Evaluare Națională 2021, matematică: sesiunea specială

REZOLVARE ȘI BAREM DE EVALUARE

---

Subiectul I

1. Răspuns: b) $80$ (5p)
Explicație: Multiplii de două cifre ai numărului $20$ sunt: $20,40,60,80$. Următorul multiplu este $100$, dar are trei cifre. Cel mai mare multiplu natural de două cifre este $80$.

2. Răspuns: c) $10$ (5p)
Explicație: Din relația $\frac{x}{4}=\frac{5}{2}$, aplicând proprietatea fundamentală a proporțiilor, obținem:
$$x=\frac{4\cdot 5}{2}=\frac{20}{2}=10$$

3. Răspuns: b) $16$ (5p)
Explicație: Respectând ordinea efectuării operațiilor (înmulțirea are prioritate):
$$8+2\cdot 4=8+8=16$$

4. Răspuns: c) $24$ (5p)
Explicație: Suma tuturor procentelor este $100\%$:
$$25\%+35\%+14\%+x\%+20\%=100\%⟹94\%+x\%=100\%⟹x=6\%$$
Numărul de elevi care au ales culoarea verde este:
$$6\%\text{ din }400=\frac{6}{100}\cdot 400=24$$

5. Răspuns: c) George (5p)
Explicație: Calculăm suma numerelor $a$ și $b$:
$$a+b=(3+5\sqrt{2})+(5-5\sqrt{2})=3+5+5\sqrt{2}-5\sqrt{2}=8$$
George este elevul care a obținut rezultatul $8$.

6. Răspuns: b) falsă (5p)
Explicație: Introducem factorul sub radical: $3\sqrt{2}=\sqrt{3^2\cdot 2}=\sqrt{18}$.
Capetele intervalului $I=(3,4]$ scrise sub radical sunt: $3=\sqrt{9}$ și $4=\sqrt{16}$.
Deoarece $18>16$, rezultă $\sqrt{18}>\sqrt{16}=4$, deci $3\sqrt{2}>4$. Astfel, $3\sqrt{2}\notin (3,4]$, iar afirmația lui Mircea este falsă.

---

Subiectul al II-lea

1. Răspuns: b) $6\text{ cm}$ (5p)
Explicație: Deoarece $B$ este mijlocul segmentului $AC$, iar $AC=4\text{ cm}$, avem:
$$AB=BC=\frac{AC}{2}=\frac{4}{2}=2\text{ cm}$$
Punctele sunt în ordinea $B,C,D$, deci $BD=BC+CD$. Rezultă:
$$CD=BD-BC=8-2=6\text{ cm}$$

2. Răspuns: c) $90^{\circ }$ (5p)
Explicație: Punctele $A,C,D$ sunt coliniare, deci unghiul $\sphericalangle ACD$ este un unghi alungit ($180^{\circ }$).
Unghiul $\sphericalangle ECA$ este suplementar cu unghiul $\sphericalangle ECD$:
$$\sphericalangle ECA=180^{\circ }-135^{\circ }=45^{\circ }$$
Deoarece $EC\parallel AB$ și secanta este $AC$, unghiurile alterne interne $\sphericalangle BAC$ și $\sphericalangle ECA$ sunt congruente:
$$\sphericalangle BAC=\sphericalangle ECA=45^{\circ }$$
În triunghiul $ABC$, suma măsurilor unghiurilor este $180^{\circ }$:
$$\sphericalangle ACB=180^{\circ }-(\sphericalangle BAC+\sphericalangle B)=180^{\circ }-(45^{\circ }+45^{\circ })=90^{\circ }$$

3. Răspuns: d) $6\sqrt{3}\text{ cm}$ (5p)
Explicație: Triunghiul $ABC$ este isoscel cu $\sphericalangle BAC=120^{\circ }$, deci $AB=AC=6\text{ cm}$, iar unghiurile de la bază sunt congruente:
$$\sphericalangle B=\sphericalangle C=\frac{180^{\circ }-120^{\circ }}{2}=30^{\circ }$$
Fie $AM\perp BC$, cu $M\in BC$. Întrucât triunghiul este isoscel, $AM$ este și mediană, deci $BC=2\cdot MC$.
În triunghiul dreptunghic $AMC$ (cu $\sphericalangle AMC=90^{\circ }$ și $\sphericalangle C=30^{\circ }$):
$$MC=AC\cdot \cos 30^{\circ }=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\text{ cm}$$
Atunci $BC=2\cdot MC=2\cdot 3\sqrt{3}=6\sqrt{3}\text{ cm}$.

4. Răspuns: a) $18\text{ cm}$ (5p)
Explicație: $ABCD$ fiind paralelogram, $AB\parallel CD$, deci $AB\parallel DE$.
Segmentul $AE$ este bisectoarea unghiului $\sphericalangle DAB$, deci $\sphericalangle DAE=\sphericalangle EAB$.
Deoarece $AB\parallel DE$, unghiurile alterne interne $\sphericalangle DEA$ și $\sphericalangle EAB$ sunt egale, deci $\sphericalangle DEA=\sphericalangle DAE$.
Rezultă că triunghiul $ADE$ este isoscel, cu $DE=AD=3\text{ cm}$.
Analog, unghiul $\sphericalangle CEB=\sphericalangle EBA=\sphericalangle EBC$, deci triunghiul $BCE$ este isoscel, cu $EC=BC=AD=3\text{ cm}$.
Latura $CD=DE+EC=3+3=6\text{ cm}$, iar $AB=CD=6\text{ cm}$.
Perimetrul paralelogramului este:
$${\mathcal{P}}_{ABCD}=2(AB+AD)=2(6+3)=2\cdot 9=18\text{ cm}$$

5. Răspuns: a) $120^{\circ }$ (5p)
Explicație: Cercul are $360^{\circ }$. Deoarece arcele mici $\text{overparen}AB$, $\text{overparen}BC$ și $\text{overparen}CA$ sunt congruente, măsura fiecărui arc este:
$$\frac{360^{\circ }}{3}=120^{\circ }$$
Unghiul $\sphericalangle BOC$ este unghi la centru care subîntinde arcul $\text{overparen}BC$, prin urmare măsura sa este egală cu măsura arcului:
$$\sphericalangle BOC=120^{\circ }$$

6. Răspuns: c) $600{\text{ cm}}^2$ (5p)
Explicație: Cubul are $12$ muchii de lungimi egale. Notând cu $l$ lungimea muchiei:
$$12\cdot l=120\text{ cm}⟹l=10\text{ cm}$$
Aria totală a cubului este dată de aria celor 6 fețe pătrate:
$$A_t=6\cdot l^2=6\cdot 10^2=6\cdot 100=600{\text{ cm}}^2$$

---

Subiectul al III-lea

Subiectul al III-lea, 1)

a)
După prima zi, automobilul mai are de parcurs o anumită distanță. În a doua zi parcurge $\frac{2}{5}$ din această distanță rămasă, ceea ce înseamnă că pentru a treia zi rămân:
$$1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\text{ din distanța ra˘masa˘ dupa˘ prima zi}\text{*(1p)*}$$
Cum în a treia zi parcurge restul de $93\text{ km}$, rezultă că $\frac{3}{5}$ din distanța rămasă este egal cu $93\text{ km}$.
Distanța parcursă în a doua zi reprezintă $\frac{2}{3}$ din parcursul celei de-a treia zile:
$$\frac{2}{3}\cdot 93=2\cdot 31=62\text{ km}\ne 60\text{ km}$$
Deci nu este posibil ca distanța parcursă a doua zi să fie egală cu $60\text{ km}$. (1p)

b)
Fie $x$ distanța totală dintre cele două orașe.
În prima zi, automobilul parcurge $\frac{3}{10}x+13\text{ km}$. (1p)
Distanța rămasă după prima zi este:
$$x-\left(\frac{3}{10}x+13\right)=\frac{7}{10}x-13$$
În a doua zi parcurge $\frac{2}{5}\left(\frac{7}{10}x-13\right)$, iar în a treia zi $93\text{ km}$.
Ecuația distanței totale este:
$$\left(\frac{3}{10}x+13\right)+\frac{2}{5}\left(\frac{7}{10}x-13\right)+93=x\text{*(1p)*}$$
Sau, știind că distanța rămasă după prima zi este $\frac{5}{3}\cdot 93=155\text{ km}$:
$$\frac{7}{10}x-13=155⟹\frac{7}{10}x=168⟹x=\frac{168\cdot 10}{7}=24\cdot 10=240\text{ km}\text{*(1p)*}$$

---

Subiectul al III-lea, 2)

a)
Dezvoltăm formulele de calcul prescurtat:
$$(x+4{)}^2=x^2+8x+16$$
$$(x-1{)}^2=x^2-2x+1$$
$$(\sqrt{2}x+3)(\sqrt{2}x-3)=(\sqrt{2}x{)}^2-3^2=2x^2-9\text{*(1p)*}$$
Înlocuim în expresia dată:
$$E(x)=(x^2+8x+16)+(x^2-2x+1)-(2x^2-9)$$
$$E(x)=2x^2+6x+17-2x^2+9=6x+26\text{*(1p)*}$$
pentru orice număr real $x$.

b)
Scriem diferența $A-B$:
$$A-B=[E(1)-E(2)]+[E(3)-E(4)]+[E(5)-E(6)]+[E(7)-E(8)]+[E(9)-E(10)]+E(11)\text{*(1p)*}$$
Pentru oricare două numere consecutive, avem:
$$E(k)-E(k+1)=[6k+26]-[6(k+1)+26]=6k-6k-6=-6$$
Avem $5$ astfel de perechi:
$$A-B=5\cdot (-6)+E(11)\text{*(1p)*}$$
Calculăm $E(11)=6\cdot 11+26=66+26=92$.
Atunci:
$$A-B=-30+92=62\text{*(1p)*}$$

---

Subiectul al III-lea, 3)

a)
Calculăm valorile funcției:
$$f(3)=-3\cdot 3+5=-9+5=-4\text{*(1p)*}$$
$$f(0)=-3\cdot 0+5=5$$
Atunci $f(3)+f(0)=-4+5=1$. (1p)

b)
Punctul $A$ aparține graficului și are abscisa $x_A=3$, deci ordonata sa este:
$$y_A=f(3)=-4⟹A(3,-4)\text{*(1p)*}$$
Punctul $B$ aparține graficului și are ordonata $y_B=5$, deci:
$$f(x_B)=5⟹-3x_B+5=5⟹-3x_B=0⟹x_B=0⟹B(0,5)\text{*(1p)*}$$
Distanța dintre punctele $A$ și $B$ este lungimea segmentului $AB$:
$$AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}=\sqrt{(0-3{)}^2+(5-(-4){)}^2}=\sqrt{(-3{)}^2+9^2}=\sqrt{9+81}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}\text{*(1p)*}$$

---

Subiectul al III-lea, 4)

a)
În triunghiul $PAB$, avem $CD\parallel AB$. Conform teoremei fundamentale a asemănării:
$$\Delta PCD\sim \Delta PAB⟹\frac{PD}{PA}=\frac{PC}{PB}=\frac{CD}{AB}\text{*(1p)*}$$
Cum $PA=PD+AD=PD+6$, obținem:
$$\frac{PD}{PD+6}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$$
$$3\cdot PD=PD+6⟹2\cdot PD=6⟹PD=3\text{ cm}\text{*(1p)*}$$

b)
Raportul de asemănare al triunghiurilor $\Delta PCD$ și $\Delta PAB$ este:
$$k=\frac{CD}{AB}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$$
Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este egal cu pătratul raportului de asemănare:
$$\frac{{\mathcal{A}}_{PCD}}{{\mathcal{A}}_{PAB}}=k^2={\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}⟹{\mathcal{A}}_{PAB}=9\cdot {\mathcal{A}}_{PCD}$$
Aria trapezului $ABCD$ este diferența ariilor:
$${\mathcal{A}}_{ABCD}={\mathcal{A}}_{PAB}-{\mathcal{A}}_{PCD}=9\cdot {\mathcal{A}}_{PCD}-{\mathcal{A}}_{PCD}=8\cdot {\mathcal{A}}_{PCD}\text{*(1p)*}$$
Fie $p\%$ procentul căutat:
$${\mathcal{A}}_{PCD}=\frac{p}{100}\cdot {\mathcal{A}}_{ABCD}⟹{\mathcal{A}}_{PCD}=\frac{p}{100}\cdot 8{\mathcal{A}}_{PCD}⟹\frac{p}{100}=\frac{1}{8}\text{*(1p)*}$$
$$p=\frac{100}{8}=12,5\%\text{*(1p)*}$$

---

Subiectul al III-lea, 5)

a)
Din enunț, $\frac{CD}{AD}=\frac{3}{4}$, deci putem nota $CD=3k$ și $AD=4k$, unde $k>0$. (1p)
Triunghiul $ADC$ este dreptunghic în $D$ ($AD\perp BC$), deci aplicând teorema lui Pitagora:
$$A{D}^2+C{D}^2=A{C}^2⟹(4k{)}^2+(3k{)}^2=40^2$$
$$16k^2+9k^2=1600⟹25k^2=1600⟹k^2=64⟹k=8$$
Astfel, $AD=4k=4\cdot 8=32\text{ cm}$ (și $CD=3k=24\text{ cm}$). (1p)

b)
În triunghiul dreptunghic $ABC$, cu $AD\perp BC$, aplicăm teorema înălțimii:
$$A{D}^2=BD\cdot CD⟹32^2=BD\cdot 24⟹BD=\frac{1024}{24}=\frac{128}{3}\text{ cm}$$
Ipotenuza $BC$ este:
$$BC=BD+CD=\frac{128}{3}+24=\frac{128+72}{3}=\frac{200}{3}\text{ cm}\text{*(1p)*}$$
Aplicăm teorema catetei pentru latura $AB$:
$$A{B}^2=BD\cdot BC=\frac{128}{3}\cdot \frac{200}{3}=\frac{25600}{9}⟹AB=\frac{160}{3}\text{ cm}\text{*(1p)*}$$
Perimetrul triunghiului $ABC$ este:
$${\mathcal{P}}_{ABC}=AB+BC+AC=\frac{160}{3}+\frac{200}{3}+40=\frac{360}{3}+40=120+40=160\text{ cm}\text{*(1p)*}$$

---

Subiectul al III-lea, 6)

a)
În paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, muchia $A^{\prime }{D}^{\prime }$ este perpendiculară pe planul $(C^{\prime }{D}^{\prime }DC)$. Deoarece $D^{\prime }C\subset (C^{\prime }{D}^{\prime }DC)$, rezultă că $A^{\prime }{D}^{\prime }\perp D^{\prime }C$, deci triunghiul $A^{\prime }{D}^{\prime }C$ este dreptunghic în $D^{\prime }$. (1p)
În triunghiul dreptunghic $A^{\prime }{D}^{\prime }C$, măsura unghiului $\sphericalangle D^{\prime }C{A}^{\prime }$ este de $30^{\circ }$.
Cum $A^{\prime }{D}^{\prime }=AD=BC=6\text{ cm}$, cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ este $A^{\prime }{D}^{\prime }$:
$$A^{\prime }C=2\cdot A^{\prime }{D}^{\prime }=2\cdot 6=12\text{ cm}$$
$$D^{\prime }C=A^{\prime }C\cdot \cos 30^{\circ }=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\text{ cm}$$
În triunghiul dreptunghic $D^{\prime }DC$ (cu unghiul drept în $D$ și $CD=AB=6\sqrt{2}\text{ cm}$):
$$D{D}^{\prime }=\sqrt{D^{\prime }{C}^2-C{D}^2}=\sqrt{(6\sqrt{3}{)}^2-(6\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{108-72}=\sqrt{36}=6\text{ cm}\text{*(1p)*}$$

b)
Avem $D^{\prime }{A}^{\prime }\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$ și $D^{\prime }{A}^{\prime }\perp A^{\prime }A$, cu $A^{\prime }{B}^{\prime }\cap A^{\prime }A=\{A^{\prime }\}$, rezultă $D^{\prime }{A}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }BA)$, deci $D^{\prime }{A}^{\prime }\perp (A^{\prime }AB)$. (1p)
Fie $M\in A^{\prime }B$ astfel încât $AM\perp A^{\prime }B$.
Deoarece $D^{\prime }{A}^{\prime }\perp (A^{\prime }AB)$ și $AM\subset (A^{\prime }AB)$, rezultă $AM\perp D^{\prime }{A}^{\prime }$.
Având $AM\perp A^{\prime }B$ și $AM\perp D^{\prime }{A}^{\prime }$, cu $A^{\prime }B\cap D^{\prime }{A}^{\prime }=\{A^{\prime }\}$ în planul $(A^{\prime }{D}^{\prime }C)$ (deoarece $A^{\prime }B\parallel D^{\prime }C$, deci determină același plan cu $A^{\prime }{D}^{\prime }$), rezultă:
$$AM\perp (A^{\prime }{D}^{\prime }C)⟹d(A,(A^{\prime }{D}^{\prime }C))=AM\text{*(1p)*}$$
În triunghiul dreptunghic $A^{\prime }AB$, unde $A^{\prime }A=D{D}^{\prime }=6\text{ cm}$ și $AB=6\sqrt{2}\text{ cm}$:
$$A^{\prime }B=\sqrt{A^{\prime }{A}^2+A{B}^2}=\sqrt{6^2+(6\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{36+72}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}\text{ cm}$$
Lungimea înălțimii $AM$ corespunzătoare ipotenuzei este:
$$AM=\frac{A^{\prime }A\cdot AB}{A^{\prime }B}=\frac{6\cdot 6\sqrt{2}}{6\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{6}}{3}=2\sqrt{6}\text{ cm}$$
Prin urmare, distanța de la punctul $A$ la planul $(A^{\prime }{D}^{\prime }C)$ este egală cu $2\sqrt{6}\text{ cm}$. (1p)

Evaluarea Națională pentru absolvenții clasei a VIII-a

Anul școlar 2020 – 2021
Matematică
Sesiunea specială (6 iulie 2021)
Varianta 2

---

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Cel mai mare număr natural de două cifre, multiplu al numărului $20$, este egal cu:
a) $20$
b) $80$
c) $99$
d) $100$

5p 2. Dacă $\frac{x}{4}=\frac{5}{2}$, atunci $x$ este egal cu:
a) $2$
b) $5$
c) $10$
d) $20$

5p 3. Rezultatul calculului $8+2\cdot 4$ este egal cu:
a) $40$
b) $16$
c) $14$
d) $0$

5p 4. Într-o școală, $400$ de elevi au ales culoarea favorită, prin intermediul unui chestionar. Opțiunile tuturor elevilor au fost înregistrate, în raport procentual din numărul total, în tabelul de mai jos.

Culoarea aleasă	albastru	roșu	galben	verde	altele
Raport procentual	$25\%$	$35\%$	$14\%$	$x\%$	$20\%$

Conform informațiilor din tabel, numărul elevilor care au ales culoarea verde este egal cu:
a) $6$
b) $16$
c) $24$
d) $80$

5p 5. Patru elevi, Alina, Bianca, George și Iosif, adună numărul $a=3+5\sqrt{2}$ cu numărul $b=5-5\sqrt{2}$ și obțin următoarele rezultate:

Alina	$8-10\sqrt{2}$
Bianca	$4$
George	$8$
Iosif	$8+10\sqrt{2}$

Dintre cei patru elevi, cel care a efectuat corect adunarea este:
a) Alina
b) Bianca
c) George
d) Iosif

5p 6. Se consideră intervalul de numere reale $I=(3,4]$. Mircea afirmă că: „Numărul $3\sqrt{2}$ aparține intervalului $I$.”. Afirmația lui Mircea este:
a) adevărată
b) falsă

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura alăturată sunt reprezentate punctele coliniare $A,B,C$ și $D$, în această ordine, astfel încât $AC=4\text{ cm}$ și $BD=8\text{ cm}$. Punctul $B$ este mijlocul segmentului $AC$. Lungimea segmentului $CD$ este egală cu:
[Figura: Punctele coliniare A, B, C, D în această ordine]
a) $4\text{ cm}$
b) $6\text{ cm}$
c) $10\text{ cm}$
d) $12\text{ cm}$

5p 2. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, cu măsura unghiului $B$ de $45^{\circ }$. Punctele $A,C$ și $D$ sunt coliniare în această ordine. Dreptele $EC$ și $AB$ sunt paralele și măsura unghiului $ECD$ este egală cu $135^{\circ }$. Măsura unghiului $ACB$ este egală cu:
[Figura: Triunghiul ABC cu prelungirea laturii AC spre D, dreapta EC paralelă cu AB și unghiul ECD de 135°]
a) $45^{\circ }$
b) $80^{\circ }$
c) $90^{\circ }$
d) $100^{\circ }$

5p 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel $ABC$. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu $120^{\circ }$ și $AC=6\text{ cm}$. Lungimea laturii $BC$ este egală cu:
[Figura: Triunghiul isoscel obtuzunghic ABC cu unghiul BAC de 120°]
a) $3\sqrt{3}\text{ cm}$
b) $3\text{ cm}$
c) $6\text{ cm}$
d) $6\sqrt{3}\text{ cm}$

5p 4. În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$, cu $AD=3\text{ cm}$, în care punctul $E$ se află pe latura $DC$ astfel încât $AE$ este bisectoarea unghiului $DAB$ și $BE$ este bisectoarea unghiului $ABC$. Perimetrul paralelogramului $ABCD$ este egal cu:
[Figura: Paralelogramul ABCD cu E situat pe latura DC, segmentele AE și BE fiind bisectoare ale unghiurilor DAB, respectiv ABC]
a) $18\text{ cm}$
b) $15\text{ cm}$
c) $12\text{ cm}$
d) $9\text{ cm}$

5p 5. În figura alăturată, punctele $A,B$ și $C$ sunt situate pe cercul de centru $O$, astfel încât arcele mici $\text{overparen}AB$, $\text{overparen}BC$ și $\text{overparen}CA$ sunt congruente. Măsura unghiului $BOC$ este egală cu:
[Figura: Cercul de centru O pe care se află punctele A, B, C, împărțindu-l în trei arce egale, și unghiul la centru BOC]
a) $120^{\circ }$
b) $90^{\circ }$
c) $60^{\circ }$
d) $30^{\circ }$

5p 6. În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Suma lungimilor tuturor muchiilor cubului este egală cu $120\text{ cm}$. Aria totală a cubului este egală cu:
[Figura: Cubul ABCDA'B'C'D']
a) $100{\text{ cm}}^2$
b) $400{\text{ cm}}^2$
c) $600{\text{ cm}}^2$
d) $1000{\text{ cm}}^2$

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrie rezolvările complete. (30 de puncte)

5p 1. Un automobil a parcurs distanța dintre două orașe în trei zile. În prima zi a parcurs $\frac{3}{10}$ din distanță și încă $13\text{ km}$. În a doua zi a parcurs $\frac{2}{5}$ din distanța rămasă după prima zi. În a treia zi a parcurs restul distanței, adică $93\text{ de km}$.
(2p) a) Este posibil ca distanța parcursă a doua zi să fie egală cu $60\text{ km}$? Justifică răspunsul dat.
(3p) b) Determină distanța dintre cele două orașe.

5p 2. Se consideră expresia $E(x)=(x+4{)}^2+(x-1{)}^2-(\sqrt{2}x+3)(\sqrt{2}x-3)$, unde $x$ este număr real.
(2p) a) Demonstrează că $E(x)=6x+26$, pentru orice număr real $x$.
(3p) b) Calculează $A-B$, unde $A=E(1)+E(3)+\dots +E(11)$ și $B=E(2)+E(4)+\dots +E(10)$.

5p 3. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-3x+5$.
(2p) a) Arată că $f(3)+f(0)=1$.
(3p) b) În sistemul de axe ortogonale $xOy$ se consideră punctele $A$ și $B$ situate pe reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$. Știind că punctul $A$ are abscisa $3$ și punctul $B$ are ordonata $5$, determină distanța dintre punctele $A$ și $B$.

5p 4. Se consideră trapezul $ABCD$, cu $AB\parallel CD$, $AB=15\text{ cm}$, $CD=5\text{ cm}$, $BC=8\text{ cm}$ și $AD=6\text{ cm}$. Dreptele $AD$ și $BC$ se intersectează în punctul $P$.
(2p) a) Arată că lungimea segmentului $PD$ este egală cu $3\text{ cm}$.
(3p) b) Determină cât la sută reprezintă aria triunghiului $PCD$ din aria trapezului $ABCD$.

5p 5. Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AC=40\text{ cm}$. Dreptele $AD$ și $BC$ sunt perpendiculare, punctul $D$ aparține dreptei $BC$ și $\frac{CD}{AD}=\frac{3}{4}$.
(2p) a) Arată că $AD=32\text{ cm}$.
(3p) b) Calculează perimetrul triunghiului $ABC$.

5p 6. Se consideră paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cu $AB=6\sqrt{2}\text{ cm}$, $BC=6\text{ cm}$ și măsura unghiului $D^{\prime }C{A}^{\prime }$ egală cu $30^{\circ }$.
(2p) a) Arată că $D{D}^{\prime }=6\text{ cm}$.
(3p) b) Calculează distanța de la punctul $A$ la planul $(A^{\prime }{D}^{\prime }C)$.