot SM$, avem:
  $$\frac{AM}{QM}=2\cdot \frac{SM}{QM}=2\cdot \frac{5}{2}=5$$
  Deoarece $AQ+QM=AM$, rezultă:
  $$\frac{AQ}{QM}=\frac{AM-QM}{QM}=\frac{AM}{QM}-1=5-1=4$$ (1p conform baremului)

---

Subiectul al III-lea, 6)

• a) Prisma dreaptă are baza un pătrat de latură $AB=4\text{ cm}$ și înălțimea $A{A}^{\prime }=4\sqrt{2}\text{ cm}$.
  Aria laterală este suma ariilor celor $4$ fețe laterale dreptunghiulare:
  $${\mathcal{A}}_l=4\cdot (AB\cdot A{A}^{\prime })=4\cdot (4\cdot 4\sqrt{2})$$ (1p conform baremului)
  $${\mathcal{A}}_l=64\sqrt{2}{\text{ cm}}^2$$ (1p conform baremului)

• b) Fie $O$ centrul pătratului $ABCD$ ($AC\cap BD=\{O\}$).
  Avem $BD\perp AC$ (diagonalele pătratului sunt perpendiculare) și $BD\perp A{A}^{\prime }$ (deoarece muchia laterală $A{A}^{\prime }$ este perpendiculară pe planul bazei $(ABCD)$).
  Deoarece $AC$ și $A{A}^{\prime }$ sunt drepte concurente în planul $(A^{\prime }AC)$, rezultă că $BD\perp (A^{\prime }AC)$. (1p conform baremului)
  Construim $A^{\prime }P\perp C^{\prime }O$, cu $P\in C^{\prime }O$.
  Deoarece $C^{\prime }O\subset (A^{\prime }AC)$, segmentul $A^{\prime }P$ este inclus în planul $(A^{\prime }AC)$, deci $A^{\prime }P\perp BD$.
  Cum $A^{\prime }P\perp C^{\prime }O$, $A^{\prime }P\perp BD$, iar $C^{\prime }O$ și $BD$ sunt concurente în planul $(C^{\prime }BD)$, rezultă:
  $$A^{\prime }P\perp (C^{\prime }BD)⟹d(A^{\prime },(C^{\prime }BD))=A^{\prime }P$$ (1p conform baremului)
  Calculăm lungimile necesare în patrulaterul $A^{\prime }AC{C}^{\prime }$, care este un dreptunghi:

  • Diagonala bazei: $AC=4\sqrt{2}\text{ cm}⟹AO=OC=2\sqrt{2}\text{ cm}$
  • $A{A}^{\prime }=C{C}^{\prime }=4\sqrt{2}\text{ cm}$
  • În triunghiul dreptunghic $C^{\prime }CO$:
    $$C^{\prime }O=\sqrt{C{C}^{\prime 2}+O{C}^2}=\sqrt{(4\sqrt{2}{)}^2+(2\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{32+8}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\text{ cm}$$
  • Aria triunghiului $A^{\prime }O{C}^{\prime }$ se poate calcula scăzând din aria dreptunghiului $A^{\prime }AC{C}^{\prime }$ ariile triunghiurilor exterioare sau direct:
    $${\mathcal{A}}_{A^{\prime }AC{C}^{\prime }}=A^{\prime }{C}^{\prime }\cdot A{A}^{\prime }=4\sqrt{2}\cdot 4\sqrt{2}=32{\text{ cm}}^2$$
    $${\mathcal{A}}_{△A^{\prime }AC}=\frac{AC\cdot A{A}^{\prime }}{2}=16{\text{ cm}}^2⟹{\mathcal{A}}_{△A^{\prime }OC}=\frac{1}{2}{\mathcal{A}}_{△A^{\prime }AC}=8{\text{ cm}}^2$$
    Deoarece $C^{\prime }C\parallel A^{\prime }A$, distanța de la $C^{\prime }$ la $A^{\prime }C$ este egală cu distanța de la $O$ la $A^{\prime }C$, prin urmare:
    $${\mathcal{A}}_{△A^{\prime }O{C}^{\prime }}=\frac{A^{\prime }{C}^{\prime }\cdot C{C}^{\prime }}{2}=\frac{4\sqrt{2}\cdot 4\sqrt{2}}{2}=16{\text{ cm}}^2$$
    Pe de altă parte:
    $${\mathcal{A}}_{△A^{\prime }O{C}^{\prime }}=\frac{C^{\prime }O\cdot A^{\prime }P}{2}⟹16=\frac{2\sqrt{10}\cdot A^{\prime }P}{2}=\sqrt{10}\cdot A^{\prime }P$$
    $$A^{\prime }P=\frac{16}{\sqrt{10}}=\frac{16\sqrt{10}}{10}=\frac{8\sqrt{10}}{5}\text{ cm}$$
    Așadar, $d(A^{\prime },(C^{\prime }BD))=\frac{8\sqrt{10}}{5}\text{ cm}$. (1p conform baremului)

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Rezultatul calculului $12-2\cdot 5$ este egal cu:
a) $50$
b) $22$
c) $2$
d) $0$

5p 2. Dintre cei $250$ de elevi participanți la un concurs, $40\%$ sunt băieți. Numărul băieților participanți la acest concurs este egal cu:
a) $150$
b) $125$
c) $100$
d) $90$

5p 3. Suma dintre numărul $10$ și opusul numărului $10$ este egală cu:
a) $\frac{101}{10}$
b) $\frac{11}{10}$
c) $1$
d) $0$

5p 4. Transformând fracția zecimală $1,(2)$ în fracție ordinară se obține:
a) $\frac{11}{10}$
b) $\frac{6}{5}$
c) $\frac{11}{9}$
d) $\frac{4}{3}$

5p 5. Patru elevi, Ioana, Andreea, Luca și Radu, determină numărul real $x$ din proporția $\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{x}{\sqrt{5}+1}$.
Răspunsurile date de cei patru elevi sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Ioana	Andreea	Luca	Radu
1	2	3	4

Răspunsul corect a fost obținut de către:
a) Ioana
b) Andreea
c) Luca
d) Radu

5p 6. În diagrama de mai jos sunt prezentate informații despre numărul de mașini vândute de un comerciant în primele patru luni ale anului 2026.
[Figura: Diagramă cu bare verticale reprezentând numărul de mașini vândute: Ianuarie (1000), Februarie (2000), Martie (500), Aprilie (2500)]
Afirmația: „Conform informațiilor din diagramă, cele mai puține mașini au fost vândute în luna martie.” este:
a) adevărată
b) falsă

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $AB=1\text{ cm}$ și $AD=6\text{ cm}$. Punctul $C$ este mijlocul segmentului $AD$. Lungimea segmentului $BC$ este egală cu:
[Figura: Punctele coliniare A, B, C, D în această ordine pe o dreaptă gradată]
a) $5\text{ cm}$
b) $3\text{ cm}$
c) $2\text{ cm}$
d) $1\text{ cm}$

5p 2. În figura alăturată sunt reprezentate dreptele paralele $AB$ și $CD$. Punctele $E$, $A$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, iar punctele $B$ și $D$ sunt situate de o parte și de alta a dreptei $AC$. Măsura unghiului $DCA$ este egală cu $80^{\circ }$. Măsura unghiului $EAB$ este egală cu:
[Figura: Dreptele paralele AB și CD intersectate de secanta EAC, unghiul DCA de 80 de grade]
a) $110^{\circ }$
b) $100^{\circ }$
c) $90^{\circ }$
d) $80^{\circ }$

5p 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$. Punctul $D$ este mijlocul segmentului $BC$ și punctul $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$. Aria triunghiului $DGC$ este egală cu $15{\text{ cm}}^2$. Aria triunghiului $ABC$ este egală cu:
[Figura: Triunghiul ABC cu mediana AD și centrul de greutate G, triunghiul DGC hașurat/evidențiat]
a) $30{\text{ cm}}^2$
b) $45{\text{ cm}}^2$
c) $60{\text{ cm}}^2$
d) $90{\text{ cm}}^2$

5p 4. În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$, cu diagonala $BD$ perpendiculară pe latura $BC$ și $BD\cdot BC=12{\text{ cm}}^2$. Aria paralelogramului $ABCD$ este egală cu:
[Figura: Paralelogramul ABCD cu diagonala BD perpendiculară pe latura BC]
a) $6{\text{ cm}}^2$
b) $12{\text{ cm}}^2$
c) $18{\text{ cm}}^2$
d) $24{\text{ cm}}^2$

5p 5. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$. Punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt situate pe cerc, în această ordine, astfel încât $AC$ este diametru și măsura unghiului $BDC$ este egală cu $40^{\circ }$. Măsura unghiului $BCA$ este egală cu:
[Figura: Cercul de centru O, patrulaterul ABCD înscris, AC este diametru, unghiul BDC măsoară 40 de grade]
a) $40^{\circ }$
b) $50^{\circ }$
c) $60^{\circ }$
d) $80^{\circ }$

5p 6. În figura alăturată este reprezentată piramida patrulateră regulată $VABCD$, cu înălțimea $VO=6\text{ cm}$ și $AB=4\text{ cm}$. Volumul piramidei $VABCD$ este egal cu:
[Figura: Piramidă patrulateră regulată VABCD cu înălțimea VO]
a) $32{\text{ cm}}^3$
b) $48{\text{ cm}}^3$
c) $72{\text{ cm}}^3$
d) $96{\text{ cm}}^3$

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrie rezolvările complete. (30 de puncte)

5p 1. Mai mulți copii doresc să cumpere împreună o minge. Dacă fiecare copil contribuie cu câte $18$ lei, mai sunt necesari $30$ de lei.

• (2p) a) Este posibil ca mingea să coste $153$ de lei? Justifică răspunsul dat.
• (3p) b) Dacă fiecare copil contribuie cu câte $24$ de lei, atunci sunt în plus $12$ lei. Determină cât costă mingea.

5p 2. Se consideră expresia $E(x)=\frac{x}{x-3}+\frac{1}{x-2}+\frac{7-3x}{(x-2)(x-3)}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 2$ și $x\ne 3$.

• (2p) a) Arată că $E(x)=\frac{x-2}{x-3}$, pentru orice număr real $x$, $x\ne 2$ și $x\ne 3$.
• (3p) b) Arată că numărul $A=(E(4){)}^n+(E(4){)}^{n+3}$ este divizibil cu $18$, pentru orice număr natural nenul $n$.

5p 3. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-6$.

• (2p) a) Arată că $f(1)+f(3)=0$.
• (3p) b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele $Ox$ și $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$ în punctele $A$, respectiv $B$. Calculează lungimea segmentului $OM$, știind că punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$.

5p 4. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ și raza de $6\text{ cm}$. Punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât dreptele $AB$ și $CD$ sunt perpendiculare. Punctul $M$ este mijlocul coardei $AB$ și $OM=3\text{ cm}$.
[Figura: Cercul de centru O cu două coarde perpendiculare AB și CD, M mijlocul lui AB, segmentul OM]

• (2p) a) Arată că $AM=3\sqrt{3}\text{ cm}$.
• (3p) b) Demonstrează că $A{C}^2+B{D}^2=144{\text{ cm}}^2$.

5p 5. În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$, cu $AB=10\text{ cm}$ și $AD=8\text{ cm}$. Punctele $M$, $N$ și $T$ sunt mijloacele segmentelor $BC$, $CD$, respectiv $AB$, iar $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $BN$ și $AM$.
[Figura: Paralelogramul ABCD cu mijloacele laturilor M, N, T și punctul Q de intersecție dintre BN și AM]

• (2p) a) Calculează perimetrul patrulaterului $ATND$.
• (3p) b) Calculează valoarea raportului $\frac{AQ}{QM}$.

5p 6. În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cu baza pătratul $ABCD$, $AB=4\text{ cm}$ și $A{A}^{\prime }=4\sqrt{2}\text{ cm}$.
[Figura: Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătrat și secțiunea triunghiulară C'BD formată de planul (C'BD)]

• (2p) a) Calculează aria laterală a prismei $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.
• (3p) b) Arată că distanța de la punctul $A^{\prime }$ la planul $(C^{\prime }BD)$ este egală cu $\frac{8\sqrt{10}}{5}\text{ cm}$.