Evaluare Națională 2021, matematică: simulare națională

Subiectul I, 1)

Răspuns corect: d) $13$

Rezolvare:
Efectuăm mai întâi împărțirea, apoi adunarea:
$$45:5+4=9+4=13$$

---

Subiectul I, 2)

Răspuns corect: a) $20$

Rezolvare:
Calculăm $40\%$ din $50$:
$$\frac{40}{100}\cdot 50=\frac{40\cdot 50}{100}=\frac{2000}{100}=20$$

---

Subiectul I, 3)

Răspuns corect: c) $3$

Rezolvare:
Calculăm suma numerelor:
$$(-2)+(-1)+0+1+2+3=(-2+2)+(-1+1)+0+3=0+0+0+3=3$$

---

Subiectul I, 4)

Răspuns corect: b) $\frac{2}{3}$

Rezolvare:
Simplificăm fracția $\frac{14}{21}$ prin cel mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului, care este $7$:
$$\frac{14:7}{21:7}=\frac{2}{3}$$

---

Subiectul I, 5)

Răspuns corect: b) $\{-2,-1,0,1\}$

Rezolvare:
Elementele mulțimii $A$ sunt numere întregi care satisfac $-2\le x<2$.
Acestea sunt: $-2,-1,0,1$.
Prin urmare, $A=\{-2,-1,0,1\}$.

---

Subiectul I, 6)

Răspuns corect: c) $25\%$ din elevii clasei

Rezolvare:
Suma tuturor procentelor obținute de elevii candidați reprezintă totalul de $100\%$:
$$15\%+25\%+35\%+x\%=100\%$$
$$75\%+x\%=100\%⟹x=100-75=25$$
Deci, Dana a fost votată de $25\%$ din elevii clasei.

---

Subiectul al II-lea, 1)

Răspuns corect: d) punctul $C$ este mijlocul segmentului $AE$

Rezolvare:
Lungimea segmentului $AC$ este $AC=AB+BC$.
Lungimea segmentului $CE$ este $CE=CD+DE$.
Deoarece ni se dă că $AB=CD$ și $BC=DE$, rezultă că:
$$AC=AB+BC=CD+DE=CE$$
Cum $A,C,E$ sunt coliniare în această ordine și $AC=CE$, punctul $C$ este mijlocul segmentului $AE$.

---

Subiectul al II-lea, 2)

Răspuns corect: a) $144^{\circ }$

Rezolvare:
Suma unghiurilor formate în jurul punctului $O$ este $360^{\circ }$.
Fiind $5$ unghiuri congruente, măsura fiecăruia dintre ele este:
$$360^{\circ }:5=72^{\circ }$$
Unghiul $\widehat{AOC}$ este format din unghiurile adiacente $\widehat{AOB}$ și $\widehat{BOC}$, deci:
$$\sphericalangle AOC=\sphericalangle AOB+\sphericalangle BOC=72^{\circ }+72^{\circ }=144^{\circ }$$

---

Subiectul al II-lea, 3)

Răspuns corect: c) $9\text{ cm}$

Rezolvare:
În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, măsura unghiului $\hat{B}$ este $30^{\circ }$, deci:
$$\sphericalangle ACB=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$$
$CM$ fiind bisectoarea unghiului $\widehat{ACB}$, avem:
$$\sphericalangle ACM=\sphericalangle MCB=\frac{60^{\circ }}{2}=30^{\circ }$$
În triunghiul dreptunghic $MAC$ (cu $\sphericalangle A=90^{\circ }$):
$$\sphericalangle ACM=30^{\circ }⟹MC=2\cdot AM=2\cdot 3=6\text{ cm}$$
În triunghiul $MBC$, observăm că $\sphericalangle MBC=30^{\circ }$ și $\sphericalangle MCB=30^{\circ }$, deci triunghiul $MBC$ este isoscel cu $MB=MC=6\text{ cm}$.
Lungimea catetei $AB$ este:
$$AB=AM+MB=3+6=9\text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 4)

Răspuns corect: b) $\frac{1}{2}$

Rezolvare:
Fie $AC=d_1$ și $BD=d_2$ diagonalele rombului $ABCD$.
Aria rombului este:
$${\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$$
Segmentele determinate de mijloacele laturilor rombului sunt linii mijlocii în triunghiurile determinate de laturi și diagonale:
$EF\parallel AC$, $EF=\frac{AC}{2}=\frac{d_1}{2}$; $HG\parallel AC$, $HG=\frac{AC}{2}=\frac{d_1}{2}$;
$EH\parallel BD$, $EH=\frac{BD}{2}=\frac{d_2}{2}$; $FG\parallel BD$, $FG=\frac{BD}{2}=\frac{d_2}{2}$.
Deoarece diagonalele rombului sunt perpendiculare ($AC\perp BD$), rezultă că laturile patrulaterului $EFGH$ sunt perpendiculare, deci $EFGH$ este dreptunghi, cu dimensiunile $\frac{d_1}{2}$ și $\frac{d_2}{2}$.
Aria dreptunghiului $EFGH$ este:
$${\mathcal{A}}_{EFGH}=\frac{d_1}{2}\cdot \frac{d_2}{2}=\frac{d_1\cdot d_2}{4}$$
Raportul căutat este:
$$\frac{{\mathcal{A}}_{EFGH}}{{\mathcal{A}}_{ABCD}}=\frac{\frac{d_1\cdot d_2}{4}}{\frac{d_1\cdot d_2}{2}}=\frac{1}{2}$$

---

Subiectul al II-lea, 5)

Răspuns corect: d) $12\pi \text{ cm}$

Rezolvare:
Cele $4$ arce sunt congruente și reuniunea lor formează întregul cerc ($360^{\circ }$), așadar măsura fiecărui arc este $360^{\circ }:4=90^{\circ }$.
Arcul $\text{overparen}ABC=\text{overparen}AB+\text{overparen}BC=90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }$, ceea ce înseamnă că $AC$ este diametrul cercului.
Lungimea diametrului este $D=AC=12\text{ cm}$.
Lungimea cercului este:
$$\mathcal{L}=\pi \cdot D=12\pi \text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 6)

Răspuns corect: c) $60^{\circ }$

Rezolvare:
Deoarece $B{C}^{\prime }\parallel A{D}^{\prime }$ (fețele $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ și $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ sunt paralele și congruente, iar $B{C}^{\prime }$ și $A{D}^{\prime }$ sunt diagonale paralele), unghiul dintre dreptele $B{C}^{\prime }$ și $D^{\prime }C$ este unghiul dintre $A{D}^{\prime }$ și $D^{\prime }C$, adică $\sphericalangle A{D}^{\prime }C$.
Segmentele $A{D}^{\prime }$, $D^{\prime }C$ și $AC$ sunt toate diagonale ale fețelor cubului, așadar sunt congruente:
$$A{D}^{\prime }=D^{\prime }C=AC=l\sqrt{2}$$
Triunghiul $A{D}^{\prime }C$ este echilateral, prin urmare măsura unghiului $\widehat{A{D}^{\prime }C}$ este egală cu $60^{\circ }$.

---

Subiectul al III-lea, 1)

a)

• La finalul zilei a treia, au mai rămas $32$ de pagini.
• În a patra zi, Oana citește jumătate din paginile rămase:
  $$32:2=16\text{ pagini}\text{**(1p)**}$$
• La finalul zilei a patra, rămân $32-16=16$ pagini.
• În a cincea zi, citește jumătate din cele $16$ pagini rămase:
  $$16:2=8\text{ pagini}\text{**(1p)**}$$

b)

• Fie $x$ numărul total de pagini ale cărții.
• În prima zi citește $\frac{x}{2}$ pagini, deci rămân $x-\frac{x}{2}=\frac{x}{2}$ pagini.
• În a doua zi citește jumătate din rest, adică $\frac{1}{2}\cdot \frac{x}{2}=\frac{x}{4}$ pagini.
  Rămân: $\frac{x}{2}-\frac{x}{4}=\frac{x}{4}$ pagini.
• În a treia zi citește jumătate din noul rest, adică $\frac{1}{2}\cdot \frac{x}{4}=\frac{x}{8}$ pagini.
• După a treia zi rămân $\frac{x}{4}-\frac{x}{8}=\frac{x}{8}$ pagini.
• Ecuația problemei este:
  $$\frac{x}{2}+\frac{x}{4}+\frac{x}{8}+32=x\text{sau direct }\frac{x}{8}=32\text{**(2p)**}$$
• Rezolvăm ecuația:
  $$x=32\cdot 8=256\text{ pagini}\text{**(1p)**}$$

---

Subiectul al III-lea, 2)

a)

• Dezvoltăm expresia $E(x)$:
  $$E(x)=(x^2+2x+1)-2(x^2-1)+(x^2-2x+1)-x^2$$
  $$E(x)=x^2+2x+1-2x^2+2+x^2-2x+1-x^2$$
  Observăm și gruparea conform baremului: $((x+1)-(x-1){)}^2-x^2=2^2-x^2=4-x^2$ $\text{**(1p)**}$
• Reducem termenii asemenea:
  $$E(x)=4-x^2=2^2-x^2=(2+x)(2-x),\text{pentru orice numa˘r real }x\text{**(1p)**}$$

b)

• Calculăm valorile $E(\sqrt{2})$ și $E(-\sqrt{2})$:
  $$E(\sqrt{2})=4-(\sqrt{2}{)}^2=4-2=2$$
  $$E(-\sqrt{2})=4-(-\sqrt{2}{)}^2=4-2=2\text{**(1p)**}$$
• Calculăm numărul $A$:
  $$A=E(\sqrt{2})+E(-\sqrt{2})-7=2+2-7=-3$$
• Comparăm $-3$ cu capetele intervalului $\left[-\sqrt{10},-2\sqrt{2}\right]$:
  Deoarece $2\sqrt{2}=\sqrt{8}$, avem $\sqrt{8}<\sqrt{9}=3<\sqrt{10}$, deci:
  $$-\sqrt{10}<-3<-\sqrt{8}=-2\sqrt{2}$$
  Prin urmare, $-3\in \left[-\sqrt{10},-2\sqrt{2}\right]$, adică $A\in \left[-\sqrt{10},-2\sqrt{2}\right]$ $\text{**(2p)**}$

---

Subiectul al III-lea, 3)

a)

• Efectuăm calculele din paranteză:
  $$\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}=\frac{1}{4}\cdot \frac{5}{2}=\frac{5}{8}$$
  $$\frac{2}{3}+\frac{5}{8}=\frac{16+15}{24}=\frac{31}{24}\text{**(1p)**}$$
• Efectuăm împărțirea:
  $$a=\frac{31}{24}:\frac{31}{12}=\frac{31}{24}\cdot \frac{12}{31}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}\text{**(1p)**}$$

b)

• Înlocuim $a=\frac{1}{2}$ în expresia lui $b$:
  $$3a\sqrt{8}=3\cdot \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$$
  $$5\sqrt{2}-3a\sqrt{8}=5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=2\sqrt{2}$$
  $$b=\frac{3}{\sqrt{2}}:2\sqrt{2}=\frac{3}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{3}{2\cdot 2}=\frac{3}{4}\text{**(2p)**}$$
• Calculăm numărul $N$:
  $$2a+4b=2\cdot \frac{1}{2}+4\cdot \frac{3}{4}=1+3=4$$
  $$N=\frac{\sqrt{4}}{2}=\frac{2}{2}=1$$
  Cum $1\in \mathbb{N}$, rezultă că $N$ este număr natural $\text{**(1p)**}$

---

Subiectul al III-lea, 4)

a)

• $AB=8\text{ cm}$ și $M$ este mijlocul segmentului $AB$, deci:
  $$AM=MB=\frac{8}{2}=4\text{ cm}$$
  Cum $CD=\frac{AB}{2}=4\text{ cm}$, avem $MB=CD$ și $MB\parallel CD$, deci patrulaterul $MBCD$ este paralelogram.
  Rezultă că $DM=BC=6\text{ cm}$ $\text{**(1p)**}$
• Perimetrul triunghiului $ADM$ este:
  $${\mathcal{P}}_{△ADM}=AD+DM+AM=6+6+4=16\text{ cm}\text{**(1p)**}$$

b)

• Fie $O$ mijlocul diagonalei $BD$. În triunghiul $BCD$, $CO$ este mediană, iar $P$ fiind centrul de greutate, se află pe $CO$ la două treimi de vârf:
  $$\frac{CP}{CO}=\frac{2}{3}\text{**(1p)**}$$
• În triunghiul $ADB$, $DM$ este mediană (deoarece $M$ este mijlocul lui $AB$), iar lungimea sa este $DM=6\text{ cm}$.
  Deoarece $DN=4\text{ cm}$, raportul este:
  $$\frac{DN}{DM}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$
  Punctul $N$ se află pe mediana $DM$ la două treimi de vârful $D$, deci $N$ este centrul de greutate al triunghiului $ADB$.
  Cum $AO$ este de asemenea mediană în triunghiul $ADB$ (deoarece $O$ este mijlocul lui $BD$), rezultă că:
  $$\frac{AN}{AO}=\frac{2}{3}\text{**(1p)**}$$
• În triunghiul $AOC$ (unde $O$ este pe dreapta diagonalelor):
  Avem punctele $N\in AO$ și $P\in CO$ astfel încât:
  $$\frac{AN}{AO}=\frac{CP}{CO}=\frac{2}{3}⟺\frac{ON}{OA}=\frac{OP}{OC}=\frac{1}{3}$$
  Conform reciprocei teoremei lui Thales în triunghiul $AOC$, obținem $NP\parallel AC$ $\text{**(1p)**}$

---

Subiectul al III-lea, 5)

a)

• În triunghiul dreptunghic $ABC$ ($sphericalangleA=90^{\circ }$), aplicăm teorema lui Pitagora:
  $$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\text{ cm}\text{**(1p)**}$$
• Sinusul unghiului $\widehat{ACB}$ este:
  $$\sin (\sphericalangle ACB)=\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{ipotenuza˘}}=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{13}\text{**(1p)**}$$

b)

• Avem $DC=3AD$ și $AD+DC=AC=12\text{ cm}$.
  $$AD+3AD=12⟹4AD=12⟹AD=3\text{ cm}$$
  $$DC=3\cdot 3=9\text{ cm}\text{**(1p)**}$$
• În triunghiul $DEC$ dreptunghic în $E$ ($DE\perp BC$):
  $$\sin (\sphericalangle ECD)=\frac{DE}{DC}$$
  Dar unghiul $\widehat{ECD}$ este chiar unghiul $\widehat{ACB}$, deci:
  $$\sin (\sphericalangle ACB)=\frac{DE}{DC}⟹\frac{5}{13}=\frac{DE}{9}⟹DE=\frac{45}{13}\text{ cm}$$
  (sau din asemănarea $△CDE\sim △CBA$) $\text{**(1p)**}$
• Comparăm $DE=\frac{45}{13}$ cu $3,5=\frac{7}{2}$:
  $$45\cdot 2=90$$
  $$13\cdot 7=91$$
  Deoarece $90<91$, avem $\frac{45}{13}<\frac{7}{2}=3,5$, prin urmare $DE<3,5\text{ cm}$ $\text{**(1p)**}$

---

Subiectul al III-lea, 6)

a)

• Fie $O$ punctul de intersecție a diagonalelor pătratului $ABCD$ ($AC\cap BD=\{O\}$). Piramida $VABCD$ fiind regulată, $VO\perp (ABC)$.
• Proiecția punctului $V$ pe planul $(ABC)$ este $O$, iar proiecția punctului $B$ pe $(ABC)$ este $B$, deci proiecția dreptei $VB$ pe planul $(ABC)$ este dreapta $OB$.
• Unghiul dintre dreapta $VB$ și planul $(ABC)$ este $\sphericalangle (VB,OB)=\sphericalangle VBO$ $\text{**(1p)**}$
• Diagonala bazei este $BD=AB\sqrt{2}=6\sqrt{2}\text{ cm}$, deci $OB=\frac{BD}{2}=3\sqrt{2}\text{ cm}$.
• Muchia laterală este $VB=6\text{ cm}$.
• În triunghiul dreptunghic $VOB$:
  $$\cos (\sphericalangle VBO)=\frac{OB}{VB}=\frac{3\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{2}⟹\sphericalangle VBO=45^{\circ }$$
  (Alternativ, $B{D}^2=(6\sqrt{2}{)}^2=72=36+36=V{B}^2+V{D}^2$, deci triunghiul $VBD$ este dreptunghic isoscel în $V$, de unde $\sphericalangle VBO=45^{\circ }$) $\text{**(1p)**}$

b)

• În patrulaterul $AMCN$, avem:
  $N$ este mijlocul lui $AD$, deci $AN=\frac{AD}{2}=3\text{ cm}$ și $AN\parallel MC$.
  $M$ este mijlocul lui $BC$, deci $MC=\frac{BC}{2}=3\text{ cm}$.
  Deoarece $AN\parallel MC$ și $AN=MC$, patrulaterul $AMCN$ este paralelogram.
  Rezultă că $AM\parallel CN$ $\text{**(1p)**}$
• Cum $AM\subset (AMP)$ și $CN\subset (NCV)$, avem $CN\parallel (AMP)$.
• În triunghiul $VBC$, $P$ este mijlocul muchiei $VB$, iar $M$ este mijlocul muchiei $BC$.
  Rezultă că $PM$ este linie mijlocie în $△VBC$, deci $PM\parallel VC$.
  Cum $PM\subset (AMP)$ și $VC\subset (NCV)$, rezultă că $VC\parallel (AMP)$ $\text{**(1p)**}$
• Dreptele $CN$ și $VC$ sunt concurente ($CN\cap VC=\{C\}$) și sunt conținute în planul $(NCV)$. De asemenea, dreptele $AM$ și $PM$ sunt concurente în $M$ și incluse în $(AMP)$.
  Având două drepte concurente din planul $(NCV)$ paralele cu două drepte concurente din planul $(AMP)$ ($CN\parallel AM$ și $VC\parallel PM$), rezultă că planele sunt paralele:
  $$(NCV)\parallel (AMP)\text{**(1p)**}$$

EVALUAREA NAȚIONALĂ PENTRU ABSOLVENȚII CLASEI a VIII-a

Anul școlar 2020 – 2021
Matematică
Simulare

• Toate subiectele sunt obligatorii.
• Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de două ore.

---

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Rezultatul calculului $45:5+4$ este egal cu:
a) $4$
b) $5$
c) $9$
d) $13$

5p 2. Numărul care reprezintă $40\%$ din $50$ este egal cu:
a) $20$
b) $25$
c) $40$
d) $50$

5p 3. Suma numerelor $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$ și $3$ este egală cu:
a) $-9$
b) $-3$
c) $3$
d) $9$

5p 4. Fracția $\frac{14}{21}$ este echivalentă cu:
a) $\frac{3}{7}$
b) $\frac{2}{3}$
c) $\frac{21}{14}$
d) $\frac{7}{3}$

5p 5. Se consideră mulțimea $A=\{x\in \mathbb{Z}\mid -2\le x<2\}$. Dintre următoarele mulțimi, cea care reprezintă scrierea mulțimii $A$ prin enumerarea elementelor sale este:
a) $\{-2,-1,0,1,2\}$
b) $\{-2,-1,0,1\}$
c) $\{0,1,2\}$
d) $\{-1,0,1,2\}$

5p 6. La alegerile pentru stabilirea responsabilului unei clase, elevii candidați au fost: Andrei, Vali, Sanda și Dana. După ce toți elevii clasei au votat, procentele obținute de candidați au fost următoarele:

Andrei	Vali	Sanda	Dana
$15\%$	$25\%$	$35\%$	$x\%$

Dana a fost votată de:
a) $45\%$ din elevii clasei
b) $35\%$ din elevii clasei
c) $25\%$ din elevii clasei
d) $15\%$ din elevii clasei

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura alăturată punctele $A$, $B$, $C$, $D$ și $E$, în această ordine, sunt coliniare, astfel încât $AB\ne BC$. Dacă segmentul $AB$ este congruent cu segmentul $CD$ și segmentul $BC$ este congruent cu segmentul $DE$, atunci:
[Figura: Punctele coliniare A, B, C, D și E pe o dreaptă, în această ordine]
a) punctul $B$ este mijlocul segmentului $AC$
b) punctul $C$ este mijlocul segmentului $CD$
c) punctul $D$ este mijlocul segmentului $CE$
d) punctul $C$ este mijlocul segmentului $AE$

5p 2. Unghiurile congruente $\widehat{AOB}$, $\widehat{BOC}$, $\widehat{COD}$, $\widehat{DOE}$ și $\widehat{EOA}$ sunt unghiuri formate în jurul punctului $O$. Măsura unghiului $AOC$ este egală cu:
[Figura: Cinci unghiuri congruente formate în jurul punctului O de semidreptele OA, OB, OC, OD, OE]
a) $144^{\circ }$
b) $120^{\circ }$
c) $72^{\circ }$
d) $36^{\circ }$

5p 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu măsura unghiului $ABC$ de $30^{\circ }$. Bisectoarea unghiului $ACB$ intersectează dreapta $AB$ în punctul $M$ și $AM=3\text{ cm}$. Lungimea catetei $AB$ este egală cu:
[Figura: Triunghiul dreptunghic ABC cu unghiul A drept, unghiul B de 30 de grade, bisectoarea CM a unghiului C, cu M pe AB]
a) $3\text{ cm}$
b) $6\text{ cm}$
c) $9\text{ cm}$
d) $12\text{ cm}$

5p 4. În figura alăturată este reprezentat rombul $ABCD$. Punctele $E$, $F$, $G$ și $H$ sunt mijloacele segmentelor $AB$, $BC$, $CD$, respectiv $AD$. Raportul dintre aria patrulaterului $EFGH$ și aria rombului $ABCD$ este egal cu:
[Figura: Rombul ABCD cu mijloacele laturilor E, F, G, H unite pentru a forma patrulaterul EFGH]
a) $\frac{1}{4}$
b) $\frac{1}{2}$
c) $\frac{2}{3}$
d) $\frac{3}{4}$

5p 5. În figura alăturată punctele distincte $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt situate pe cerc, astfel încât arcele $\text{overparen}AB$, $\text{overparen}BC$, $\text{overparen}CD$ și $\text{overparen}AD$ sunt congruente. Dacă $AC=12\text{ cm}$, atunci lungimea cercului este egală cu:
[Figura: Cercul cu punctele A, B, C, D situate consecutiv pe el, determinând patru arce congruente]
a) $3\pi \text{ cm}$
b) $4\pi \text{ cm}$
c) $6\pi \text{ cm}$
d) $12\pi \text{ cm}$

5p 6. În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Măsura unghiului dreptelor $B{C}^{\prime }$ și $D^{\prime }C$ este egală cu:
[Figura: Cubul ABCDA'B'C'D' cu segmentele BC' și D'C trasate]
a) $30^{\circ }$
b) $45^{\circ }$
c) $60^{\circ }$
d) $90^{\circ }$

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrieți rezolvările complete. (30 de puncte)

1. Oana începe să citească o carte. În prima zi citește jumătate din numărul paginilor cărții, în a doua zi jumătate din rest, iar în a treia zi citește jumătate din numărul paginilor rămase și constată că mai are de citit $32$ de pagini.
(2p) a) Dacă ar continua să citească zilnic jumătate din numărul de pagini rămase, câte pagini ar avea de citit în cea de-a cincea zi?
(3p) b) Determină numărul de pagini ale cărții.

2. Se consideră expresia $E(x)=(x+1{)}^2-2(x^2-1)+(x-1{)}^2-x^2$, unde $x$ este număr real.
(2p) a) Arată că $E(x)=(2+x)(2-x)$, pentru orice număr real $x$.
(3p) b) Arată că numărul $A=E(\sqrt{2})+E(-\sqrt{2})-7$ aparține intervalului $\left[-\sqrt{10},-2\sqrt{2}\right]$.

3. Se consideră numerele reale $a=\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\right):\frac{31}{12}$ și $b=\frac{3}{\sqrt{2}}:\left(5\sqrt{2}-3a\sqrt{8}\right)$.
(2p) a) Arată că $a=\frac{1}{2}$.
(3p) b) Arată că numărul $N=\frac{\sqrt{2a+4b}}{2}$ este natural.

4. În figura alăturată este reprezentat trapezul isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AD=BC=6\text{ cm}$ și $AB=2CD=8\text{ cm}$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$.
[Figura: Trapezul isoscel ABCD cu baza mare AB, baza mică CD, punctul M mijlocul lui AB, diagonalele AC și BD, punctul N pe DM și P pe diagonala/mediana triunghiului BCD]
(2p) a) Arată că perimetrul triunghiului $ADM$ este egal cu $16\text{ cm}$.
(3p) b) Știind că punctul $N$ aparține segmentului $DM$ astfel încât $DN=4\text{ cm}$ și punctul $P$ este centrul de greutate al triunghiului $BCD$, demonstrează că dreptele $NP$ și $AC$ sunt paralele.

5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, $AB=5\text{ cm}$ și $AC=12\text{ cm}$. Punctul $D$ aparține segmentului $AC$ astfel încât $DC=3AD$. Perpendiculara din punctul $D$ pe dreapta $BC$ intersectează latura $BC$ în punctul $E$.
[Figura: Triunghiul dreptunghic ABC cu D situat pe cateta AC și perpendiculara DE pe ipotenuza BC]
(2p) a) Arată că sinusul unghiului $ACB$ este egal cu $\frac{5}{13}$.
(3p) b) Arată că lungimea segmentului $DE$ este mai mică decât $3,5\text{ cm}$.

6. În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată $VABCD$ cu baza $ABCD$, $AB=VA=6\text{ cm}$. Punctele $M$, $N$ și $P$ sunt mijloacele muchiilor $BC$, $AD$, respectiv $VB$.
[Figura: Piramidă patrulateră regulată VABCD cu baza pătratul ABCD, centrul bazei O, mijloacele M pe BC, N pe AD și P pe VB]
(2p) a) Arată că unghiul dintre dreapta $VB$ și planul $(ABC)$ are măsura de $45^{\circ }$.
(3p) b) Arată că planele $(NCV)$ și $(AMP)$ sunt paralele.