Evaluare Națională 2021, matematică: model oficial

Subiectul I, 1)

Răspuns corect: c)

Descompunem numărul $154$ în factori primi:
$$154=2\cdot 7\cdot 11$$
Divizorii primi ai numărului $154$ sunt $2$, $7$ și $11$. Dintre aceștia, cel mai mare este $11$.

---

Subiectul I, 2)

Răspuns corect: c)

Raportul dintre numerele $a$ și $b$ este $\frac{a}{b}=\frac{5}{11}$.
Amplificând fracția cu $2$, obținem:
$$\frac{5\cdot 2}{11\cdot 2}=\frac{10}{22}$$

---

Subiectul I, 3)

Răspuns corect: b)

Diferența dintre temperatura înregistrată marți ($-7^{\circ }\text{C}$) și cea înregistrată luni ($-5^{\circ }\text{C}$) este:
$$-7^{\circ }\text{C}-(-5^{\circ }\text{C})=-7^{\circ }\text{C}+5^{\circ }\text{C}=-2^{\circ }\text{C}$$

---

Subiectul I, 4)

Răspuns corect: a)

Aducem fracțiile la același numitor comun, care este $18$:

• $\frac{1}{18}$
• $\frac{1}{3}=\frac{1\cdot 6}{3\cdot 6}=\frac{6}{18}$
• $\frac{5}{6}=\frac{5\cdot 3}{6\cdot 3}=\frac{15}{18}$
• $\frac{8}{9}=\frac{8\cdot 2}{9\cdot 2}=\frac{16}{18}$

Comparând numărătorii: $1<6<15<16$, deci $\frac{1}{18}<\frac{1}{3}<\frac{5}{6}<\frac{8}{9}$. Setul scris în ordine crescătoare este cel de la varianta a).

---

Subiectul I, 5)

Răspuns corect: d)

Simplificăm radicalii din expresia lui $n$:

• $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
• $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$

Atunci:
$$n=\sqrt{2}-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=(1-2+3)\sqrt{2}=2\sqrt{2}$$
Înmulțind $n$ cu $\sqrt{2}$, obținem:
$$n\cdot \sqrt{2}=2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2\cdot 2=4$$
Elevul care a obținut rezultatul $4$ este Laura.

---

Subiectul I, 6)

Răspuns corect: b)

Numărul total de elevi este:
$$N=2+4+5+2+4+2+1=20$$
Suma tuturor punctajelor obținute de elevi este:
$$S=40\cdot 2+50\cdot 4+60\cdot 5+70\cdot 2+80\cdot 4+90\cdot 2+100\cdot 1$$
$$S=80+200+300+140+320+180+100=1320$$
Media aritmetică ponderată a punctajelor este:
$$M_a=\frac{1320}{20}=66$$

---

Subiectul al II-lea, 1)

Răspuns corect: a)

Punctul $C$ este simetricul punctului $A$ față de $M$, ceea ce înseamnă că $M$ este mijlocul segmentului $AC$. Prin urmare, lungimile celor două segmente sunt egale:
$$CM=AM=3\text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 2)

Răspuns corect: b)

Deoarece punctele $A$, $B$ și $C$ se află la distanțe egale față de $O$, ele aparțin cercului de centru $O$ și rază $R=OA=OB=OC$.
Punctele $A$, $O$ și $C$ fiind coliniare, segmentul $AC$ este diametru în acest cerc. Unghiul $\widehat{ABC}$ este un unghi înscris într-un cerc care subîntinde un semicerc (sau diametrul $AC$), așadar:
$$\sphericalangle ABC=90^{\circ }$$

---

Subiectul al II-lea, 3)

Răspuns corect: c)

În triunghiul $RAP$, avem $AR=AP$, deci triunghiul este isoscel, cu măsura unghiului la vârf $\sphericalangle RAP=120^{\circ }$.
Unghiurile de la bază au măsura:
$$\sphericalangle ARP=\sphericalangle APR=\frac{180^{\circ }-120^{\circ }}{2}=30^{\circ }$$
Punctul $M$ este mijlocul bazei $RP$, deci mediana $AM$ este și înălțime și bisectoare a unghiului $\widehat{RAP}$:
$$AM\perp RP\text{și}\sphericalangle MAP=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }$$
Segmentul $MD$ reprezintă distanța de la $M$ la dreapta $AP$, deci $MD\perp AP$.
În triunghiul dreptunghic $ADM$ (cu $\sphericalangle ADM=90^{\circ }$ și $\sphericalangle MAD=60^{\circ }$):
$$\sphericalangle AMD=30^{\circ }$$
Cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ este $AD$, conform teoremei unghiului de $30^{\circ }$:
$$AD=\frac{AM}{2}⟹AM=2\cdot AD=2\cdot 400\text{ m}=800\text{ m}$$
În triunghiul dreptunghic $AMP$ (cu $\sphericalangle AMP=90^{\circ }$ și $\sphericalangle APM=30^{\circ }$):
$$AM=\frac{AP}{2}⟹AP=2\cdot AM=2\cdot 800\text{ m}=1600\text{ m}$$
Distanța de la locuința lui Paul ($P$) la punctul $D$ este:
$$DP=AP-AD=1600\text{ m}-400\text{ m}=1200\text{ m}$$

---

Subiectul al II-lea, 4)

Răspuns corect: c)

Fie ${\mathcal{A}}_{ABCD}=\mathcal{A}$ aria totală a rombului.
Diagonala $AC$ împarte rombul în două triunghiuri de arii egale:
$${\mathcal{A}}_{ABC}={\mathcal{A}}_{ADC}=\frac{\mathcal{A}}{2}$$
În triunghiul $ABC$, $M$ este mijlocul laturii $BC$, deci $AM$ este mediană, împărțind triunghiul în două triunghiuri de arii egale:
$${\mathcal{A}}_{ABM}=\frac{1}{2}{\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\mathcal{A}}{2}=\frac{\mathcal{A}}{4}$$
Analog, în triunghiul $ADC$, $N$ este mijlocul laturii $CD$, deci $AN$ este mediană:
$${\mathcal{A}}_{ADN}=\frac{1}{2}{\mathcal{A}}_{ADC}=\frac{\mathcal{A}}{4}$$
Pentru triunghiul $CMN$, observăm că $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $BC$ și $CD$ în triunghiul $BCD$. Triunghiul $CMN$ este asemenea cu triunghiul $CBD$ cu raportul de asemănare $k=\frac{1}{2}$, deci:
$${\mathcal{A}}_{CMN}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2{\mathcal{A}}_{BCD}=\frac{1}{4}\cdot \frac{\mathcal{A}}{2}=\frac{\mathcal{A}}{8}$$
Aria triunghiului $AMN$ se obține scăzând din aria rombului ariile celor trei triunghiuri exterioare:
$${\mathcal{A}}_{AMN}=\mathcal{A}-({\mathcal{A}}_{ABM}+{\mathcal{A}}_{ADN}+{\mathcal{A}}_{CMN})=\mathcal{A}-\left(\frac{\mathcal{A}}{4}+\frac{\mathcal{A}}{4}+\frac{\mathcal{A}}{8}\right)=\mathcal{A}-\frac{5\mathcal{A}}{8}=\frac{3}{8}\mathcal{A}$$
Așadar, aria acoperită cu cimbru reprezintă $\frac{3}{8}$ din aria totală a grădinii.

---

Subiectul al II-lea, 5)

Răspuns corect: b)

Unghiul $\widehat{ACD}$ este un unghi înscris în cerc, deci măsura arcului pe care îl subîntinde este dublul măsurii sale:
$$\overgroup{AD}=2\cdot \sphericalangle ACD=2\cdot 55^{\circ }=110^{\circ }$$
Deoarece segmentul $AB$ este diametru, arcul $\overgroup{ADB}$ este un semicerc, având măsura de $180^{\circ }$.
Astfel, măsura arcului $\overgroup{DB}$ este:
$$\overgroup{DB}=180^{\circ }-\overgroup{AD}=180^{\circ }-110^{\circ }=70^{\circ }$$
Unghiul $\widehat{DOB}$ este un unghi la centru, deci măsura sa este egală cu măsura arcului subîntins:
$$\sphericalangle DOB=\overgroup{DB}=70^{\circ }$$

---

Subiectul al II-lea, 6)

Răspuns corect: c)

Volumul cubului inițial de muchie $L=12\text{ cm}$ este:
$$V=L^3=12^3=1728{\text{ cm}}^3$$
Prin secționare în $27$ de cubulețe egale, volumul unui cubuleț este:
$$V_{\text{cubuleț}}=\frac{1728}{27}=64{\text{ cm}}^3$$
Dacă notăm cu $l$ muchia cubulețului, atunci $l^3=64$, de unde:
$$l=\sqrt[3]{64}=4\text{ cm}$$
(Sau direct, cubul este împărțit pe fiecare dimensiune în $\sqrt[3]{27}=3$ segmente egale, deci $l=\frac{12}{3}=4\text{ cm}$.)

---

Subiectul al III-lea, 1)

a)
Fie $e$ numărul de elevi și $x$ numărul de bănci din clasă.
Dacă elevii se așază câte doi într-o bancă, un elev stă singur și 2 bănci sunt libere. Numărul de bănci ocupate cu 2 elevi este $x-3$, o bancă are 1 elev, iar 2 bănci sunt libere.
Numărul elevilor este:
$$e=2(x-3)+1=2x-5$$
Deoarece $2(x-3)$ este număr par, $2(x-3)+1$ este număr impar, deci numărul de elevi din clasă trebuie să fie un număr impar. (1p)
Cum $14$ este număr par, deducem că nu este posibil ca în clasă să fie $14$ elevi. (1p)

b)
Scriem ecuația corespunzătoare celei de-a doua situații: dacă se așază câte trei în bancă, 6 bănci rămân libere, iar restul sunt complet ocupate, deci numărul de elevi este:
$$e=3(x-6)$$
Egalând cele două expresii ale numărului de elevi, obținem:
$$2(x-3)+1=3(x-6)$$ (2p)
$$2x-6+1=3x-18$$
$$2x-5=3x-18$$
$$3x-2x=18-5⟹x=13$$
În clasă sunt $13$ bănci. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 2)

a)
Descompunem termenul din mijloc sau rescriem expresia:
$$x^2-7x+10=x^2-2x-5x+10$$ (1p)
$$=x(x-2)-5(x-2)=(x-2)(x-5)$$, pentru orice număr real $x$. (1p)

b)
Calculăm prima paranteză a expresiei:
$$x-\frac{1}{2-x}=x+\frac{1}{x-2}=\frac{x(x-2)+1}{x-2}=\frac{x^2-2x+1}{x-2}=\frac{(x-1{)}^2}{x-2}$$
(Sau lucrând direct cu numitorul $2-x$: $\frac{x(2-x)-1}{2-x}=\frac{2x-x^2-1}{2-x}=\frac{-(x^2-2x+1)}{-(x-2)}=\frac{(x-1{)}^2}{x-2}$) (1p)

Descompunem numărătorul celei de-a doua fracții:
$$x^3-2x^2+x=x(x^2-2x+1)=x(x-1{)}^2$$
Iar numitorul este, conform punctului a):
$$x^2-7x+10=(x-2)(x-5)$$
Împărțirea devine:
$$E(x)=\frac{(x-1{)}^2}{x-2}:\frac{x(x-1{)}^2}{(x-2)(x-5)}=\frac{(x-1{)}^2}{x-2}\cdot \frac{(x-2)(x-5)}{x(x-1{)}^2}$$
Simplificând prin factorii comuni $(x-1{)}^2\ne 0$ și $(x-2)\ne 0$, obținem:
$$E(x)=\frac{x-5}{x}$$, pentru orice $x\in \mathbb{R}\setminus \{0,1,2,5\}$. (2p)

---

Subiectul al III-lea, 3)

a)
Calculăm valorile funcției în cele două puncte:
$$f(0)=-0+6=6$$
$$f(6)=-6+6=0$$ (1p)
Produsul cerut este:
$$f(0)\cdot f(6)=6\cdot 0=0$$ (1p)

b)
Punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate sunt:

• Cu axa $Ox$: $y=f(x)=0⟹-x+6=0⟹x=6$, deci $A(6,0)$, de unde $OA=6$.
• Cu axa $Oy$: $x=0⟹y=f(0)=6$, deci $B(0,6)$, de unde $OB=6$. (1p)

Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$, cu catetele $OA=6$ și $OB=6$.
Ipotenuza este:
$$AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$$
Distanța de la punctul $O$ la dreapta $AB$ este lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei în $\Delta AOB$:
$$d(O,AB)=\frac{OA\cdot OB}{AB}=\frac{6\cdot 6}{6\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$$ (2p)

---

Subiectul al III-lea, 4)

a)
Deoarece $CD\parallel AB$, dreptele paralele $AB$ și $CD$ tăiate de secanta $AC$ determină unghiuri alterne interne egale, deci $\sphericalangle PAM=\sphericalangle PCD=60^{\circ }$.
În triunghiul dreptunghic $APM$ (cu $\sphericalangle APM=90^{\circ }$):
$$M\text{ este mijlocul lui }AB⟹AM=\frac{AB}{2}=\frac{8}{2}=4\text{ cm}$$
Cum $\sphericalangle PAM=60^{\circ }$, avem $\sphericalangle AMP=30^{\circ }$.
Conform teoremei unghiului de $30^{\circ }$:
$$AP=\frac{AM}{2}=\frac{4}{2}=2\text{ cm}$$
Atunci $CP=AC-AP=8\text{ cm}-2\text{ cm}=6\text{ cm}$.
Deoarece $MP\perp AC$ și punctele $M,P,D$ sunt coliniare, avem și $DP\perp AC$, deci triunghiul $CPD$ este dreptunghic în $P$.
Triunghiurile $AMP$ și $CDP$ sunt asemenea (având unghiurile de $90^{\circ }$ și $\sphericalangle AMP=\sphericalangle CDP=30^{\circ }$), deci:
$$\frac{AM}{CD}=\frac{AP}{CP}$$ (1p)
Înlocuind valorile:
$$\frac{4}{CD}=\frac{2}{6}⟹CD=\frac{4\cdot 6}{2}=12\text{ cm}$$ (1p)

b)
Patrulaterul $AMCD$ are $AM\parallel CD$ ($M$ fiind pe $AB$), deci este un trapez cu bazele $AM=4\text{ cm}$ și $CD=12\text{ cm}$.
Calculăm lungimea segmentului $CM$, care este mediană în triunghiul echilateral $ABC$, deci și înălțime:
$$CM=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\text{ cm}$$ (1p)
Deoarece $CM\perp AB$ și $CD\parallel AB$, rezultă că $CM\perp CD$, așadar trapezul $AMCD$ este trapez dreptunghic, cu înălțimea $h=CM=4\sqrt{3}\text{ cm}$.
Aria trapezului $AMCD$ este:
$${\mathcal{A}}_{AMCD}=\frac{(AM+CD)\cdot CM}{2}=\frac{(4+12)\cdot 4\sqrt{3}}{2}=\frac{16\cdot 4\sqrt{3}}{2}=32\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$$ (2p)

---

Subiectul al III-lea, 5)

a)
În triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AE\perp BC$, $E\in BC$, conform teoremei catetei pentru cateta $AC$:
$$A{C}^2=EC\cdot BC$$ (1p)
Înlocuind datele cunoscute:
$$6^2=4\cdot BC⟹36=4\cdot BC⟹BC=\frac{36}{4}=9\text{ cm}$$ (1p)

b)
În triunghiul dreptunghic $ABC$, aplicăm teorema lui Pitagora pentru a afla cateta $AB$:
$$A{B}^2=B{C}^2-A{C}^2=9^2-6^2=81-36=45$$
$$AB=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\text{ cm}$$ (1p)
Perimetrul triunghiului $ABC$ este:
$${\mathcal{P}}_{\Delta ABC}=AB+BC+AC=3\sqrt{5}+9+6=15+3\sqrt{5}=3(5+\sqrt{5})\text{ cm}$$
Pentru a demonstra că ${\mathcal{P}}_{\Delta ABC}<22\text{ cm}$, demonstrăm că $3\sqrt{5}<7$:
$$(3\sqrt{5}{)}^2=9\cdot 5=45<49=7^2⟹3\sqrt{5}<7$$
Prin urmare:
$${\mathcal{P}}_{\Delta ABC}=15+3\sqrt{5}<15+7=22\text{ cm}$$ (2p)

---

Subiectul al III-lea, 6)

a)
Fie $l$ lungimea muchiei cubului.
Considerăm diagonala feței $C{D}^{\prime }$, al cărei mijloc îl notăm cu $M$, și diagonala cubului $A^{\prime }C$, al cărei mijloc este centrul cubului, notat cu $O$.
În triunghiul $A^{\prime }C{D}^{\prime }$, punctul $O$ este mijlocul lui $A^{\prime }C$, iar $M$ este mijlocul lui $C{D}^{\prime }$.
Segmentul $OM$ unește mijloacele a două laturi, deci este linie mijlocie în $\Delta A^{\prime }C{D}^{\prime }$:
$$OM=\frac{A^{\prime }{D}^{\prime }}{2}=\frac{l}{2}$$
Conform enunțului, distanța este $OM=50\text{ cm}$, de unde:
$$\frac{l}{2}=50\text{ cm}⟹l=100\text{ cm}=1\text{ m}$$ (1p)
Aria totală a cubului este:
$${\mathcal{A}}_{\text{totala˘}}=6\cdot l^2=6\cdot 1^2=6{\text{ m}}^2$$
Cantitatea de vopsea necesară este:
$$V_{\text{vopsea}}=6\cdot 0,5=3\text{ litri}$$ (1p)

b)
Fie $Q$ mijlocul segmentului $A^{\prime }B$.
În pătratul $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$, diagonalele sunt perpendiculare și se înjumătățesc, deci $AQ\perp A^{\prime }B$.
Deoarece $A^{\prime }{D}^{\prime }\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ și $AQ\subset (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, rezultă că $AQ\perp A^{\prime }{D}^{\prime }$. (1p)
Având $AQ\perp A^{\prime }B$ și $AQ\perp A^{\prime }{D}^{\prime }$, cu $A^{\prime }B\cap A^{\prime }{D}^{\prime }=\{A^{\prime }\}$ și dreptele $A^{\prime }B,A^{\prime }{D}^{\prime }\subset (A^{\prime }B{D}^{\prime })$, rezultă că:
$$AQ\perp (A^{\prime }B{D}^{\prime })$$
Cum planul $(A^{\prime }{D}^{\prime }C)$ este același cu planul secțiunii diagonale $(A^{\prime }{B}^{\prime }CD)$ sau conține dreptele paralele $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BC$ și diagonala feței $B^{\prime }C\parallel A^{\prime }D$, observăm direct că dreapta $A^{\prime }B$ este perpendiculară pe $A{B}^{\prime }$, iar planul $(A^{\prime }{D}^{\prime }C)$ conține dreapta $D^{\prime }C\parallel A^{\prime }B$.
Mai riguros: planul $(A^{\prime }{D}^{\prime }C)$ conține dreptele concurente $A^{\prime }{D}^{\prime }$ și $D^{\prime }C$.
Avem $AQ\perp A^{\prime }{D}^{\prime }$ și, deoarece $A^{\prime }B\parallel D^{\prime }C$, din $AQ\perp A^{\prime }B$ rezultă $AQ\perp D^{\prime }C$.
Cum $A^{\prime }{D}^{\prime }\cap D^{\prime }C=\{D^{\prime }\}$ în planul $(A^{\prime }{D}^{\prime }C)$, rezultă că:
$$AQ\perp (A^{\prime }{D}^{\prime }C)⟹d(A,(A^{\prime }{D}^{\prime }C))=AQ$$ (1p)
Lungimea segmentului $AQ$ este jumătatea diagonalei feței $A{B}^{\prime }$ a cubului:
$$A{B}^{\prime }=l\sqrt{2}=100\sqrt{2}\text{ cm}$$
$$AQ=\frac{A{B}^{\prime }}{2}=\frac{100\sqrt{2}}{2}=50\sqrt{2}\text{ cm}$$ (1p)

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Cel mai mare divizor prim al numărului $154$ este numărul:
a) $2$
b) $7$
c) $11$
d) $77$

5p 2. Se consideră numerele naturale $a=5$ și $b=11$. Raportul dintre numerele $a$ și $b$ are aceeași valoare cu raportul:
a) $\frac{10}{11}$
b) $\frac{1}{2}$
c) $\frac{10}{22}$
d) $\frac{5}{22}$

5p 3. Luni, temperatura măsurată la ora 10, la o stație meteo a fost de $-5^{\circ }\text{C}$, iar marți, la aceeași oră, au fost înregistrate $-7^{\circ }\text{C}$. Diferența dintre temperatura înregistrată marți și cea înregistrată luni este egală cu:
a) $-9^{\circ }\text{C}$
b) $-2^{\circ }\text{C}$
c) $6^{\circ }\text{C}$
d) $9^{\circ }\text{C}$

5p 4. Dintre următoarele seturi de numere, cel scris în ordine crescătoare este:
a) $\frac{1}{18},\frac{1}{3},\frac{5}{6},\frac{8}{9}$
b) $\frac{1}{3},\frac{1}{18},\frac{5}{6},\frac{8}{9}$
c) $\frac{8}{9},\frac{5}{6},\frac{1}{3},\frac{1}{18}$
d) $\frac{1}{3},\frac{8}{9},\frac{5}{6},\frac{1}{18}$

5p 5. Bogdan, Ana, Cătălin și Laura înmulțesc numărul $n=\sqrt{2}-\sqrt{8}+\sqrt{18}$ cu $\sqrt{2}$ și obțin rezultatele înregistrate în tabelul următor:

Bogdan	$-4$
Ana	$2\sqrt{2}$
Cătălin	$0$
Laura	$4$

Dintre cei patru elevi, cel care a obținut rezultatul corect al înmulțirii este:
a) Bogdan
b) Ana
c) Cătălin
d) Laura

5p 6. În tabelul următor sunt înregistrate punctajele obținute de elevii unei clase la un test de cultură generală:

Punctaj	40	50	60	70	80	90	100
Număr de elevi	2	4	5	2	4	2	1

Media aritmetică a punctajelor obținute de elevii participanți la test este:
a) $60,9$
b) $66$
c) $69,5$
d) $69$

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura alăturată sunt reprezentate punctele $A$, $M$ și $C$. Punctul $C$ este simetricul punctului $A$ față de punctul $M$. Dacă $AM=3\text{ cm}$, atunci segmentul $CM$ are lungimea egală cu:

[Figura: Trei puncte coliniare A, M, C, cu M situat între A și C]

a) $3\text{ cm}$
b) $4\text{ cm}$
c) $6\text{ cm}$
d) $9\text{ cm}$

5p 2. În figura alăturată sunt reprezentate punctele $A$, $B$, $C$ și $O$, astfel încât $A$, $B$ și $C$ sunt situate la distanțe egale față de punctul $O$, iar punctele $A$, $O$ și $C$ sunt coliniare. Măsura unghiului $ABC$ este egală cu:

[Figura: Punctele A, O, C sunt coliniare, iar B este un punct situat la aceeași distanță de O ca și A și C, formând un cerc cu diametrul AC]

a) $120^{\circ }$
b) $90^{\circ }$
c) $60^{\circ }$
d) $30^{\circ }$

5p 3. Locuința Alinei, marcată pe schiță cu punctul $A$, este situată la distanțe egale față de locuințele celor doi colegi de clasă, Radu și Paul, marcate pe schiță cu punctele $R$, respectiv $P$. Radu pornește de acasă, spre Paul, pe drumul cel mai scurt. La jumătatea distanței, adică în punctul $M$, se hotărăște să se îndrepte spre șoseaua $AP$, parcurgând distanța cea mai scurtă. Ajuns la șosea, în punctul $D$, Radu află că până la locuința Alinei sunt $400\text{ m}$. La ce distanță se află locuința lui Paul față de punctul $D$, în care s-a oprit Radu, dacă măsura unghiului $RAP$ este de $120^{\circ }$?

[Figura: Triunghiul isoscel RAP cu AR = AP și unghiul RAP de 120 de grade, M mijlocul laturii RP, MD perpendicular pe AP cu D pe AP]

a) $400\text{ m}$
b) $800\text{ m}$
c) $1200\text{ m}$
d) $1600\text{ m}$

5p 4. În figura alăturată este reprezentată schița unei grădini de plante aromatice, în formă de romb $ABCD$. Suprafața hașurată, corespunzătoare triunghiului $AMN$, unde $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $BC$, respectiv $CD$, este acoperită cu cimbru, iar restul suprafeței grădinii este acoperită cu lavandă. Din aria totală a grădinii, aria suprafeței acoperite cu cimbru reprezintă:

[Figura: Rombul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD și triunghiul AMN hașurat]

a) $\frac{1}{2}$
b) $\frac{1}{3}$
c) $\frac{3}{8}$
d) $\frac{1}{5}$

5p 5. Punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt situate pe un cerc de centru $O$, astfel încât punctele $A$ și $B$ sunt diametral opuse și măsura unghiului $ACD$ este de $55^{\circ }$. Măsura unghiului $DOB$ este egală cu:

[Figura: Cerc de centru O cu diametrul AB, punctele C și D pe cerc, coarda CD și unghiurile ACD și DOB indicate]

a) $55^{\circ }$
b) $70^{\circ }$
c) $110^{\circ }$
d) $180^{\circ }$

5p 6. În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ care are muchia egală cu $12\text{ cm}$. Secționăm cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ în $27$ de cubulețe cu volume egale. Lungimea muchiei unui cubuleț este egală cu:

[Figura: Cubul ABCDA'B'C'D']

a) $1\text{ cm}$
b) $2\text{ cm}$
c) $4\text{ cm}$
d) $6\text{ cm}$

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrieți rezolvările complete. (30 de puncte)

5p 1. Dacă într-o clasă se așază câte doi elevi într-o bancă, atunci un elev rămâne singur în bancă, iar două bănci rămân libere. Dacă elevii se așază câte trei în bancă, atunci șase bănci rămân libere, iar celelalte bănci sunt ocupate complet.

(2p) a) Este posibil ca în clasă să fie 14 elevi? Justifică răspunsul dat.

(3p) b) Determină numărul de bănci din clasă.

5p 2. Se consideră expresia $E(x)=\left(x-\frac{1}{2-x}\right):\frac{x^3-2x^2+x}{x^2-7x+10}$, unde $x\in \mathbb{R}\setminus \{0,1,2,5\}$.

(2p) a) Arată că $x^2-7x+10=(x-2)(x-5)$, pentru orice număr real $x$.

(3p) b) Demonstrează că $E(x)=\frac{x-5}{x}$, pentru orice $x\in \mathbb{R}\setminus \{0,1,2,5\}$.

5p 3. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x+6$.

(2p) a) Calculează $f(0)\cdot f(6)$.

(3p) b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele $Ox$ și $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$ în punctele $A$, respectiv $B$. Determină distanța de la punctul $O$ la dreapta $AB$.

[Figura: Graficul funcției f intersectând axa Oy în B și axa Ox în A]

5p 4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $ABC$, cu $AB=8\text{ cm}$. Notăm cu $M$ mijlocul laturii $AB$ și construim din $M$ perpendiculara pe $AC$, care intersectează pe $AC$ în $P$ și paralela prin $C$ la $AB$ în $D$.

[Figura: Triunghiul echilateral ABC, M mijlocul lui AB, segmentul MP perpendicular pe AC cu P pe AC, prelungit până intersectează paralela prin C la AB în punctul D]

(2p) a) Arată că $CD=12\text{ cm}$.

(3p) b) Calculează aria trapezului $AMCD$.

5p 5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$. Notăm cu $E$ proiecția punctului $A$ pe dreapta $BC$. Lungimea laturii $AC$ este de $6\text{ cm}$, iar lungimea segmentului $EC$ este de $4\text{ cm}$.

[Figura: Triunghiul ABC dreptunghic în A, cu înălțimea AE coborâtă pe ipotenuza BC]

(2p) a) Arată că $BC=9\text{ cm}$.

(3p) b) Demonstrează că perimetrul triunghiului $ABC$ este mai mic decât $22\text{ cm}$.

5p 6. Se consideră cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Distanța de la mijlocul unei diagonale a cubului la mijlocul unei diagonale a unei fețe laterale este de $50\text{ cm}$.

[Figura: Cubul ABCDA'B'C'D' cu reprezentarea diagonalelor]

(2p) a) Câți litri de vopsea sunt necesari pentru a vopsi exteriorul cubului, știind că pentru a vopsi un metru pătrat este nevoie de $0,5$ litri de vopsea?

(3p) b) Calculează distanța de la punctul $A$ la planul $(A^{\prime }{D}^{\prime }C)$.