Evaluare Națională 2021, matematică: test de antrenament 14

Subiectul I, 1)

Răspuns corect: c)

Un număr este divizibil cu $6$ dacă este divizibil și cu $2$, și cu $3$.

• Numerele date sunt: $28,26,24,22$.
• Verificăm divizibilitatea cu $3$ (suma cifrelor trebuie să fie divizibilă cu $3$):
  • $2+8=10$ (nu este divizibil cu 3);
  • $2+6=8$ (nu este divizibil cu 3);
  • $2+4=6$ (este divizibil cu 3);
  • $2+2=4$ (nu este divizibil cu 3).

Deci numărul căutat este $24$.

---

Subiectul I, 2)

Răspuns corect: d)

Calculăm raportul dintre temperatura de la ora 8:00 și cea de la ora 12:00 pentru fiecare zi:

• Luni: $\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$
• Marți: $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
• Miercuri: $\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$
• Joi: $\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$

Raportul are aceeași valoare ($\frac{1}{3}$) pentru zilele de Marți și Joi.

---

Subiectul I, 3)

Răspuns corect: a)

Altitudinea vârfului Omu este de $+2505\text{ m}$, iar adâncimea Mării Negre corespunde unei cote de $-1271\text{ m}$.
Diferența dintre adâncimea medie a Mării Negre și altitudinea vârfului Omu este:
$$-1271\text{ m}-2505\text{ m}=-3776\text{ m}$$
Valoarea absolută (modulul) a acestei diferențe este:
$$|-3776\text{ m}|=3776\text{ m}$$

---

Subiectul I, 4)

Răspuns corect: d)

O fracție ordinară $\frac{a}{b}$ ($a,b>0$) este subunitară dacă numărătorul este mai mic decât numitorul ($a<b$).

• În setul a): $\frac{4}{3}>1$ (fracție supraunitară);
• În setul b): $\frac{15}{8}>1$ (fracție supraunitară);
• În setul c): $\frac{6}{5}>1$ (fracție supraunitară);
• În setul d): toți termenii sunt subunitari:
  $$5<9,3<8,2<7,10<11,4<13,5<7$$

---

Subiectul I, 5)

Răspuns corect: b)

Media geometrică a numerelor $a=8\sqrt{3}$ și $b=3\sqrt{3}$ este:
$$m_g=\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{8\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}}=\sqrt{24\cdot 3}=\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$$
Elevul care a obținut acest rezultat este Alexandru.

---

Subiectul I, 6)

Răspuns corect: b)

Calculăm numărul total de elevi:
$$N=2+2+6+7+5+1+1=24$$

Calculăm suma tuturor notelor obținute:
$$S=10\cdot 2+9\cdot 2+8\cdot 6+7\cdot 7+6\cdot 5+5\cdot 1+4\cdot 1$$
$$S=20+18+48+49+30+5+4=174$$

Media clasei este:
$$m=\frac{174}{24}=\frac{29}{4}=7,25$$

Deoarece $7,25\ne 7,30$, afirmația este falsă.

---

Subiectul al II-lea, 1)

Răspuns corect: c)

$M$ este mijlocul segmentului $AB$, deci $MB=\frac{AB}{2}=\frac{2}{2}=1\text{ cm}$.
$N$ este mijlocul segmentului $BC$, deci $BN=\frac{BC}{2}=\frac{4}{2}=2\text{ cm}$.
Punctele fiind coliniare în ordinea $A,M,B,N,C$, avem:
$$MN=MB+BN=1\text{ cm}+2\text{ cm}=3\text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 2)

Răspuns corect: b)

Punctele $A,B,C$ fiind la distanțe egale unul de celălalt formează un triunghi echilateral $ABC$.
Punctul $G$ fiind la distanțe egale față de $A,B,C$ reprezintă centrul triunghiului echilateral (centrul cercului circumscris).
Unghiurile formate în jurul punctului $G$ sunt congruente:
$$\sphericalangle AGB=\sphericalangle BGC=\sphericalangle CGA=\frac{360^{\circ }}{3}=120^{\circ }$$

---

Subiectul al II-lea, 3)

Răspuns corect: d)

În pătratul $ABCD$ cu latura de $3\text{ cm}$, diagonala este $BD=3\sqrt{2}\text{ cm}$.
Diagonala $BD$ este și bisectoarea unghiului $\sphericalangle ABC$, deci $\sphericalangle ABD=45^{\circ }$.
În triunghiul $DBE$, avem $\sphericalangle BDE=90^{\circ }$ și $\sphericalangle DBE=45^{\circ }$, deci triunghiul este dreptunghic isoscel cu catetele $BD=DE=3\sqrt{2}\text{ cm}$.
Ipotenuza $BE$ este:
$$BE=BD\sqrt{2}=3\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=6\text{ cm}$$
Perimetrul triunghiului $DBE$ este:
$$P_{DBE}=BD+DE+BE=3\sqrt{2}+3\sqrt{2}+6=6+6\sqrt{2}=6(1+\sqrt{2})\text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 4)

Răspuns corect: d)

Fie diagonalele rombului $d_1=60\text{ cm}$ și $d_2=80\text{ cm}$.
Aria rombului este:
$${\mathcal{A}}_{\text{romb}}=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$$
Patrulaterul determinat de mijloacele laturilor unui romb este un dreptunghi având laturile paralele cu diagonalele rombului și de lungimi egale cu jumătățile diagonalelor (fiind linii mijlocii în triunghiurile formate de laturile rombului și diagonale):
$$L=\frac{d_2}{2},l=\frac{d_1}{2}$$
Aria dreptunghiului este:
$${\mathcal{A}}_{\text{dreptunghi}}=L\cdot l=\frac{d_2}{2}\cdot \frac{d_1}{2}=\frac{d_1\cdot d_2}{4}=\frac{1}{2}{\mathcal{A}}_{\text{romb}}$$
Prin urmare, raportul dintre suprafața broderiei și suprafața feței de masă este $\frac{1}{2}$.

---

Subiectul al II-lea, 5)

Răspuns corect: a)

Segmentul $AB$ este diametru, deci $OA=OB=OC=R$.
Deoarece $BC=OC$, rezultă $BC=OB=OC=R$, adică triunghiul $BOC$ este echilateral.
Triunghiul $ABC$ este înscris într-un cerc cu diametrul $AB$, deci este dreptunghic în $C$ ($\sphericalangle ACB=90^{\circ }$).
În $△ABC$, unghiul $\sphericalangle B=60^{\circ }$, deci $\sphericalangle A=30^{\circ }$.
Rezultă $BC=\frac{AB}{2}=R$ și $AC=AB\cdot \cos 30^{\circ }=2R\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3}$.
Cum $AC=2\sqrt{3}\text{ cm}$, obținem $R\sqrt{3}=2\sqrt{3}⟹R=2\text{ cm}$.
Aria triunghiului echilateral $BOC$ de latură $R=2\text{ cm}$ este:
$${\mathcal{A}}_{BOC}=\frac{R^2\sqrt{3}}{4}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$$

---

Subiectul al II-lea, 6)

Răspuns corect: c)

Baza piramidei este un pătrat de latură $AB=12\text{ cm}$, deci aria bazei este:
$${\mathcal{A}}_{\text{baza˘}}=A{B}^2=12^2=144{\text{ cm}}^2$$
Volumul piramidei este:
$$V=\frac{{\mathcal{A}}_{\text{baza˘}}\cdot VO}{3}=\frac{144\cdot 8}{3}=48\cdot 8=384{\text{ cm}}^3$$

---

Subiectul al III-lea, 1)

a) Fie $x$ lungimea totală a drumului.
În prima zi automobilul parcurge $35\%$ din $x$, deci îi mai rămâne de parcurs:
$$100\%-35\%=65\%\text{ din }x$$
În a doua zi parcurge $20\%$ din rest:
$$\frac{20}{100}\cdot \frac{65}{100}x=\frac{1}{5}\cdot \frac{65}{100}x=\frac{13}{100}x=13\%\text{ din }x\text{(1p)}$$

În primele două zile automobilul parcurge în total:
$$35\%+13\%=48\%\text{ din }x$$
Deoarece $48\%<50\%$, nu este adevărat că automobilul a parcurs jumătate din lungimea drumului în primele două zile. (1p)

b) În primele două zile automobilul a parcurs $48\%$ din drum, prin urmare în a treia zi a parcurs:
$$100\%-48\%=52\%\text{ din drum}\text{(1p)}$$
Comparând procentele parcurse în fiecare dintre cele trei zile:
$$\frac{13}{100}x<\frac{35}{100}x<\frac{52}{100}x$$
adică $13\%<35\%<52\%$.
Cea mai lungă distanță a fost parcursă în a treia zi. (2p)

---

Subiectul al III-lea, 2)

a) Descompunem expresia:
$$x^2-10x+21=x^2-3x-7x+21=x(x-3)-7(x-3)\text{(1p)}$$
$$=(x-3)(x-7),\text{ pentru orice }x\in \mathbb{R}\text{(1p)}$$

b) Notăm $y=x+2021$. Expresia devine:
$$E(x)=y^2-10y+21$$
Folosind rezultatul de la punctul a), avem:
$$E(x)=(y-3)(y-7)=(x+2021-3)(x+2021-7)=(x+2018)(x+2014)\text{(2p)}$$

Pentru $x=-2018$, obținem:
$$E(-2018)=(-2018+2018)(-2018+2014)=0\cdot (-4)=0$$
Deoarece unul dintre factorii produsului este $0$, rezultă că:
$$E(-2018)\cdot E(-2019)\cdot E(-2020)\cdot E(-2021)=0\text{(1p)}$$

---

Subiectul al III-lea, 3)

a) Punctul $A(a,2a)$ aparține graficului funcției $f$ dacă și numai dacă $f(a)=2a$. (1p)
$$-2a+8=2a⟺4a=8⟺a=2\text{(1p)}$$

b) Punctul $B$ este intersecția graficului cu axa $Oy$, deci $x_B=0$:
$$y_B=f(0)=-2\cdot 0+8=8⟹B(0,8)\text{(1p)}$$
Coordonatele punctului $A$ sunt $A(2,4)$.
Calculăm lungimea segmentului $AB$ cu formula distanței dintre două puncte:
$$AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}=\sqrt{(0-2{)}^2+(8-4{)}^2}=\sqrt{(-2{)}^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\text{(2p)}$$

---

Subiectul al III-lea, 4)

a) În triunghiul $ABC$, deoarece $MN\parallel BC$, din Teorema fundamentală a asemănării rezultă că:
$$△AMN\sim △ABC\text{(1p)}$$
Scriem raportul de asemănare:
$$\frac{MN}{BC}=\frac{AN}{AC}⟹MN\cdot AC=BC\cdot AN\text{(1p)}$$

b) În triunghiul $ABC$, deoarece $NP\parallel AB$ ($P\in BC,N\in AC$), conform Teoremei lui Thales:
$$\frac{BP}{BC}=\frac{AN}{AC}\text{(1p)}$$
De asemenea, din $MN\parallel BC$, conform Teoremei lui Thales pe laturile $AB$ și $AC$, avem:
$$\frac{BM}{AB}=\frac{CN}{AC}\text{(1p)}$$
Adunând cele două relații obținute:
$$\frac{BP}{BC}+\frac{BM}{AB}=\frac{AN}{AC}+\frac{CN}{AC}=\frac{AN+CN}{AC}=\frac{AC}{AC}=1\text{(1p)}$$

---

Subiectul al III-lea, 5)

a) În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, măsura unghiului $\sphericalangle ACB=30^{\circ }$.
Conform teoremei unghiului de $30^{\circ }$:
$$AB=\frac{BC}{2}⟹BC=2\cdot AB=2\cdot 6=12\text{ cm}$$
Cum $M$ este mijlocul ipotenuzei $BC$, $AM$ este mediană corespunzătoare ipotenuzei, deci:
$$AM=BM=MC=\frac{BC}{2}=6\text{ cm}\text{(1p)}$$
În triunghiul $ABM$ avem $AB=BM=AM=6\text{ cm}$, deci triunghiul este echilateral.
Perimetrul său este:
$$P_{ABM}=3\cdot 6=18\text{ cm}\text{(1p)}$$

b) În triunghiul dreptunghic $ABC$, aplicăm teorema lui Pitagora pentru a afla $AC$:
$$AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{144-36}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}\text{ cm}\text{(1p)}$$
Aria triunghiului $ABC$ este:
$${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{6\cdot 6\sqrt{3}}{2}=18\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$$
$AM$ este mediană în triunghiul $ABC$, prin urmare împarte triunghiul în două triunghiuri de arii egale:
$${\mathcal{A}}_{AMC}=\frac{{\mathcal{A}}_{ABC}}{2}=\frac{18\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$$
Pentru a demonstra că $9\sqrt{3}<16$, comparăm pătratele celor două numere:
$$(9\sqrt{3}{)}^2=81\cdot 3=243$$
$$16^2=256$$
Deoarece $243<256$, rezultă că $9\sqrt{3}<16$, deci ${\mathcal{A}}_{AMC}<16{\text{ cm}}^2$. (2p)

---

Subiectul al III-lea, 6)

a) Baza este triunghiul echilateral $ABC$ cu latura $AB=12\text{ cm}$.
Aria bazei este:
$${\mathcal{A}}_b=\frac{A{B}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{144\sqrt{3}}{4}=36\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$$
Aria laterală a prismei drepte este:
$${\mathcal{A}}_l=P_b\cdot AD=(3\cdot 12)\cdot 18=36\cdot 18=648{\text{ cm}}^2$$
Aria totală a prismei este:
$${\mathcal{A}}_t={\mathcal{A}}_l+2{\mathcal{A}}_b=648+2\cdot 36\sqrt{3}=648+72\sqrt{3}=72(9+\sqrt{3}){\text{ cm}}^2\text{(1p)}$$
Verificăm dacă ${\mathcal{A}}_t>720{\text{ cm}}^2$:
$$72(9+\sqrt{3})>720⟺9+\sqrt{3}>10⟺\sqrt{3}>1$$
Inegalitatea $\sqrt{3}>1$ este evident adevărată, deci aria totală este mai mare decât $720{\text{ cm}}^2$. (1p)

b) Fie $M$ mijlocul muchiei $BC$. Deoarece $△ABC$ este echilateral, avem $AM\perp BC$.
Lungimea înălțimii este:
$$AM=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\text{ cm}$$
Prisma fiind dreaptă, muchia $DA\perp (ABC)$, iar cum $BC\subset (ABC)$, rezultă $DA\perp BC$.
Deoarece $BC\perp AM$ și $BC\perp DA$, iar $AM\cap DA=\{A\}$, deducem că:
$$BC\perp (ADM)$$
Cum $DM\subset (ADM)$, avem $BC\perp DM$.
În triunghiul dreptunghic $DAM$ ($DA\perp AM$, $\sphericalangle DAM=90^{\circ }$):
$$DM=\sqrt{D{A}^2+A{M}^2}=\sqrt{18^2+(6\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{324+108}=\sqrt{432}=12\sqrt{3}\text{ cm}$$
Construim înălțimea $AQ\perp DM$, cu $Q\in DM$.
Deoarece $BC\perp (ADM)$ și $AQ\subset (ADM)$, rezultă că $AQ\perp BC$.
Având $AQ\perp DM$ și $AQ\perp BC$, cu $DM\cap BC=\{M\}$, rezultă că:
$$AQ\perp (BCD)$$
Lungimea înălțimii $AQ$ în triunghiul dreptunghic $DAM$ este:
$$AQ=\frac{DA\cdot AM}{DM}=\frac{18\cdot 6\sqrt{3}}{12\sqrt{3}}=9\text{ cm}$$
Astfel, distanța de la $A$ la planul $(BCD)$ este $d(A,(BCD))=AQ=9\text{ cm}$.
Enunțul precizează că punctul $A^{\prime }$ aparține planului $(BCD)$ și $A{A}^{\prime }=9\text{ cm}$. Deoarece lungimea segmentului $A{A}^{\prime }$ este egală chiar cu distanța de la $A$ la planul $(BCD)$, rezultă că $A{A}^{\prime }$ este perpendiculara din $A$ pe planul $(BCD)$, deci $A^{\prime }$ coincide cu proiecția $Q$, adică $A{A}^{\prime }\perp (BCD)$. (2p)

Deoarece $EF\parallel BC$ și $BC\subset (BCD)$, avem $EF\parallel (BCD)$ și, mai mult, $BC\perp (ADM)$ atrage $EF\perp (ADM)$.
Dar mult mai direct: deoarece $A{A}^{\prime }\perp (BCD)$ și dreapta $BC\subset (BCD)$, rezultă $A{A}^{\prime }\perp BC$.
Cum $EF\parallel BC$, rezultă imediat că $A{A}^{\prime }\perp EF$.
Prin urmare, măsura unghiului dintre dreptele $A{A}^{\prime }$ și $EF$ este egală cu $90^{\circ }$. (1p)

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

1. (5p) Numărul natural de forma $\overline{2x}$ divizibil cu $6$ este:

   • a) $28$
   • b) $26$
   • c) $24$
   • d) $22$

2. (5p) În tabelul de mai jos sunt prezentate informații referitoare la temperatura înregistrată în patru zile, la ora 8:00, respectiv ora 12:00.

   Ziua	8:00	12:00
   Luni	$4^{\circ }\text{C}$	$8^{\circ }\text{C}$
   Marți	$3^{\circ }\text{C}$	$9^{\circ }\text{C}$
   Miercuri	$4^{\circ }\text{C}$	$16^{\circ }\text{C}$
   Joi	$6^{\circ }\text{C}$	$18^{\circ }\text{C}$

   Zilele pentru care raportul dintre temperatura înregistrată la ora 8:00 și temperatura înregistrată la ora 12:00 are aceeași valoare sunt:

   • a) Luni și Miercuri
   • b) Luni și Joi
   • c) Marți și Miercuri
   • d) Marți și Joi

3. (5p) Vârful Omu din Munții Bucegi are altitudinea de $2505\text{ m}$. Marea Neagră are o adâncime medie de $1271\text{ m}$. Valoarea absolută a diferenței dintre adâncimea medie a Mării Negre și altitudinea vârfului Omu este egală cu:

   • a) $3776\text{ m}$
   • b) $-3776\text{ m}$
   • c) $1234\text{ m}$
   • d) $-1234\text{ m}$

4. (5p) Dintre următoarele seturi de numere, cel care reprezintă numai fracții ordinare subunitare este:

   • a) $\frac{2}{3},\frac{2}{5},\frac{4}{3},\frac{6}{8},\frac{1}{3},\frac{5}{7}$
   • b) $\frac{10}{13},\frac{1}{5},\frac{2}{3},\frac{15}{8},\frac{2}{7},\frac{3}{10}$
   • c) $\frac{1}{4},\frac{9}{15},\frac{6}{11},\frac{7}{8},\frac{6}{5},\frac{5}{7}$
   • d) $\frac{5}{9},\frac{3}{8},\frac{2}{7},\frac{10}{11},\frac{4}{13},\frac{5}{7}$

5. (5p) Patru elevi, Radu, Alexandru, Vlad și Eva, calculează media geometrică a numerelor $8\sqrt{3}$ și $3\sqrt{3}$. Rezultatele obținute sunt înregistrate în tabelul următor:

   Elev	Rezultat
   Radu	$2\sqrt{6}$
   Alexandru	$6\sqrt{2}$
   Vlad	$4\sqrt{3}$
   Eva	$6\sqrt{3}$

   Dintre cei patru elevi, cel care a calculat corect media geometrică a celor două numere este:

   • a) Radu
   • b) Alexandru
   • c) Vlad
   • d) Eva

6. (5p) Elevii unei clase au obținut la un test notele prezentate în tabelul de mai jos:

   Nota	10	9	8	7	6	5	4
   Număr elevi	2	2	6	7	5	1	1

   Un elev afirmă că „media notelor obținute de elevii clasei este egală cu $7,30$”. Afirmația făcută este:

   • a) adevărată
   • b) falsă

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

1. (5p) În figura alăturată sunt reprezentate, în această ordine, punctele coliniare $A$, $B$, $C$. Știind că punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $AB$, respectiv $BC$, $AB=2\text{ cm}$ și $BC=4\text{ cm}$, lungimea segmentului $MN$ este egală cu:
   [Figura: Punctele coliniare A, M, B, N, C în această ordine pe o dreaptă]

   • a) $1\text{ cm}$
   • b) $2\text{ cm}$
   • c) $3\text{ cm}$
   • d) $4\text{ cm}$

2. (5p) În figura alăturată punctele $A$, $B$, $C$ se găsesc la distanțe egale unul față de celălalt, respectiv la distanțe egale față de punctul $G$. Măsura unghiului $BGC$ este egală cu:
   [Figura: Trei puncte A, B, C formând un triunghi echilateral și punctul G în interior]

   • a) $90^{\circ }$
   • b) $120^{\circ }$
   • c) $130^{\circ }$
   • d) $150^{\circ }$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat un pătrat $ABCD$ de latură $3\text{ cm}$. Perpendiculara în $D$ pe diagonala $BD$ a pătratului $ABCD$ intersectează dreapta $AB$ în punctul $E$. Perimetrul triunghiului $DBE$ este egal cu:
   [Figura: Pătratul ABCD și triunghiul DBE, cu DE perpendicular pe BD, iar E pe prelungirea laturii AB]

   • a) $9\text{ cm}$
   • b) $3(2+\sqrt{2})\text{ cm}$
   • c) $18\text{ cm}$
   • d) $6(1+\sqrt{2})\text{ cm}$

4. (5p) Figura alăturată reprezintă schița unei fețe de masă în formă de romb cu lungimile diagonalelor de $60\text{ cm}$ și de $80\text{ cm}$. Pe fața de masă este cusută o broderie în formă de dreptunghi, care are vârfurile în mijloacele laturilor feței de masă. Valoarea raportului dintre suprafața broderiei și suprafața feței de masă este:
   [Figura: Un romb având în interior un dreptunghi cu vârfurile pe mijloacele laturilor rombului]

   • a) $\frac{1}{8}$
   • b) $\frac{1}{4}$
   • c) $\frac{1}{3}$
   • d) $\frac{1}{2}$

5. (5p) În figura alăturată punctele $A$ și $B$ sunt situate pe cercul de centru $O$ și sunt diametral opuse, iar punctul $C$ aparține cercului dat astfel încât $AC=2\sqrt{3}\text{ cm}$ și $BC=OC$. Aria triunghiului $BOC$ este egală cu:
   [Figura: Cerc de centru O, diametrul AB și punctul C pe cerc]

   • a) $\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$
   • b) $6{\text{ cm}}^2$
   • c) $8{\text{ cm}}^2$
   • d) $6\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră $VABCD$ cu $ABCD$ pătrat, $AB=12\text{ cm}$ și înălțimea $VO=8\text{ cm}$. Volumul piramidei $VABCD$ este egal cu:
   [Figura: Piramidă patrulateră regulată VABCD cu baza ABCD și înălțimea VO]

   • a) $96{\text{ cm}}^3$
   • b) $144{\text{ cm}}^3$
   • c) $384{\text{ cm}}^3$
   • d) $1152{\text{ cm}}^3$

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrieți rezolvările complete. (30 de puncte)

1. Un automobil a parcurs un drum în trei zile, astfel: în prima zi a parcurs $35\%$ din lungimea drumului, în a doua zi $20\%$ din lungimea drumului rămas, iar în a treia zi restul de $624\text{ km}$.

   • (2p) a) Este adevărat că automobilul a parcurs în primele două zile jumătate din lungimea drumului? Justifică răspunsul dat.
   • (3p) b) Determină în care dintre cele trei zile automobilul a parcurs cei mai mulți kilometri.

2. Se consideră expresia $E(x)=(x+2021{)}^2-10(x+2021)+21$, unde $x$ este număr real.

   • (2p) a) Arată că $x^2-10x+21=(x-3)(x-7)$, pentru orice număr real $x$.
   • (3p) b) Demonstrează că $E(-2018)\cdot E(-2019)\cdot E(-2020)\cdot E(-2021)=0$.

3. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-2x+8$.

   • (2p) a) Determină numărul real $a$, știind că punctul $A(a,2a)$ aparține graficului funcției $f$.
   • (3p) b) În sistemul de axe ortogonale $xOy$ se consideră punctul $A(2,4)$, iar $B$ este punctul de intersecție al graficului funcției $f$ cu axa $Oy$. Determină lungimea segmentului $AB$.

4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$. Pe latura $AB$ a triunghiului se consideră punctul $M$ și se construiește paralela $MN$ la dreapta $BC$, cu $N\in AC$. Paralela prin $N$ la dreapta $AB$ intersectează pe $BC$ în punctul $P$.
   [Figura: Triunghiul ABC cu punctele M pe AB, N pe AC, P pe BC astfel încât MN || BC și NP || AB]

   • (2p) a) Arată că $MN\cdot AC=BC\cdot AN$.
   • (3p) b) Demonstrează că $\frac{BP}{BC}+\frac{BM}{AB}=1$.

5. Se consideră triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$, măsura unghiului $ACB$ este de $30^{\circ }$ și $AB=6\text{ cm}$.
   [Figura: Triunghiul ABC dreptunghic în A, cu M mijlocul ipotenuzei BC]

   • (2p) a) Arată că perimetrul triunghiului $ABM$ este egal cu $18\text{ cm}$.
   • (3p) b) Arată că aria triunghiului $AMC$ este mai mică decât $16{\text{ cm}}^2$.

6. În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCDEF$, cu baza triunghiul echilateral $ABC$, iar $AB=12\text{ cm}$ și $AD=18\text{ cm}$.
   [Figura: Prismă dreaptă triunghiulară regulată ABCDEF]

   • (2p) a) Arată că aria totală a prismei este mai mare decât $720{\text{ cm}}^2$.
   • (3p) b) Se consideră punctul $A^{\prime }$ din planul $(BCD)$ astfel încât $A{A}^{\prime }=9\text{ cm}$. Determină măsura unghiului dintre dreptele $A{A}^{\prime }$ și $EF$.