Evaluare Națională 2021, matematică: test de antrenament 15

Subiectul I, 1)

Răspuns corect: c)

• Numerele de ordinul zecilor formate cu cifre identice sunt de forma $\overline{aa}\in \{11,22,33,\dots ,99\}$.
• Numerele pare dintre acestea sunt cele care au ultima cifră pară: $22,44,66,88$.
• Cel mai mic dintre acestea este numărul $22$.

---

Subiectul I, 2)

Răspuns corect: b)

• Calculăm $\frac{3}{4}$ din $1600$:
  $$\frac{3}{4}\cdot 1600=3\cdot \frac{1600}{4}=3\cdot 400=1200.$$

---

Subiectul I, 3)

Răspuns corect: a)

• Calculăm rezultatele fiecărui elev:
  • Alina: $-3+(-4)=-3-4=-7$
  • Mihai: $-3+4=1$
  • Daria: $-(-3)+4=3+4=7$
  • Vlad: $+3-4=-1$
• Comparând rezultatele: $-7<-1<1<7$, cel mai mic număr este $-7$, care corespunde exercițiului propus de Alina.

---

Subiectul I, 4)

Răspuns corect: a)

• Fie $d$ prețul unui caiet tip dictando și $m$ prețul unui caiet de matematică.
• Din enunț avem sistemul:
  $$\{\begin{array}{l}6d+5m=15\\ 6d+2m=11,4\end{array}$$
• Scăzând cele două relații obținem:
  $$3m=15-11,4=3,6⟹m=3,6:3=1,2\text{ lei}.$$

---

Subiectul I, 5)

Răspuns corect: d)

• Introducem factorul sub radical: $2\sqrt{7}=\sqrt{2^2\cdot 7}=\sqrt{4\cdot 7}=\sqrt{28}$.
• Deoarece $25<28<36$, rezultă $\sqrt{25}<\sqrt{28}<\sqrt{36}$, adică $5<2\sqrt{7}<6$.
• Prin urmare, $2\sqrt{7}\in (5,6)$.

---

Subiectul I, 6)

Răspuns corect: b)

• Procentul corespunzător caișilor este:
  $$100\%-(20\%+45\%)=100\%-65\%=35\%.$$
• Numărul de caiși este:
  $$\frac{35}{100}\cdot 300=35\cdot 3=105.$$

---

Subiectul al II-lea, 1)

Răspuns corect: c)

• Punctul $C$ este mijlocul segmentului $AE$, deci $AC=CE$.
• Punctul $C$ este mijlocul segmentului $BD$, deci $BC=CD$.
• Din figura cu punctele coliniare $A,B,C,D,E$ în această ordine, avem $CE=CD+DE$, de unde $DE=CE-CD$.
• Înlocuind $CE$ cu $AC$, obținem $DE=AC-CD$, adică $AC-CD=DE$.

---

Subiectul al II-lea, 2)

Răspuns corect: a)

• În triunghiul $BIC$, suma măsurilor unghiurilor este:
  $$\widehat{IBC}+\widehat{ICB}+\widehat{BIC}=180^{\circ }⟹\frac{\hat{B}}{2}+\frac{\hat{C}}{2}+120^{\circ }=180^{\circ }⟹\frac{\hat{B}+\hat{C}}{2}=60^{\circ },$$
  deci $\hat{B}+\hat{C}=120^{\circ }$.
• În triunghiul $ABC$, măsura unghiului $\hat{A}$ este:
  $$\hat{A}=180^{\circ }-(\hat{B}+\hat{C})=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }.$$
• Segmentul $AI$ este bisectoarea unghiului $\widehat{BAC}$, deci:
  $$\sphericalangle BAI=\frac{\hat{A}}{2}=\frac{60^{\circ }}{2}=30^{\circ }.$$

---

Subiectul al II-lea, 3)

Răspuns corect: c)

• Punctele $M,N,P$ sunt mijloacele laturilor triunghiului $ABC$, deci segmentele $MN,NP,PM$ sunt linii mijlocii în triunghiul $ABC$.
  Astfel, $MN=\frac{BC}{2}$, $NP=\frac{AB}{2}$, $PM=\frac{AC}{2}$, ceea ce conduce la:
  $$P_{△MNP}=\frac{1}{2}{P}_{△ABC}.$$
• Punctele $Q,R,T$ sunt mijloacele laturilor triunghiului $MNP$, deci segmentele $QR,RT,TQ$ sunt linii mijlocii în triunghiul $MNP$.
  Astfel:
  $$P_{△QRT}=\frac{1}{2}{P}_{△MNP}=\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}{P}_{△ABC}\right)=\frac{1}{4}{P}_{△ABC}.$$
• Raportul cerut este $\frac{P_{△QRT}}{P_{△ABC}}=\frac{1}{4}$.

---

Subiectul al II-lea, 4)

Răspuns corect: d)

• Perimetrul rombului este $P=4\cdot AB=100\text{ cm}$, de unde latura $AB=25\text{ cm}$.
• Înălțimea rombului (distanța de la $A$ la dreapta $BC$) este $h=24\text{ cm}$.
• Aria rombului este:
  $${\mathcal{A}}_{ABCD}=BC\cdot h=25\cdot 24=600{\text{ cm}}^2.$$
• Diagonalele unui romb îl împart în patru triunghiuri dreptunghice congruente, deci de arii egale:
  $${\mathcal{A}}_{△AOB}=\frac{{\mathcal{A}}_{ABCD}}{4}=\frac{600}{4}=150{\text{ cm}}^2.$$

---

Subiectul al II-lea, 5)

Răspuns corect: b)

• Fie $M$ piciorul perpendicularei din $O$ pe coarda $AB$. Atunci $OM\perp AB$, deci $OM=3\text{ cm}$, iar $M$ este mijlocul coardei $AB$, adică $AM=\frac{AB}{2}=4\text{ cm}$.
• În triunghiul dreptunghic $OMA$, conform teoremei lui Pitagora, raza cercului este:
  $$R=OA=\sqrt{O{M}^2+A{M}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\text{ cm}.$$
• Lungimea cercului este:
  $$L=2\pi R=2\pi \cdot 5=10\pi \text{ cm}.$$

---

Subiectul al II-lea, 6)

Răspuns corect: b)

• În baza dreptunghiulară $ABCD$, diagonala $AC$ se calculează cu teorema lui Pitagora:
  $$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=(2\sqrt{2}{)}^2+(3\sqrt{3}{)}^2=8+27=35⟹AC=\sqrt{35}\text{ cm}.$$
• În patrulaterul $ACGE$, muchia laterală este $AE=5=\sqrt{25}\text{ cm}$.
• Cum $AC\ne AE$ (deoarece $\sqrt{35}\ne 5$), patrulaterul $ACGE$ este dreptunghi, dar nu este pătrat.
• Prin urmare, afirmația este falsă.

---

Subiectul al III-lea, 1)

a)

• Fie $i$, $g$, $r$ numărul iepurilor, al găinilor, respectiv al rațelor.
• Dacă ar fi $35$ de iepuri, numărul de picioare al acestora ar fi $35\cdot 4=140$.
• Celelalte animale (găini și rațe) au câte două picioare, deci numărul lor de picioare este:
  $$2(g+r)=198-140=58⟹g+r=29.(1p)$$
• Numărul total de animale ar fi $i+g+r=35+29=64$.
• Deoarece $64\ne 69$, deducem că în ograda bunicii Mariei nu pot fi $35$ de iepuri. $(1p)$

b)

• Avem relațiile:
  $$\{\begin{array}{l}i+g+r=69\\ 4i+2g+2r=198\\ g=r+11⟹r=g-11\end{array}$$
• Înlocuind $r=g-11$ în prima ecuație:
  $$i+g+g-11=69⟹i+2g=80.(1p)$$
• Împărțind ecuația picioarelor la $2$, obținem $2i+g+r=99$.
  Înlocuind $r=g-11$, avem:
  $$2i+2g-11=99⟹2i+2g=110⟹i+g=55.(1p)$$
• Scăzând a doua relație din prima:
  $$(i+2g)-(i+g)=80-55⟹g=25.$$
• Așadar, în ogradă sunt $25$ de găini. $(1p)$

---

Subiectul al III-lea, 2)

a)

• Efectuăm împărțirea fracțiilor:
  $$a=-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot 4=-\frac{1}{2}+\frac{4}{3}.(1p)$$
• Aducem la numitor comun ($6$):
  $$a=\frac{-3+8}{6}=\frac{5}{6}.(1p)$$

b)

• Calculăm termenii expresiei lui $b$:
  $${\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)}^2={\left(\frac{3-4}{2\sqrt{3}}\right)}^2={\left(-\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)}^2=\frac{1}{12}.$$
  Sau direct:
  $${\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2-2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}+{\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)}^2=\frac{3}{4}-2+\frac{4}{3}.$$
• Al doilea termen este:
  $$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-1\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+1\right)={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2-1^2=\frac{3}{4}-1.$$
• Atunci:
  $$b=\left(\frac{3}{4}-2+\frac{4}{3}\right)-\left(\frac{3}{4}-1\right)=\frac{3}{4}-2+\frac{4}{3}-\frac{3}{4}+1=-1+\frac{4}{3}=\frac{1}{3}.(2p)$$
• Calculăm numărul $N$:
  $$N=2a-5b=2\cdot \frac{5}{6}-5\cdot \frac{1}{3}=\frac{5}{3}-\frac{5}{3}=0.$$
• Deoarece $0\in \mathbb{N}$, numărul $N$ este natural. $(1p)$

---

Subiectul al III-lea, 3)

a)

• Calculăm valorile funcției:
  $$f(2)=2\cdot 2-3=1,$$
  $$f\left(\frac{1}{2}\right)=2\cdot \frac{1}{2}-3=1-3=-2.(1p)$$
• Avem:
  $$f(2)+f\left(\frac{1}{2}\right)=1+(-2)=-1.$$
  Pe de altă parte:
  $$f\left(2\cdot \frac{1}{2}\right)=f(1)=2\cdot 1-3=-1,$$
  deci $f(2)+f\left(\frac{1}{2}\right)=f\left(2\cdot \frac{1}{2}\right)$. $(1p)$

b)

• Determinăm punctele de intersecție cu axele:
  • Cu axa $Ox$: $f(x)=0⟹2x-3=0⟹x=\frac{3}{2}$, deci $A\left(\frac{3}{2},0\right)$.
  • Cu axa $Oy$: $x=0⟹f(0)=-3$, deci $B(0,-3)$. $(1p)$
• Punctul $A\left(\frac{3}{2},0\right)$ este mijlocul segmentului $BC$, cu $B(0,-3)$ și $C(x_C,y_C)$:
  $$x_A=\frac{x_B+x_C}{2}⟹\frac{3}{2}=\frac{0+x_C}{2}⟹x_C=3,$$
  $$y_A=\frac{y_B+y_C}{2}⟹0=\frac{-3+y_C}{2}⟹y_C=3.$$
  Astfel, coordonatele punctului $C$ sunt $(3,3)$. $(1p)$
• Distanțele de la punctul $C(3,3)$ la axele de coordonate sunt:
  $$d(C,Ox)=|y_C|=3\text{și}d(C,Oy)=|x_C|=3.$$
• Suma distanțelor este:
  $$d(C,Ox)+d(C,Oy)=3+3=6.(1p)$$

---

Subiectul al III-lea, 4)

a)

• În triunghiul isoscel $ABC$ ($AB=AC$), mediana $AT$ este și înălțime, deci $AT\perp BC$.
• Punctul $G$ este centrul de greutate, deci se află pe mediana $AT$ la două treimi de vârf și o treime de bază:
  $$GT=\frac{1}{3}AT⟹AT=3\cdot GT=3\cdot 8=24\text{ cm}.(1p)$$
• Cum $T$ este mijlocul lui $BC$, avem $BT=\frac{BC}{2}=\frac{20}{2}=10\text{ cm}$.
• În triunghiul dreptunghic $ATB$, aplicăm teorema lui Pitagora:
  $$AB=\sqrt{A{T}^2+B{T}^2}=\sqrt{24^2+10^2}=\sqrt{576+100}=\sqrt{676}=26\text{ cm}.$$
• Cum $AC=AB=26\text{ cm}$, perimetrul triunghiului $ABC$ este:
  $$P_{△ABC}=AB+AC+BC=26+26+20=72\text{ cm}.(1p)$$

b)

• Fie $N$ mijlocul laturii $AC$. Punctul $S$ este simetricul lui $G$ față de $N$, deci $N$ este mijlocul segmentului $GS$ ($GN=NS$). Cum $N$ este și mijlocul lui $AC$, patrulaterul $AGCS$ este paralelogram.
• Deducem că $CS\parallel AG$ și $CS=AG=2\cdot GT=16\text{ cm}$.
• Deoarece $AG\perp BC$ (fiind pe înălțimea $AT$), rezultă că $SC\perp BC$. $(1p)$
• Calculăm aria triunghiului $SGC$:
  Punctele $G,T$ și $S,C$ determină trapezul dreptunghic $GTCS$ (deoarece $GT\perp BC$ și $SC\perp BC$, deci $GT\parallel SC$).
  $${\mathcal{A}}_{△SGC}={\mathcal{A}}_{△SBC}-{\mathcal{A}}_{△GBC}=\frac{BC\cdot SC}{2}-\frac{BC\cdot GT}{2}=\frac{20\cdot 16}{2}-\frac{20\cdot 8}{2}=160-80=80{\text{ cm}}^2.$$
• În triunghiul dreptunghic $GTC$, aplicăm teorema lui Pitagora:
  $$GC=\sqrt{G{T}^2+T{C}^2}=\sqrt{8^2+10^2}=\sqrt{64+100}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\text{ cm}.(1p)$$
• Folosind formula ariei triunghiului $SGC$:
  $${\mathcal{A}}_{△SGC}=\frac{GC\cdot d(S,CG)}{2}⟹80=\frac{2\sqrt{41}\cdot d(S,CG)}{2}=\sqrt{41}\cdot d(S,CG).$$
• Rezultă:
  $$d(S,CG)=\frac{80}{\sqrt{41}}=\frac{80\sqrt{41}}{41}\text{ cm}.(1p)$$

---

Subiectul al III-lea, 5)

a)

• Construim înălțimea $AT\perp BD$, unde $T\in BD$.
• În triunghiurile dreptunghice $ATD$ și $ATB$, avem:
  $$\sin (\sphericalangle ADB)=\frac{AT}{AD}\text{și}\sin (\sphericalangle ABD)=\frac{AT}{AB}.(1p)$$
• Raportul sinusurilor este:
  $$\frac{\sin (\sphericalangle ADB)}{\sin (\sphericalangle ABD)}=\frac{\frac{AT}{AD}}{\frac{AT}{AB}}=\frac{AB}{AD}=\frac{8}{4}=2.(1p)$$

b)

• Comparăm laturile triunghiurilor $ABD$ și $BDC$:
  $$\frac{DA}{BD}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5},$$
  $$\frac{AB}{BC}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5},$$
  $$\frac{BD}{CD}=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}.$$
• Deoarece $\frac{DA}{BD}=\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{CD}=\frac{2}{5}$, conform cazului de asemănare L.L.L., triunghiurile sunt asemenea: $△DAB\sim △BDC$. $(2p)$
• Din asemănare rezultă egalitatea unghiurilor omoloage: $\sphericalangle ADB=\sphericalangle BDC$.
• Prin urmare, semidreapta $DB$ este bisectoarea unghiului $ADC$. $(1p)$

---

Subiectul al III-lea, 6)

a)

• Piramida $VABC$ este regulată, deci baza $ABC$ este triunghi echilateral cu $AB=6\text{ cm}$, iar fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente cu $VA=VB=VC=10\text{ cm}$.
• $M$ este mijlocul laturii $BC$, deci $BM=3\text{ cm}$ și $VM\perp BC$ este apotema piramidei.
• În triunghiul dreptunghic $VMB$, aplicăm teorema lui Pitagora:
  $$VM=\sqrt{V{B}^2-B{M}^2}=\sqrt{10^2-3^2}=\sqrt{100-9}=\sqrt{91}\text{ cm}.(1p)$$
• Aria laterală este:
  $${\mathcal{A}}_l=3\cdot \frac{BC\cdot VM}{2}=3\cdot \frac{6\cdot \sqrt{91}}{2}=9\sqrt{91}{\text{ cm}}^2.(1p)$$

b)

• În triunghiul $VBC$, punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $BC$, respectiv $VC$, deci segmentul $MN$ este linie mijlocie.
• Rezultă că $MN\parallel VB$ și $MN=\frac{VB}{2}=\frac{10}{2}=5\text{ cm}$. $(1p)$
• Deoarece $VB\subset (VAB)$ și $MN\parallel VB$, rezultă că segmentul $MN$ este paralel cu planul $(VAB)$ ($MN\parallel (VAB)$).
• Proiecția unui segment paralel cu un plan pe acel plan este un segment paralel și congruent cu acesta.
• Prin urmare, lungimea proiecției segmentului $MN$ pe planul $(VAB)$ este egală cu lungimea segmentului $MN$, adică $5\text{ cm}$. $(2p)$

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

1. (5p) Cel mai mic număr par de ordinul zecilor, format cu cifre identice, este numărul:

   • a) $10$
   • b) $11$
   • c) $22$
   • d) $98$

2. (5p) Numărul care reprezintă $\frac{3}{4}$ din $1600$ este egal cu:

   • a) $120$
   • b) $1200$
   • c) $\frac{6400}{3}$
   • d) $4800$

3. (5p) Patru elevi propun câte un exercițiu de calcul. În tabelul de mai jos sunt scrise numele elevilor și exercițiile propuse de aceștia.

   Alina	$-3+(-4)$
   Mihai	$-3+4$
   Daria	$-(-3)+4$
   Vlad	$+3-4$

   Conform informațiilor din tabel, prin rezolvarea corectă a calculelor, rezultatul care reprezintă cel mai mic număr corespunde exercițiului propus de:

   • a) Alina
   • b) Mihai
   • c) Daria
   • d) Vlad

4. (5p) Șase caiete tip dictando și cinci caiete de matematică costă $15$ lei, iar șase caiete tip dictando și două caiete de matematică costă $11,4$ lei. Prețul unui caiet de matematică este de:

   • a) $1,2$ lei
   • b) $1,5$ lei
   • c) $2,1$ lei
   • d) $3,6$ lei

5. (5p) Numărul $2\sqrt{7}$ aparține intervalului de numere reale:

   • a) $(2,3)$
   • b) $[3,4]$
   • c) $[4,5)$
   • d) $(5,6)$

6. (5p) Într-o livadă sunt $300$ de pomi fructiferi de trei tipuri: meri, peri și caiși. În diagrama de mai jos este reprezentată distribuția celor $300$ de pomi fructiferi în funcție de tipul acestora.

   [Figura: Diagramă circulară cu trei sectoare: meri 20%, peri 45%, caiși reprezentând restul procentelor]

   Conform diagramei, numărul caișilor din livadă este egal cu:

   • a) $60$
   • b) $105$
   • c) $135$
   • d) $150$

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

1. (5p) În figura alăturată sunt reprezentate punctele coliniare $A,B,C,D$ și $E$, distincte, în această ordine, astfel încât punctul $C$ este mijlocul segmentului $AE$ și, respectiv, al segmentului $BD$. Dintre afirmațiile următoare, cea adevărată este:

   [Figura: Punctele coliniare A, B, C, D, E în această ordine pe o dreaptă]

   • a) $AC-CD>DE$
   • b) $AC-CD<DE$
   • c) $AC-CD=DE$
   • d) $AC+CD=DE$

2. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$. Punctul $I$ este punctul de intersecție a bisectoarelor unghiurilor acestui triunghi. Știind că măsura unghiului $BIC$ este egală cu $120^{\circ }$, atunci măsura unghiului $BAI$ este:

   [Figura: Triunghiul ABC cu bisectoarele interioare concurente în I, având unghiul BIC de 120°]

   • a) $30^{\circ }$
   • b) $60^{\circ }$
   • c) $90^{\circ }$
   • d) $120^{\circ }$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$. Punctele $M,N$ și $P$ sunt mijloacele laturilor $AB,AC$, respectiv $BC$, iar punctele $Q,R$ și $T$ sunt mijloacele segmentelor $MP,NP$, respectiv $MN$. Raportul dintre perimetrul triunghiului $QRT$ și perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu:

   [Figura: Triunghiul ABC, triunghiul median MNP și triunghiul QRT format de mijloacele laturilor triunghiului MNP]

   • a) $\frac{1}{2}$
   • b) $\frac{1}{3}$
   • c) $\frac{1}{4}$
   • d) $\frac{1}{12}$

4. (5p) Se consideră rombul $ABCD$ în care diagonalele $AC$ și $BD$ se intersectează în punctul $O$. Perimetrul rombului este egal cu $100\text{ cm}$, iar distanța de la punctul $A$ la dreapta $BC$ este egală cu $24\text{ cm}$. Aria suprafeței triunghiului $AOB$ este egală cu:

   [Figura: Rombul ABCD cu diagonalele AC și BD concurente în O]

   • a) $2400{\text{ cm}}^2$
   • b) $600{\text{ cm}}^2$
   • c) $300{\text{ cm}}^2$
   • d) $150{\text{ cm}}^2$

5. (5p) În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ și punctele $A$ și $B$ care aparțin acestui cerc. Lungimea segmentului $AB$ este de $8\text{ cm}$ și distanța de la centrul cercului la dreapta $AB$ este de $3\text{ cm}$. Lungimea acestui cerc este egală cu:

   [Figura: Cerc de centru O cu coarda AB și segmentul perpendicular din O pe AB]

   • a) $25\pi \text{ cm}$
   • b) $10\pi \text{ cm}$
   • c) $8\pi \text{ cm}$
   • d) $5\pi \text{ cm}$

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCDEFGH$ care are dimensiunile: $AB=2\sqrt{2}\text{ cm}$, $BC=3\sqrt{3}\text{ cm}$ și $AE=5\text{ cm}$. Afirmația „Patrulaterul $ACGE$ este pătrat.” este:

   [Figura: Paralelipiped dreptunghic ABCDEFGH]

   • a) adevărată
   • b) falsă

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrieți rezolvările complete. (30 de puncte)

1. Bunica Mariei are în ograda sa iepuri, găini și rațe. În total, în ogradă sunt $69$ de animale care au $198$ de picioare. Numărul găinilor este cu $11$ mai mare decât al rațelor.

   • (2p) a) Pot fi în ograda bunicii Mariei $35$ de iepuri? Justifică răspunsul dat.
   • (3p) b) Determină numărul găinilor din ograda bunicii Mariei.

2. Se consideră numerele:
   $$a=-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}:\frac{1}{4}\text{și}b={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)}^2-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-1\right)\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right).$$

   • (2p) a) Arată că $a=\frac{5}{6}$.
   • (3p) b) Arată că numărul $N=2a-5b$ este natural.

3. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-3$.

   • (2p) a) Arată că:
     $$f(2)+f\left(\frac{1}{2}\right)=f\left(2\cdot \frac{1}{2}\right).$$
   • (3p) b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele $Ox$ și $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$ în punctele $A$, respectiv $B$. Punctul $C$ aparține reprezentării grafice a funcției $f$ astfel încât punctul $A$ este mijlocul segmentului $BC$. Calculează suma distanțelor de la punctul $C$ la axele de coordonate.

4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel $ABC$ cu $AB=AC$, $BC=20\text{ cm}$, punctul $G$ reprezintă centrul de greutate al triunghiului $ABC$, punctul $T$ este mijlocul segmentului $BC$ și $GT=8\text{ cm}$. Punctul $S$ este simetricul punctului $G$ față de mijlocul segmentului $AC$.

   [Figura: Triunghiul isoscel ABC cu mediana AT, centrul de greutate G pe AT și punctul S simetricul lui G față de mijlocul laturii AC]

   • (2p) a) Arată că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $72\text{ cm}$.
   • (3p) b) Calculează distanța de la punctul $S$ la dreapta $CG$.

5. În figura alăturată este reprezentat patrulaterul $ABCD$ cu $AB=8\text{ cm}$, $BC=20\text{ cm}$, $CD=25\text{ cm}$, $AD=4\text{ cm}$ și $BD=10\text{ cm}$.

   [Figura: Patrulaterul convex ABCD și diagonala BD]

   • (2p) a) Arată că raportul dintre sinusul unghiului $ADB$ și sinusul unghiului $ABD$ este egal cu $2$.
   • (3p) b) Demonstrează că semidreapta $DB$ este bisectoarea unghiului $ADC$.

6. În figura alăturată este reprezentată piramida triunghiulară regulată $VABC$ cu baza triunghiul $ABC$, $AB=6\text{ cm}$, $VA=10\text{ cm}$. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $BC$, respectiv $VC$.

   [Figura: Piramida triunghiulară regulată VABC cu segmentul MN desenat pe fața VBC]

   • (2p) a) Arată că aria laterală a piramidei este egală cu $9\sqrt{91}{\text{ cm}}^2$.
   • (3p) b) Determină lungimea proiecției segmentului $MN$ pe planul $(VAB)$.