Evaluare Națională 2021, matematică: test de antrenament 12

Subiectul I, 1)

• Răspuns corect: c)
• Explicație:
  Numerele prime al căror produs este $14$ sunt divizorii primi ai lui $14$. Deoarece $14=2\cdot 7$, iar $2$ și $7$ sunt ambele numere prime, cele două numere sunt $2$ și $7$.
  Suma lor este:
  $$2+7=9$$

---

Subiectul I, 2)

• Răspuns corect: c)
• Explicație:
  Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile (numărul de mere roșii, notat cu $r$) și numărul total de cazuri posibile ($48$ de mere):
  $$P=\frac{r}{48}=\frac{5}{8}⟹r=\frac{5\cdot 48}{8}=5\cdot 6=30$$
  În lădiță sunt $30$ de mere roșii.

---

Subiectul I, 3)

• Răspuns corect: b)
• Explicație:
  Media aritmetică a celor $7$ temperaturi este suma lor împărțită la $7$:
  $$m_a=\frac{(-4)+(-1)+(-5)+(-2)+0+1+(-3)}{7}=\frac{-14}{7}=-2^{\circ }\text{C}$$

---

Subiectul I, 4)

• Răspuns corect: d)
• Explicație:
  Fracția $\frac{6}{x}$ este supraunitară dacă numărătorul este mai mare decât numitorul, adică $6>x$, deci $x<6$. Cum $x\in \mathbb{N}$ și $x>1$, valorile posibile pentru $x$ sunt $\{2,3,4,5\}$.
  • Pentru $x=2$, fracția $\frac{6}{2}$ este reductibilă (se simplifică cu $2$).
  • Pentru $x=3$, fracția $\frac{6}{3}$ este reductibilă (se simplifică cu $3$).
  • Pentru $x=4$, fracția $\frac{6}{4}$ este reductibilă (se simplifică cu $2$).
  • Pentru $x=5$, fracția $\frac{6}{5}$ este ireductibilă, deoarece $\gcd (6,5)=1$.
    Așadar, $x=5$.

---

Subiectul I, 5)

• Răspuns corect: c)
• Explicație:
  Calculăm valorile numerelor $a$ și $b$:
  $$a=\sqrt{5^2-1^2}=\sqrt{25-1}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$$
  $$b=\frac{48}{\sqrt{6}}=\frac{48\sqrt{6}}{6}=8\sqrt{6}$$
  Media aritmetică este:
  $$m_a=\frac{a+b}{2}=\frac{2\sqrt{6}+8\sqrt{6}}{2}=\frac{10\sqrt{6}}{2}=5\sqrt{6}=\sqrt{25\cdot 6}=\sqrt{150}$$
  Deoarece $12^2=144$ și $13^2=169$, avem $144<150<169$, deci:
  $$12<\sqrt{150}<13⟹m_a\in [12,13]$$

---

Subiectul I, 6)

• Răspuns corect: a)
• Explicație:
  Numărul total de elevi din școală este:
  $$N=32+30+28+31+27+32+29+31=240$$
  Numărul elevilor din clasele a VIII-a este:
  $$N_{\text{VIII}}=29+31=60$$
  Aflăm valoarea procentuală $p$:
  $$\frac{p}{100}\cdot 240=60⟹p=\frac{60\cdot 100}{240}=\frac{100}{4}=25$$

---

Subiectul al II-lea, 1)

• Răspuns corect: a)
• Explicație:
  Fie $AC=2x$ și $CE=2y$. Din ipoteză avem $AC<CE$, deci $2x<2y$, adică $x<y$.
  Punctul $B$ este mijlocul lui $AC$, deci $BC=\frac{AC}{2}=x$.
  Punctul $D$ este mijlocul lui $CE$, deci $CD=\frac{CE}{2}=y$.
  Lungimea segmentului $BD$ este:
  $$BD=BC+CD=x+y$$
  Comparăm valorile:
  • $AC=2x=x+x<x+y=BD$ (deoarece $x<y$)
  • $BD=x+y<y+y=2y=CE$ (deoarece $x<y$)
    Rezultă $AC<BD<CE$.

---

Subiectul al II-lea, 2)

• Răspuns corect: c)
• Explicație:
  Unghiul $AOB$ este drept, deci $\sphericalangle AOB=90^{\circ }$.
  Deoarece semidreapta $OC$ este bisectoarea unghiului $AOB$, avem:
  $$\sphericalangle BOC=\frac{\sphericalangle AOB}{2}=\frac{90^{\circ }}{2}=45^{\circ }$$
  Semidreapta $OB$ este bisectoarea unghiului $COD$, prin urmare:
  $$\sphericalangle BOD=\sphericalangle BOC=45^{\circ }$$

---

Subiectul al II-lea, 3)

• Răspuns corect: c)
• Explicație:
  În triunghiul dreptunghic $ABC$, $D$ este mijlocul ipotenuzei $AC$ și $DE\parallel AB$, cu $E\in BC$.
  Conform teoremei reciproce a liniei mijlocii, segmentul $DE$ este linie mijlocie în triunghiul $ABC$.
  Rezultă că lungimea parcursă de Dan este:
  $$DE=\frac{AB}{2}$$
  Distanța parcursă de Ana este $AB$. Raportul cerut este:
  $$\frac{DE}{AB}=\frac{\frac{AB}{2}}{AB}=\frac{1}{2}$$

---

Subiectul al II-lea, 4)

• Răspuns corect: c)
• Explicație:
  Pentru orice punct $E$ din interiorul unui pătrat (sau paralelogram) $ABCD$, suma ariilor triunghiurilor opuse este egală cu jumătate din aria pătratului:
  • ${\mathcal{A}}_{△AEB}+{\mathcal{A}}_{△DEC}=\frac{1}{2}{\mathcal{A}}_{ABCD}$
  • ${\mathcal{A}}_{△AED}+{\mathcal{A}}_{△BEC}=\frac{1}{2}{\mathcal{A}}_{ABCD}$
    Astfel, aria suprafeței cultivate cu panseluțe este egală cu suma ariilor suprafețelor cultivate cu begonii și cu crizanteme.

---

Subiectul al II-lea, 5)

• Răspuns corect: b)
• Explicație:
  Lungimea cercului se calculează cu formula $L=2\pi R=\pi \cdot d$, unde $d$ este diametrul cercului.
  $$\pi \cdot d=10\pi ⟹d=10\text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 6)

• Răspuns corect: c)
• Explicație:
  Segmentul $B{C}^{\prime }$ este diagonala unei fețe a cubului. Notând cu $l$ muchia cubului, avem:
  $$B{C}^{\prime }=l\sqrt{2}=4\sqrt{2}\text{ cm}⟹l=4\text{ cm}$$
  Aria totală a cubului este formată din $6$ fețe pătrate de latură $l$:
  $${\mathcal{A}}_t=6\cdot l^2=6\cdot 4^2=6\cdot 16=96{\text{ cm}}^2$$

---

Subiectul al III-lea, 1)

a)

• Dacă un fir de trandafir ar costa $10$ lei, atunci trei fire de trandafiri ar costa:
  $$3\cdot 10=30\text{ lei}$$ (1p)
• Conform enunțului, două fire de lalele și trei fire de trandafiri costă împreună $27$ de lei. Deoarece $30\text{ lei}>27\text{ lei}$, prețul a două lalele ar trebui să fie negativ ($-3$ lei), ceea ce este imposibil în realitate.
  Deci afirmația Anastasiei nu este adevărată. (1p)

b)

• Notăm cu $x$ prețul unui fir de lalea și cu $y$ prețul unui fir de trandafir. Din enunț avem sistemul:
  $$\{\begin{array}{l}5x+4y=43\\ 2x+3y=27\end{array}$$ (1p)
• Înmulțim prima ecuație cu $2$ și a doua cu $5$ pentru a elimina necunoscuta $x$:
  $$\{\begin{array}{l}10x+8y=86\\ 10x+15y=135\end{array}$$
  Scăzând prima ecuație din a doua, obținem:
  $$7y=49⟹y=7\text{ lei}$$ (2p)
  Așadar, prețul unui fir de trandafir este de $7$ lei.

---

Subiectul al III-lea, 2)

a)

• Folosind formulele de calcul prescurtat:

  • $(1+2\sqrt{3}x)(2\sqrt{3}x-1)=(2\sqrt{3}x{)}^2-1^2=12x^2-1$
  • $2(2x+1{)}^2=2(4x^2+4x+1)=8x^2+8x+2$
  • $(4x+1)(x-3)=4x^2-12x+x-3=4x^2-11x-3$

  Înlocuim în expresie:
  $$E(x)=(12x^2-1)-2(4x^2+4x+1)-(4x^2-11x-3)+1-x$$ (1p)

• Desfăcând parantezele și reducând termenii asemenea:
  $$E(x)=12x^2-1-8x^2-8x-2-4x^2+11x+3+1-x$$
  $$E(x)=(12x^2-8x^2-4x^2)+(-8x+11x-x)+(-1-2+3+1)=2x+1$$
  pentru orice număr real $x$. (1p)

b)

• Avem $E(a)=2a+1$. Condiția devine:
  $$2a+1\le 3\sqrt{5}$$
  Deoarece $3\sqrt{5}=\sqrt{45}$ și $6<\sqrt{45}<7$, rezultă $2a+1<7$. (1p)

• Cum $a\in \mathbb{N}$, numărul $2a+1$ este un număr natural impar. Rezultă că:
  $$2a+1\in \{1,3,5\}$$ (1p)

• Rezolvând pentru fiecare caz:

  • $2a+1=1⟹2a=0⟹a=0$
  • $2a+1=3⟹2a=2⟹a=1$
  • $2a+1=5⟹2a=4⟹a=2$

  Deci $a\in \{0,1,2\}$. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 3)

a)

• Calculăm valorile funcției în cele două puncte:
  $$f(-2)=\frac{3}{2}(-2)+2=-3+2=-1$$
  $$f(2)=\frac{3}{2}(2)+2=3+2=5$$ (1p)
• Atunci:
  $$f(-2)+f(2)=-1+5=4$$ (1p)

b)

• Punctele $A(-2,-1)$ și $B(2,5)$ sunt situate de o parte și de alta a axei $Oy$ (abscisele lor au semne diferite: $x_A=-2<0<2=x_B$). (1p)
• Pentru orice punct $M$ din plan, din inegalitatea triunghiului avem $MA+MB\ge AB$, egalitatea având loc dacă și numai dacă punctul $M$ se află pe segmentul $AB$ (adică punctele $A$, $M$ și $B$ sunt coliniare).
  Cum $A$ și $B$ aparțin graficului funcției liniare $f$, segmentul $AB$ este inclus în dreapta graficului funcției. Punctul $M$ cerut este intersecția graficului funcției $f$ cu axa $Oy$.
  Pe axa $Oy$, abscisa este $x=0$, deci ordonata este:
  $$y=f(0)=\frac{3}{2}\cdot 0+2=2$$
  Prin urmare, coordonatele punctului căutat sunt $M(0,2)$. (2p)

---

Subiectul al III-lea, 4)

a)

• Triunghiul $ABC$ este echilateral cu latura $AB=12\text{ cm}$. Formula ariei este:
  $${\mathcal{A}}_{△ABC}=\frac{A{B}^2\sqrt{3}}{4}$$ (1p)
• Înlocuind latura:
  $${\mathcal{A}}_{△ABC}=\frac{12^2\sqrt{3}}{4}=\frac{144\sqrt{3}}{4}=36\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$$ (1p)

b)

• Deoarece $MN\parallel BC$, iar $AB$ este secantă, unghiurile corespondente sunt congruente:
  $$\sphericalangle MNB=\sphericalangle ABC=60^{\circ }$$ (1p)
• Deoarece $B\in [CD]$, unghiurile $\sphericalangle ABD$ și $\sphericalangle ABC$ sunt suplementare:
  $$\sphericalangle ABD=180^{\circ }-\sphericalangle ABC=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$$
  Cum semidreapta $BM$ este bisectoarea unghiului $ABD$, obținem:
  $$\sphericalangle ABM=\frac{\sphericalangle ABD}{2}=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }$$
  Unghiul $\sphericalangle NBM$ este același cu unghiul $\sphericalangle ABM$, deci $\sphericalangle NBM=60^{\circ }$.
  În triunghiul $BMN$, două dintre unghiuri au măsura de $60^{\circ }$ ($\sphericalangle MNB=60^{\circ }$ și $\sphericalangle NBM=60^{\circ }$), deci și al treilea unghi este $\sphericalangle BMN=60^{\circ }$.
  Rezultă că triunghiul $BMN$ este echilateral.
  Cum toate triunghiurile echilaterale au toate unghiurile de $60^{\circ }$, deducem că $△BMN\sim △ABC$. (2p)

---

Subiectul al III-lea, 5)

a)

• Fie $M$ mijlocul segmentului $DC$. Triunghiul $BCD$ este isoscel de bază $DC$ ($BC=BD=6\text{ cm}$), deci mediana $BM$ este și înălțime, adică $BM\perp DC$. (1p)
• Deoarece $M$ este mijlocul lui $DC$, avem:
  $$MC=\frac{DC}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\text{ cm}$$
  În triunghiul dreptunghic $BMC$ (cu $\sphericalangle BMC=90^{\circ }$):
  $$\cos C=\frac{MC}{BC}=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}⟹\sphericalangle C=30^{\circ }$$ (1p)

b)

• În triunghiul dreptunghic $BMC$, aplicând teorema unghiului de $30^{\circ }$:
  $$BM=\frac{BC}{2}=\frac{6}{2}=3\text{ cm}$$ (1p)
• Deoarece $AC=4\sqrt{3}\text{ cm}$ și $MC=3\sqrt{3}\text{ cm}$, avem:
  $$AM=AC-MC=4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=\sqrt{3}\text{ cm}$$
  De asemenea:
  $$AD=DC-AC=6\sqrt{3}-4\sqrt{3}=2\sqrt{3}\text{ cm}$$ (1p)
• În triunghiul dreptunghic $AMB$ (cu $\sphericalangle AMB=90^{\circ }$), aplicăm teorema lui Pitagora:
  $$AB=\sqrt{A{M}^2+B{M}^2}=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+3^2}=\sqrt{3+9}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\text{ cm}$$
  Cum $AB=2\sqrt{3}\text{ cm}$ și $AD=2\sqrt{3}\text{ cm}$, rezultă că $AB=AD$, deci triunghiul $ABD$ este isoscel. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 6)

a)

• Fie $N$ mijlocul segmentului $AB$. Deoarece $M$ este mijlocul lui $BC$, segmentul $MN$ este linie mijlocie în triunghiul echilateral $ABC$. Rezultă că:
  $$MN\parallel AC\text{și}MN=\frac{AC}{2}=\frac{18}{2}=9\text{ cm}$$
  Unghiul dintre dreptele $VM$ și $AC$ este unghiul dintre $VM$ și paralela sa $MN$, adică $\sphericalangle (VM,AC)=\sphericalangle (VM,MN)=\sphericalangle VMN$. (1p)
• În triunghiul isoscel $VBC$, $VM$ este apotemă ($VM\perp BC$). În triunghiul dreptunghic $VMC$:
  $$VM=\sqrt{V{C}^2-M{C}^2}=\sqrt{(9\sqrt{2}{)}^2-9^2}=\sqrt{162-81}=\sqrt{81}=9\text{ cm}$$
  În mod analog, $VN$ este apotemă în triunghiul isoscel $VAB$, deci $VN=9\text{ cm}$.
  În triunghiul $VMN$ avem $VM=VN=MN=9\text{ cm}$, deci triunghiul $VMN$ este echilateral.
  Așadar, $\sphericalangle VMN=60^{\circ }$, adică măsura unghiului dintre $VM$ și $AC$ este de $60^{\circ }$. (1p)

b)

• Verificăm natura triunghiului $VBC$ cu reciproca teoremei lui Pitagora:
  $$V{B}^2+V{C}^2=(9\sqrt{2}{)}^2+(9\sqrt{2}{)}^2=162+162=324$$
  $$B{C}^2=18^2=324$$
  Cum $V{B}^2+V{C}^2=B{C}^2$, triunghiul $VBC$ este dreptunghic în $V$, deci $VB\perp VC$.
  În mod similar, în triunghiul $VAB$, $V{A}^2+V{B}^2=162+162=324=A{B}^2$, deci $VB\perp VA$.
  Deoarece $VB\perp VC$ și $VB\perp VA$, iar dreptele concurente $VA,VC\subset (VAC)$, rezultă că:
  $$VB\perp (VAC)$$ (2p)
• Fie $P$ mijlocul muchiei $VC$. În triunghiul $VBC$, segmentul $MP$ unește mijloacele laturilor $BC$ și $VC$, deci $MP$ este linie mijlocie, prin urmare $MP\parallel VB$ și:
  $$MP=\frac{VB}{2}=\frac{9\sqrt{2}}{2}\text{ cm}$$
  Deoarece $VB\perp (VAC)$ și $MP\parallel VB$, rezultă că $MP\perp (VAC)$, cu $P\in (VAC)$.
  Astfel, lungimea segmentului $MP$ reprezintă distanța de la punctul $M$ la planul $(VAC)$:
  $$d(M,(VAC))=MP=\frac{9\sqrt{2}}{2}\text{ cm}$$ (1p)

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

---

5p 1. Produsul a două numere prime este egal cu $14$. Suma celor două numere prime este egală cu:

a) $2$
b) $7$
c) $9$
d) $15$

---

5p 2. Într-o lădiță sunt $48$ de mere roșii, verzi și galbene. Probabilitatea ca, alegând un măr din lădiță, acesta să fie roșu este egală cu $\frac{5}{8}$. Numărul de mere roșii din această lădiță este egal cu:

a) $6$
b) $8$
c) $30$
d) $40$

---

5p 3. Mihai a înregistrat în tabelul următor temperaturile măsurate la aceeași oră pe parcursul unei săptămâni.

Zi	Luni	Marți	Miercuri	Joi	Vineri	Sâmbătă	Duminică
Temperatura	$-4^{\circ }\text{C}$	$-1^{\circ }\text{C}$	$-5^{\circ }\text{C}$	$-2^{\circ }\text{C}$	$0^{\circ }\text{C}$	$1^{\circ }\text{C}$	$-3^{\circ }\text{C}$

Media aritmetică a temperaturilor măsurate de Mihai, în această săptămână, la aceeași oră, este egală cu:

a) $0^{\circ }\text{C}$
b) $-2^{\circ }\text{C}$
c) $-5^{\circ }\text{C}$
d) $-7^{\circ }\text{C}$

---

5p 4. Știind că $x$ este un număr natural, $x>1$, iar fracția $\frac{6}{x}$ este supraunitară și ireductibilă, atunci $x$ este egal cu:

a) $2$
b) $3$
c) $4$
d) $5$

---

5p 5. Media aritmetică a numerelor $a=\sqrt{5^2-1^2}$ și $b=\frac{48}{\sqrt{6}}$ aparține intervalului:

a) $[5,6]$
b) $[10,11]$
c) $[12,13]$
d) $[15,16]$

---

5p 6. În tabelul următor este prezentat numărul de elevi al fiecăreia dintre clasele V–VIII ale unei școli:

Clasa	a V-a A	a V-a B	a VI-a A	a VI-a B	a VII-a A	a VII-a B	a VIII-a A	a VIII-a B
Număr de elevi	$32$	$30$	$28$	$31$	$27$	$32$	$29$	$31$

Numărul elevilor din clasele a VIII-a din această școală reprezintă $p\%$ din numărul total al elevilor școlii. Valoarea lui $p$ este egală cu:

a) $25$
b) $29$
c) $31$
d) $60$

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

---

5p 1. În figura alăturată, pe segmentul $AE$ se consideră punctul $C$ astfel încât $AC<CE$, iar punctele $B$ și $D$ sunt mijloacele segmentelor $AC$, respectiv $CE$. Dintre următoarele afirmații, cea adevărată este:

[Figura: Punctele coliniare A, B, C, D, E situate în această ordine pe segmentul AE]

a) $AC<BD<CE$
b) $BD<AC<CE$
c) $AC<CE<BD$
d) $AC=BD=CE$

---

5p 2. În figura alăturată este reprezentat unghiul drept $AOB$, bisectoarea $OC$ a acestuia și semidreapta $OD$ astfel încât semidreapta $OB$ este bisectoarea unghiului $COD$. Măsura unghiului $BOD$ este egală cu:

[Figura: Unghiul drept AOB cu bisectoarea OC în interiorul său și semidreapta OD astfel încât OB este bisectoarea unghiului COD]

a) $90^{\circ }$
b) $50^{\circ }$
c) $45^{\circ }$
d) $40^{\circ }$

---

5p 3. În figura alăturată, segmentele $AB$, $AC$ și $CB$ reprezintă alei într-un parc, unde dreptele $AB$ și $BC$ sunt perpendiculare. Ana și Dan ocupă inițial pozițiile $A$, respectiv $D$, unde $D$ este mijlocul segmentului $AC$. Din pozițiile inițiale, Ana ajunge în punctul $B$ și Dan parcurge segmentul $DE$, unde $DE\parallel AB$, ajungând în punctul $E$. Raportul dintre distanța parcursă de Dan și cea parcursă de Ana este egal cu:

[Figura: Triunghiul dreptunghic ABC cu unghiul drept în B, punctul D mijlocul ipotenuzei AC și segmentul DE paralel cu AB, cu E pe BC]

a) $\frac{1}{4}$
b) $\frac{1}{3}$
c) $\frac{1}{2}$
d) $\frac{2}{3}$

---

5p 4. Figura alăturată reprezintă schița unei grădini în formă de pătrat $ABCD$ cu latura $AB=10\text{ cm}$. Pe suprafața corespunzătoare triunghiului echilateral $AEB$ sunt plantate begonii, pe suprafața corespunzătoare triunghiului $DEC$ sunt plantate crizanteme, iar pe suprafețele corespunzătoare triunghiurilor $AED$ și $BEC$ sunt plantate panseluțe, $E$ fiind un punct din interiorul pătratului $ABCD$. Aria suprafeței totale cultivate cu panseluțe este:

[Figura: Pătratul ABCD cu un punct E în interior unit cu toate cele patru vârfuri A, B, C, D]

a) mai mare decât suma ariilor suprafețelor cultivate cu begonii și cu crizanteme
b) mai mică decât suma ariilor suprafețelor cultivate cu begonii și cu crizanteme
c) egală cu suma ariilor suprafețelor cultivate cu begonii și cu crizanteme
d) egală cu o treime din aria suprafeței întregii grădini

---

5p 5. Diametrul unui cerc cu lungimea de $10\pi \text{ cm}$ este egal cu:

a) $5\text{ cm}$
b) $10\text{ cm}$
c) $20\text{ cm}$
d) $25\text{ cm}$

---

5p 6. În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cu lungimea segmentului $B{C}^{\prime }$ egală cu $4\sqrt{2}\text{ cm}$. Aria totală a cubului $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este egală cu:

[Figura: Cubul ABCDA'B'C'D' cu diagonala feței BC' trasată]

a) $16{\text{ cm}}^2$
b) $64{\text{ cm}}^2$
c) $96{\text{ cm}}^2$
d) $192{\text{ cm}}^2$

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrieți rezolvările complete. (30 de puncte)

---

5p 1. O florărie are la vânzare lalele și trandafiri, dar prețurile acestora nu sunt afișate. Anastasia întreabă vânzătorul despre prețuri. Acesta îi propune să afle singură prețurile care o interesează, spunându-i că cinci fire de lalele și patru fire de trandafiri costă împreună $43$ de lei, iar două fire de lalele și trei fire de trandafiri costă împreună $27$ de lei.

(2p) a) Anastasia face afirmația următoare: „Prețul unui fir de trandafir este de $10$ lei.”. Este această afirmație adevărată? Justifică răspunsul dat.

(3p) b) Determină prețul unui fir de trandafir pe care îl are spre vânzare florăria.

---

5p 2. Se consideră expresia $E(x)=(1+2\sqrt{3}x)(2\sqrt{3}x-1)-2(2x+1{)}^2-(4x+1)(x-3)+1-x$, unde $x$ este număr real.

(3p) a) Arată că $E(x)=2x+1$, pentru orice număr real $x$.

(3p) b) Determină numerele naturale $a$ pentru care $E(a)\le 3\sqrt{5}$.

---

5p 3. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3}{2}x+2$.

(2p) a) Arată că $f(-2)+f(2)=4$.

(3p) b) Se consideră punctele $A(-2,-1)$ și $B(2,5)$ care aparțin reprezentării geometrice a graficului funcției $f$. Determină coordonatele punctului $M(x,y)$ situat pe axa $Oy$ a sistemului de axe ortogonale $xOy$, astfel încât suma lungimilor segmentelor $MA$ și $MB$ să fie minimă.

---

5p 4. În figura alăturată este reprezentat un triunghi echilateral $ABC$ cu $AB=12\text{ cm}$ și punctul $D$ este situat pe dreapta $BC$ astfel încât $BC=2BD$ și punctul $B$ aparține segmentului $CD$. Semidreapta $BM$, $M\in AD$, este bisectoarea unghiului $ABD$ și $N$ este punctul de intersecție dintre $AB$ și paralela prin $M$ la $BC$.

[Figura: Triunghiul echilateral ABC cu latura BC prelungită dincolo de B până în D; segmentul AD intersectat de bisectoarea BM; paralela prin M la BC intersectează AB în N]

(2p) a) Arată că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $36\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$.

(3p) b) Demonstrează că triunghiurile $BMN$ și $ABC$ sunt asemenea.

---

5p 5. În figura alăturată este reprezentat un triunghi $DBC$ cu $BC=BD=6\text{ cm}$ și $DC=6\sqrt{3}\text{ cm}$. Punctul $A$ este situat pe latura $DC$ astfel încât $AC=4\sqrt{3}\text{ cm}$.

[Figura: Triunghiul isoscel DBC cu baza DC și vârful B; punctul A situat pe latura DC]

(2p) a) Arată că măsura unghiului $C$ este egală cu $30^{\circ }$.

(3p) b) Demonstrează că triunghiul $ABD$ este isoscel.

---

5p 6. În figura alăturată este reprezentată o piramidă triunghiulară regulată $VABC$ cu baza triunghiul $ABC$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$, $AB=18\text{ cm}$ și $VA=9\sqrt{2}\text{ cm}$.

[Figura: Piramidă triunghiulară regulată VABC cu baza ABC, M mijlocul lui BC, apotema VM trasată]

(2p) a) Arată că măsura unghiului dintre dreapta $VM$ și dreapta $AC$ este egală cu $60^{\circ }$.

(3p) b) Determină distanța de la punctul $M$ la planul $(VAC)$.