Evaluare Națională 2021, matematică: test de antrenament 13

Subiectul I

1. Răspuns corect: d)

   • Divizorii naturali ai numărului $20$ sunt: $D_{20}=\{1,2,4,5,10,20\}$.
   • Suma acestora este: $1+2+4+5+10+20=42$.

2. Răspuns corect: b)

   • Din relația $\frac{a}{2}=\frac{b}{3}$ obținem $b=\frac{3}{2}a=1,5a$.
   • Înlocuind în expresie: $1,5a-b=1,5a-1,5a=0$.

3. Răspuns corect: c)

   • Transformăm înălțimile în aceeași unitate de măsură: $10\text{ dam}=100\text{ m}$.
   • Diferența pozitivă este: $120\text{ m}-100\text{ m}=20\text{ m}$.

4. Răspuns corect: b)

   • Numărul rațional este $1,(3)=1,3333\dots$
   • Aproximarea prin lipsă la sutimi se obține prin trunchiere la a doua zecimală, deci este $1,33$.

5. Răspuns corect: c)

   • Aplicăm formula diferenței de pătrate: $(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})=3^2-(2\sqrt{2}{)}^2=9-8=1$.
   • Atunci $a=-1$.
   • Calculăm: $a^{2021}=(-1{)}^{2021}=-1$.
   • Elevul care a scris rezultatul corect este Mihai.

6. Răspuns corect: b)

   • Timpul biciclistului: $t_1=\frac{d_1}{v_1}=\frac{6\text{ km}}{15\text{ km/h}}=\frac{2}{5}\text{ h}=24\text{ minute}$.
   • Timpul pietonului: $t_2=\frac{d_2}{v_2}=\frac{1\text{ km}}{3\text{ km/h}}=\frac{1}{3}\text{ h}=20\text{ minute}$.
   • Deoarece $24\text{ minute}\ne 20\text{ minute}$ (sau $\frac{2}{5}\ne \frac{1}{3}$), afirmația este falsă.

---

Subiectul al II-lea

1. Răspuns corect: d)

   • Fie $E_1$ simetricul punctului $E$ față de $C$. Punctul $C$ este mijlocul segmentului $E_{1}E$. Deoarece $CE=CD+DE=2+2=4\text{ cm}$, punctul $E_1$ se află la stânga lui $C$ la o distanță de $4\text{ cm}$. Întrucât $AC=AB+BC=4\text{ cm}$, deducem că $E_1$ coincide cu punctul $A$.
   • Fie $E_2$ simetricul punctului $E$ față de $F$. Punctul $F$ este mijlocul segmentului $E{E}_2$. Deoarece $EF=2\text{ cm}$, punctul $E_2$ se află la dreapta lui $F$ la distanța de $2\text{ cm}$, adică $E_2$ coincide cu punctul $G$ ($FG=2\text{ cm}$).
   • Distanța dintre $E_1$ și $E_2$ este lungimea segmentului $AG$:
     $$AG=6\cdot 2\text{ cm}=12\text{ cm}.$$

2. Răspuns corect: a)

   • Unghiurile fiind congruente în jurul punctului $O$, măsura fiecăruia este:
     $$\sphericalangle MON=\sphericalangle NOP=\sphericalangle POM=\frac{360^{\circ }}{3}=120^{\circ }.$$
   • Semidreapta $OQ$ este bisectoarea unghiului $NOP$, deci:
     $$\sphericalangle POQ=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$$
   • Complementul unghiului $POQ$ are măsura:
     $$90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }.$$

3. Răspuns corect: b)

   • În triunghiul dreptunghic $ABD$ (dreptunghic în $A$), avem $\sin (\sphericalangle ABD)=\frac{AD}{BD}=\frac{AD}{2\cdot AD}=\frac{1}{2}$.
   • Rezultă că $\sphericalangle ABD=30^{\circ }$.
   • Distanța de la $A$ la $BD$ este lungimea perpendicularei din $A$ pe $BD$, notată cu $h$. În triunghiul dreptunghic format de înălțime:
     $$h=AB\cdot \sin (30^{\circ })=40\cdot \frac{1}{2}=20\text{ m}.$$

4. Răspuns corect: d)

   • Aria rombului $ABCD$ este:
     $${\mathcal{A}}_{ABCD}=A{B}^2\cdot \sin (\sphericalangle ABC)=100^2\cdot \sin (60^{\circ })=10000\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5000\sqrt{3}{\text{ m}}^2.$$
   • Vârfurile patrulaterului $MNPQ$ sunt mijloacele laturilor rombului, deci $MNPQ$ este un dreptunghi a cărui arie reprezintă jumătate din aria rombului:
     $${\mathcal{A}}_{MNPQ}=\frac{1}{2}{\mathcal{A}}_{ABCD}.$$
   • Suprafața acoperită de gazon este restul suprafeței rombului:
     $${\mathcal{A}}_{gazon}={\mathcal{A}}_{ABCD}-{\mathcal{A}}_{MNPQ}=\frac{1}{2}{\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{5000\sqrt{3}}{2}=2500\sqrt{3}{\text{ m}}^2.$$

5. Răspuns corect: b)

   • Coardele $AB$ și $CD$ fiind ambele perpendiculare pe diametrul $MN$, rezultă că $AB\parallel CD$.
   • Diametrul $MN$ perpendicular pe o coardă este mediatoarea acesteia, prin urmare dreapta $MN$ este mediatoarea comună a segmentelor paralele $AB$ și $CD$.
   • Astfel, diametrul $MN$ este axă de simetrie a patrulaterului $ABCD$, de unde rezultă că $AD=BC$.
   • Cum $OP<OQ$, coardele nu sunt egal depărtate de centru, deci $AB\ne CD$. Patrulaterul convex $ABCD$ are două laturi paralele inegale și laturile neparalele congruente, fiind un trapez isoscel.

6. Răspuns corect: d)

   • Cubul mare este format din $216=6^3$ cubulețe, deci are $6$ cubulețe pe fiecare muchie.
   • Cubulețele care au exact 3 fețe vopsite sunt exclusiv cubulețele situate în cele $8$ vârfuri ale cubului mare.
   • Volumul unui cubuleț cu muchia de $10\text{ cm}=1\text{ dm}$ este $V_1=1\text{ dm}\times 1\text{ dm}\times 1\text{ dm}=1{\text{ dm}}^3$.
   • Volumul total al celor $8$ cubulețe este:
     $$V=8\cdot 1{\text{ dm}}^3=8{\text{ dm}}^3.$$

---

Subiectul al III-lea

1.

a)

• Fie $a$ numărul problemelor rezolvate de Ana și $m$ numărul problemelor rezolvate de Mihai. Din enunț, $a=m+2$. Presupunem că $a+m=15$ (1p).
• Înlocuind, obținem $(m+2)+m=15⟹2m+2=15⟹2m=13⟹m=6,5$. Deoarece numărul de probleme $m$ trebuie să fie număr natural ($m\in \mathbb{N}$), rezultă că nu este posibil ca numărul total de probleme rezolvate să fie 15 (1p).

b)

• Știm că $m=\frac{3}{4}a$. Cum $a=m+2$, obținem:
  $$a=\frac{3}{4}a+2⟺a-\frac{3}{4}a=2⟺\frac{1}{4}a=2$$ (2p).
• Înmulțind cu $4$, rezultă $a=8$. Deci Ana a rezolvat 8 probleme (1p).

---

2.

a)

• Înlocuim $x=10$ în expresie:
  $$E(10)=(2\cdot 10+1{)}^2+(2\cdot 10-1{)}^2-4(2\cdot 10^2-1)=21^2+19^2-4(2\cdot 100-1)=21^2+19^2-4\cdot 199$$ (1p).
• Calculăm valorile:
  $$E(10)=441+361-796=802-796=6$$ (1p).

b)

• Dezvoltăm expresia $E(x)$ pentru orice număr real $x$:
  $$E(x)=(4x^2+4x+1)+(4x^2-4x+1)-4(2x^2-1)=8x^2+2-8x^2+4=6$$ (1p).
• Numărul de factori din produsul dat este $100-10+1=91$. Deoarece $E(x)=6$ pentru orice $x$, avem:
  $$n\cdot E(10)\cdot E(11)\cdot \dots \cdot E(100)=n\cdot 6^{91}=n\cdot 6\cdot 6^{90}=n\cdot 6\cdot (6^{45}{)}^2$$
• Pentru ca numărul să fie pătratul unui număr natural, produsul $n\cdot 6$ trebuie să fie pătrat perfect. Cel mai mic număr natural nenul este $n=6$ (2p).

---

3.

a)

• Calculăm valorile celor două funcții în $x=1$:
  • $f(1)=-1+2=1⟹P(1,1)\in G_f$ (1p).
  • $g(1)=1⟹P(1,1)\in G_g$ (1p).
  • Deoarece coordonatele punctului $P$ verifică ecuațiile ambelor grafice, $P(1,1)\in G_f\cap G_g$, deci $P(1,1)$ este punctul de intersecție al reprezentărilor geometrice ale graficelor.

b)

• Determinăm intersecțiile graficului funcției $f$ cu axele de coordonate:
  • Cu axa $Ox$: $f(x)=0⟹-x+2=0⟹x=2$, deci obținem punctul $A(2,0)$;
  • Cu axa $Oy$: $x=0⟹f(0)=2$, deci obținem punctul $B(0,2)$ (1p).
• Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$, cu catetele $OA=2$ și $OB=2$. Aplicând teorema lui Pitagora, ipotenuza este:
  $$AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$ (1p).
• Distanța de la originea $O$ la dreapta $AB$ (reprezentarea geometrică a graficului) este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei în $△AOB$:
  $$d(O,AB)=\frac{OA\cdot OB}{AB}=\frac{2\cdot 2}{2\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$$ (1p).

---

4.

a)

• Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$, deci $AM=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3\text{ cm}$.
• Comparăm triunghiurile $AMN$ și $ACB$:
  • Unghiul $\sphericalangle MAN\equiv \sphericalangle CAB$ (unghi comun);
  • $\sphericalangle ANM\equiv \sphericalangle ABC$ (din ipoteză).
  • Rezultă că $△AMN\sim △ACB$ (cazul U.U.) (1p).
• Raportul de asemănare este:
  $$\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}=\frac{MN}{BC}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.$$
• Raportul perimetrelor a două triunghiuri asemenea este egal cu raportul de asemănare:
  $$\frac{{\mathcal{P}}_{△AMN}}{{\mathcal{P}}_{△ABC}}=\frac{1}{3}⟹{\mathcal{P}}_{△AMN}=\frac{{\mathcal{P}}_{△ABC}}{3}=\frac{6+9+12}{3}=\frac{27}{3}=9\text{ cm}$$ (1p).

b)

• Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este egal cu pătratul raportului de asemănare:
  $$\frac{{\mathcal{A}}_{△AMN}}{{\mathcal{A}}_{△ABC}}={\left(\frac{AM}{AC}\right)}^2={\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}$$ (2p).
• Aria patrulaterului $BMNC$ se obține scăzând aria triunghiului $AMN$ din aria triunghiului $ABC$:
  $${\mathcal{A}}_{BMNC}={\mathcal{A}}_{△ABC}-{\mathcal{A}}_{△AMN}={\mathcal{A}}_{△ABC}-\frac{1}{9}{\mathcal{A}}_{△ABC}=\frac{8}{9}{\mathcal{A}}_{△ABC}$$ (1p).

---

5.

a)

• Deoarece $M$ este mijlocul bazei mari $AB$, avem $MB=AM=12\text{ cm}$, deci $AB=24\text{ cm}$. Trapezul fiind isoscel, $BC=AD=12\text{ cm}$.
• În patrulaterul $AMCD$, laturile opuse $AM$ și $CD$ sunt paralele și congruente ($AM=CD=12\text{ cm}$), deci $AMCD$ este paralelogram. Deoarece $AM=AD=12\text{ cm}$, paralelogramul este romb, de unde rezultă $MD=12\text{ cm}$. Prin urmare, triunghiul $AMD$ este echilateral cu latura de $12\text{ cm}$.
• În mod analog, patrulaterul $MBCD$ este paralelogram cu $MB=BC=12\text{ cm}$, deci este romb, de unde $MC=12\text{ cm}$.
• În $△MCD$, avem $MD=CD=MC=12\text{ cm}$, deci este triunghi echilateral. De asemenea, în $△MCB$, avem $MC=CB=MB=12\text{ cm}$, deci este triunghi echilateral.
• Trapezul $ABCD$ este compus din trei triunghiuri echilaterale congruente: $△AMD$, $△DMC$ și $△MCB$ (1p).
• Aria unui triunghi echilateral cu latura de $12\text{ cm}$ este:
  $${\mathcal{A}}_{△AMD}=\frac{12^2\sqrt{3}}{4}=\frac{144\sqrt{3}}{4}=36\sqrt{3}{\text{ cm}}^2.$$
• Aria trapezului este:
  $${\mathcal{A}}_{ABCD}=3\cdot {\mathcal{A}}_{△AMD}=3\cdot 36\sqrt{3}=108\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$$ (1p).

b)

• În rombul $AMCD$, diagonala $AC$ este bisectoarea unghiului $MAD$, adică a unghiului $BAD$ (2p).
• Deoarece triunghiul $AMD$ este echilateral, $\sphericalangle DAM=60^{\circ }$, deci:
  $$\sphericalangle CAB=\frac{60^{\circ }}{2}=30^{\circ }.$$
• Trapezul fiind isoscel, unghiul de la baza mare are măsura $\sphericalangle ABC=\sphericalangle BAD=60^{\circ }$.
• În triunghiul $ABC$, suma măsurilor unghiurilor este $180^{\circ }$:
  $$\sphericalangle ACB=180^{\circ }-(\sphericalangle CAB+\sphericalangle ABC)=180^{\circ }-(30^{\circ }+60^{\circ })=90^{\circ }.$$
• Rezultă $AC\perp BC$. Cum dreapta $AC$ este chiar bisectoarea unghiului $BAD$, rezultă că bisectoarea unghiului $BAD$ este perpendiculară pe dreapta $BC$ (1p).

---

6.

a)

• Fețele tetraedrului regulat sunt triunghiuri echilaterale cu latura de $12\text{ cm}$. Punctul $N$ fiind mijlocul lui $CD$, $BN$ și $AN$ sunt înălțimi în triunghiurile echilaterale $BCD$, respectiv $ACD$:
  $$BN=AN=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\text{ cm}$$ (1p).
• Triunghiul $ANB$ este isoscel cu $AN=BN=6\sqrt{3}\text{ cm}$ și baza $AB=12\text{ cm}$.
• Punctul $M$ fiind mijlocul lui $AB$, segmentul $MN$ este mediană și înălțime în $△ANB$, deci $MN\perp AB$.
• Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $AMN$:
  $$MN=\sqrt{A{N}^2-A{M}^2}=\sqrt{(6\sqrt{3}{)}^2-6^2}=\sqrt{108-36}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\text{ cm}.$$
• Deoarece $72<75$, avem $\sqrt{72}<\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}\text{ cm}$, prin urmare $MN<5\sqrt{3}\text{ cm}$ (1p).

b)

• Dreapta de intersecție a planelor $(ABN)$ și $(ABC)$ este muchia $AB$:
  $$(ABN)\cap (ABC)=AB.$$
• În triunghiul isoscel $ABN$, $MN\perp AB$, cu $M\in AB$.
• În triunghiul echilateral $ABC$, mediana $CM$ este și înălțime, deci $CM\perp AB$, cu $M\in AB$.
• Rezultă că unghiul dintre planele $(ABN)$ și $(ABC)$ este unghiul planelor corespunzător diedrului, adică $\sphericalangle (MN,CM)=\sphericalangle NMC$ (2p).
• Muchia $CD$ este perpendiculară pe $AN$ și pe $BN$, deci $CD\perp (ABN)$. Cum $MN\subset (ABN)$, rezultă că $CD\perp MN$, adică triunghiul $MNC$ este dreptunghic în $N$ (verificabil și prin reciproca teoremei lui Pitagora: $M{N}^2+N{C}^2=72+6^2=108=M{C}^2$, unde $MC=6\sqrt{3}\text{ cm}$ este înălțime în triunghiul echilateral $ABC$).
• În triunghiul dreptunghic $MNC$ (cu $\sphericalangle MNC=90^{\circ }$):
  $$\cos (\sphericalangle NMC)=\frac{MN}{MC}=\frac{6\sqrt{2}}{6\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$$ (1p).

Evaluarea Națională pentru absolvenții clasei a VIII-a

Anul școlar 2020 - 2021

Matematică

Testul 13

---

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

1. (5p) Suma tuturor numerelor naturale, care sunt divizori ai numărului $20$, este egală cu:

   • a) $8$
   • b) $20$
   • c) $21$
   • d) $42$

2. (5p) Știind că $a$ și $b$ sunt numere reale și $\frac{a}{2}=\frac{b}{3}$, expresia $1,5\cdot a-b$ este egală cu:

   • a) $-0,5$
   • b) $0$
   • c) $1,5$
   • d) $3,5$

3. (5p) Două turnuri au înălțimile de $120\text{ m}$, respectiv $10\text{ dam}$. Diferența pozitivă a înălțimilor celor două turnuri este egală cu:

   • a) $119\text{ m}$
   • b) $110\text{ m}$
   • c) $20\text{ m}$
   • d) $2\text{ m}$

4. (5p) Se consideră numărul rațional $1,(3)$. Aproximarea prin lipsă la sutimi a acestui număr este egală cu:

   • a) $1,30$
   • b) $1,33$
   • c) $1,34$
   • d) $1,40$

5. (5p) Se consideră numărul real $a=-(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})$. Patru elevi au calculat $a^{2021}$ și au scris rezultatele în tabelul următor:

   Andrei	Valentina	Mihai	Rada
   $0$	$1$	$-1$	$2021$

   Dintre cei patru elevi, cel care a scris rezultatul corect este:

   • a) Andrei
   • b) Valentina
   • c) Mihai
   • d) Rada

6. (5p) Un biciclist s-a deplasat cu viteza de $15\text{ km/h}$ pe o distanță de $6\text{ km}$. Un pieton s-a deplasat cu viteza de $3\text{ km/h}$ pe o distanță de $1\text{ km}$. Afirmația „Timpul de deplasare a biciclistului este egal cu timpul de deplasare a pietonului.” este:

   • a) adevărată
   • b) falsă

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

1. (5p) În figura alăturată sunt reprezentate, în această ordine, punctele coliniare $A,B,C,D,E,F$ și $G$, astfel încât $AB=BC=CD=DE=EF=FG=2\text{ cm}$. Distanța dintre simetricul punctului $E$ față de punctul $C$ și simetricul punctului $E$ față de punctul $F$ este egală cu:

   [Figura: Punctele coliniare $A,B,C,D,E,F,G$, situate la distanțe egale de $2\text{ cm}$]

   • a) $6\text{ cm}$
   • b) $8\text{ cm}$
   • c) $10\text{ cm}$
   • d) $12\text{ cm}$

2. (5p) În figura alăturată $\sphericalangle MON$, $\sphericalangle NOP$ și $\sphericalangle POM$ sunt unghiuri congruente în jurul punctului $O$, iar semidreapta $OQ$ este bisectoarea unghiului $NOP$. Măsura complementului unghiului $POQ$ este egală cu:

   [Figura: Unghiurile congruente $\sphericalangle MON,\sphericalangle NOP,\sphericalangle POM$ în jurul punctului $O$, cu semidreapta $OQ$ bisectoare a unghiului $NOP$]

   • a) $30^{\circ }$
   • b) $45^{\circ }$
   • c) $60^{\circ }$
   • d) $90^{\circ }$

3. (5p) În figura alăturată dreptunghiul $ABCD$ reprezintă schița unui parc în care $AB=40\text{ m}$ și $BD=2\cdot AD$. Știind că în vârful $A$ este plantat un copac, distanța de la baza copacului la aleea $BD$ este egală cu:

   [Figura: Dreptunghiul $ABCD$ cu diagonala $BD$ și perpendiculara din $A$ pe $BD$]

   • a) $10\text{ m}$
   • b) $20\text{ m}$
   • c) $25\text{ m}$
   • d) $30\text{ m}$

4. (5p) Figura alăturată reprezintă schița unei grădini având forma unui romb $ABCD$ cu $AB=100\text{ m}$ și $\sphericalangle ABC=60^{\circ }$. Pe suprafața delimitată de patrulaterul $MNPQ$, ale cărui vârfuri sunt mijloacele laturilor rombului dat, sunt cultivate flori, iar restul suprafeței grădinii este acoperit cu gazon. Aria suprafeței grădinii, acoperite de gazon, este egală cu:

   [Figura: Rombul $ABCD$ și patrulaterul $MNPQ$ format de mijloacele laturilor rombului]

   • a) $50\sqrt{3}{\text{ m}}^2$
   • b) $250\sqrt{3}{\text{ m}}^2$
   • c) $500\sqrt{3}{\text{ m}}^2$
   • d) $2500\sqrt{3}{\text{ m}}^2$

5. (5p) În figura alăturată $AB$ și $CD$ sunt două coarde perpendiculare pe diametrul $MN$ al cercului de centru $O$, acestea intersectând $MN$ în punctele $P$, respectiv $Q$, astfel încât $OP<OQ$. Patrulaterul convex cu vârfurile în punctele $A,B,C$ și $D$ reprezintă:

   [Figura: Cercul de centru $O$ cu diametrul $MN$ și coardele $AB\perp MN$, $CD\perp MN$ intersectate în $P$ și $Q$]

   • a) un trapez dreptunghic
   • b) un trapez isoscel
   • c) un dreptunghi
   • d) un pătrat

6. (5p) Mihai are la dispoziție 216 cubulețe cu muchia de $10\text{ cm}$, pe care le lipește obținând un cub ale cărui fețe le vopsește. Volumul total al cubulețelor care au exact 3 fețe vopsite este egal cu:

   • a) $3{\text{ dm}}^3$
   • b) $4{\text{ dm}}^3$
   • c) $6{\text{ dm}}^3$
   • d) $8{\text{ dm}}^3$

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrieți rezolvările complete. (30 de puncte)

1. Mihai și Ana rezolvă probleme din ultimul număr publicat al revistei Gazeta Matematică. Se știe că Ana a rezolvat cu două probleme mai mult decât Mihai.

   • (2p) a) Dacă problemele rezolvate de cei doi sunt diferite, este posibil ca numărul total de probleme rezolvate de Mihai și Ana să fie 15? Justifică răspunsul.
   • (3p) b) Știind că numărul problemelor rezolvate de Mihai reprezintă $\frac{3}{4}$ din numărul problemelor rezolvate de Ana, determină numărul problemelor rezolvate de Ana.

2. Se consideră expresia $E(x)=(2x+1{)}^2+(2x-1{)}^2-4(2x^2-1)$, unde $x$ este număr real.

   • (2p) a) Calculează $E(10)$.
   • (3p) b) Determină cel mai mic număr natural nenul $n$ pentru care $n\cdot E(10)\cdot E(11)\cdot \dots \cdot E(100)$ este pătratul unui număr natural.

3. Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x+2$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x$.

   • (2p) a) Argumentează că $P(1,1)$ este punctul de intersecție al reprezentărilor geometrice ale graficelor celor două funcții.
   • (3p) b) Calculează distanța de la originea $O(0,0)$ a sistemului de axe ortogonale $xOy$ la reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$.

4. În figura alăturată este reprezentat un triunghi $ABC$ cu $AB=6\text{ cm}$, $AC=9\text{ cm}$ și $BC=12\text{ cm}$, iar $M$ este mijlocul segmentului $AB$ și $N$ este un punct ce aparține segmentului $AC$, astfel încât $\sphericalangle ABC\equiv \sphericalangle ANM$.

   [Figura: Triunghiul $ABC$ cu punctul $M$ pe latura $AB$ și $N$ pe latura $AC$]

   • (2p) a) Arată că perimetrul triunghiului $AMN$ este egal cu $9\text{ cm}$.
   • (3p) b) Demonstrează că aria patrulaterului $BMNC$ reprezintă $\frac{8}{9}$ din aria triunghiului $ABC$.

5. În figura alăturată este reprezentat trapezul isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$. Punctul $M$ este mijlocul bazei mari $AB$ și $AM=AD=CD=12\text{ cm}$.

   [Figura: Trapezul isoscel $ABCD$ cu baza mare $AB$ și mijlocul $M$ al acesteia]

   • (2p) a) Arată că aria trapezului $ABCD$ este egală cu $108\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$.
   • (3p) b) Demonstrează că bisectoarea unghiului $BAD$ este perpendiculară pe dreapta $BC$.

6. O cutie de bomboane de forma unui tetraedru regulat $ABCD$, cu muchia de lungime $12\text{ cm}$, este reprezentată în figura alăturată. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele muchiilor $AB$, respectiv $CD$.

   [Figura: Tetraedrul regulat $ABCD$ cu mijlocul $M$ al muchiei $AB$ și mijlocul $N$ al muchiei $CD$]

   • (2p) a) Arată că $MN$ are lungimea mai mică decât $5\sqrt{3}\text{ cm}$.
   • (3p) b) Determină cosinusul unghiului dintre planele $(ABN)$ și $(ABC)$.