Evaluare Națională 2021, matematică: test de antrenament 2

Subiectul I, 1)

Divizorii naturali ai numărului $10$ sunt: $D_{10}=\{1,2,5,10\}$.
Suma divizorilor este:
$$1+2+5+10=18$$

Răspuns corect: d) (5p)

---

Subiectul I, 2)

Calculăm raportul dintre cheltuieli și venituri pentru fiecare an:

• Pentru 2017: $\frac{90000}{110000}=\frac{9}{11}$
• Pentru 2018: $\frac{150000}{250000}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}$
• Pentru 2019: $\frac{150000}{180000}=\frac{15}{18}=\frac{5}{6}$
• Pentru 2020: $\frac{190000}{200000}=\frac{19}{20}$

Raportul este egal cu $\frac{5}{6}$ în anul 2019.

Răspuns corect: c) (5p)

---

Subiectul I, 3)

Efectuăm operațiile în ordinea corectă:
$$5-(2\cdot 3-7)-6=5-(6-7)-6=5-(-1)-6=5+1-6=6-6=0$$

Răspuns corect: c) (5p)

---

Subiectul I, 4)

Calculăm $30\%$ din cantitatea totală de fructe ($2700\text{ kg}$):
$$\frac{30}{100}\cdot 2700=30\cdot 27=810\text{ kg}$$
Conform tabelului, cantitatea de $810\text{ kg}$ corespunde categoriei struguri.

Răspuns corect: d) (5p)

---

Subiectul I, 5)

Calculăm valoarea numărului $a$:
$$a=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$$
(sau $a=\sqrt{(10-8)(10+8)}=\sqrt{2\cdot 18}=\sqrt{36}=6$)

Răspuns corect: c) (5p)

---

Subiectul I, 6)

O viteză de $40\text{ km/h}$ înseamnă că biciclistul parcurge $40\text{ km}$ într-o oră ($60\text{ de minute}$).
Alexandru afirmă că biciclistul a parcurs $60\text{ km}$ în $60\text{ de minute}$, ceea ce ar însemna o viteză de $60\text{ km/h}\ne 40\text{ km/h}$.
Prin urmare, afirmația lui Alexandru este falsă.

Răspuns corect: b) (5p)

---

Subiectul al II-lea, 1)

Punctele se află pe o dreaptă în ordinea $A,B,C,D$.
Calculăm lungimile segmentelor:

• $AB=1\text{ cm}$
• $BC=2\text{ cm}$
• $CD=3\text{ cm}$
• $AC=AB+BC=1+2=3\text{ cm}$
• $BD=BC+CD=2+3=5\text{ cm}$
• $AD=AB+BC+CD=1+2+3=6\text{ cm}$

Observăm că $AC=3\text{ cm}$ și $CD=3\text{ cm}$, așadar $AC=CD$, iar punctul $C$ se află pe segmentul $AD$. Rezultă că punctul $C$ este mijlocul segmentului $AD$.

Răspuns corect: c) (5p)

---

Subiectul al II-lea, 2)

Două unghiuri suplementare au suma măsurilor egală cu $180^{\circ }$.
Dacă măsura unghiului ascuțit este de $70^{\circ }$, măsura celuilalt unghi este:
$$180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$$

Răspuns corect: d) (5p)

---

Subiectul al II-lea, 3)

În triunghiul dreptunghic $ABC$ ($\sphericalangle BAC=90^{\circ }$), $AM\equiv MC$, deci triunghiul $AMC$ este isoscel de bază $AC$.
Rezultă că $\sphericalangle MCA=\sphericalangle MAC=30^{\circ }$.
În triunghiul dreptunghic $ABC$, unghiul $\sphericalangle ABC=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$.
Deoarece $\sphericalangle BAM=\sphericalangle BAC-\sphericalangle MAC=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$, triunghiul $ABM$ are două unghiuri de $60^{\circ }$, deci este triunghi echilateral.
Rezultă $AM=BM=6\text{ m}$, deci și $MC=6\text{ m}$.
Fie $MN\perp AC$, cu $N\in AC$, reprezentând aleea. În triunghiul dreptunghic $MNC$ (cu $\sphericalangle MNC=90^{\circ }$ și $\sphericalangle MCN=30^{\circ }$), cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ este jumătate din ipotenuză:
$$MN=\frac{MC}{2}=\frac{6}{2}=3\text{ m}$$

Răspuns corect: b) (5p)

---

Subiectul al II-lea, 4)

Aria trapezului $ABCD$ este:
$${\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{(AB+CD)\cdot AD}{2}=\frac{(120+40)\cdot 60}{2}=\frac{160\cdot 60}{2}=4800{\text{ m}}^2$$
Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AD$, deci $AM=MD=\frac{60}{2}=30\text{ m}$.
Aria parcelei cu lalele (triunghiul dreptunghic $ABM$):
$${\mathcal{A}}_{ABM}=\frac{AB\cdot AM}{2}=\frac{120\cdot 30}{2}=1800{\text{ m}}^2$$
Aria parcelei cu narcise (triunghiul dreptunghic $CMD$):
$${\mathcal{A}}_{CMD}=\frac{CD\cdot MD}{2}=\frac{40\cdot 30}{2}=600{\text{ m}}^2$$
Aria parcelei cu zambile (triunghiul $BMC$) este diferența dintre aria trapezului și sumele ariilor celorlalte două triunghiuri:
$${\mathcal{A}}_{BMC}={\mathcal{A}}_{ABCD}-{\mathcal{A}}_{ABM}-{\mathcal{A}}_{CMD}=4800-1800-600=2400{\text{ m}}^2$$

Răspuns corect: c) (5p)

---

Subiectul al II-lea, 5)

Cercul are raza $R=6\text{ cm}$, deci diametrul său este $2R=12\text{ cm}$.
Latura $BC$ are lungimea de $12\text{ cm}$, egală cu lungimea diametrului cercului circumscris.
Un triunghi înscris într-un cerc care are o latură ca diametru este dreptunghic, iar unghiul opus diametrului este unghi drept:
$$\sphericalangle BAC=90^{\circ }$$

Răspuns corect: c) (5p)

---

Subiectul al II-lea, 6)

Fie dimensiunile paralelipipedului dreptunghic $a=2\text{ m}$, $b=0,5\text{ m}$ și $c$ a treia dimensiune (înălțimea).
Paralelipipedul are 12 muchii, câte 4 de fiecare dimensiune:
Suma muchiilor $=4(a+b+c)=14\text{ m}$.
$$a+b+c=\frac{14}{4}=3,5\text{ m}$$
$$2+0,5+c=3,5⟹2,5+c=3,5⟹c=1\text{ m}$$
Volumul dulapului este:
$$V=a\cdot b\cdot c=2\cdot 0,5\cdot 1=1{\text{ m}}^3$$

Răspuns corect: a) (5p)

---

Subiectul al III-lea, 1)

a) Dacă ar fi $31$ de apartamente cu trei camere, numărul de camere doar din aceste apartamente ar fi:
$$31\cdot 3=93\text{ camere}$$ (1p)
Cum numărul total de camere din bloc este $90$, iar $93>90$, deducem că nu este posibil ca în bloc să fie $31$ de apartamente cu trei camere. (1p)

b) Notăm cu $x$ numărul apartamentelor cu trei camere și cu $y$ numărul apartamentelor cu două camere.
Avem sistemul de ecuații:
$$\{\begin{array}{l}x+y=40\\ 3x+2y=90\end{array}$$ (1p)
Din prima ecuație obținem $y=40-x$. Înlocuind în a doua ecuație:
$$3x+2(40-x)=90$$
$$3x+80-2x=90$$
$$x=90-80⟹x=10$$ apartamente cu trei camere. (2p)

---

Subiectul al III-lea, 2)

a) Dezvoltăm expresia:
$$(x+3{)}^2=x^2+6x+9$$
$$-2(x^2+3x)=-2x^2-6x$$
$$(x+1{)}^2=x^2+2x+1$$
Adunând termenii obținem:
$$E(x)=x^2+6x+9-2x^2-6x+x^2+2x+1$$ (1p)
$$E(x)=(x^2-2x^2+x^2)+(6x-6x+2x)+(9+1)=2x+10$$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$. (1p)

b) Calculăm $E(a-2)$ folosind forma restrânsă a expresiei:
$$E(a-2)=2(a-2)+10=2a-4+10=2a+6$$ (1p)
Ecuația devine:
$$E(a-2)+a=0⟺2a+6+a=0⟺3a+6=0$$
$$3a=-6⟹a=-2\in \mathbb{Z}$$ (2p)

---

Subiectul al III-lea, 3)

a) Simplificăm radicalii din expresia lui $a$:

• $\sqrt{175}=\sqrt{25\cdot 7}=5\sqrt{7}$
• $\sqrt{98}=\sqrt{49\cdot 2}=7\sqrt{2}$
• $\sqrt{63}=\sqrt{9\cdot 7}=3\sqrt{7}$
• $3\sqrt{50}=3\sqrt{25\cdot 2}=3\cdot 5\sqrt{2}=15\sqrt{2}$

Calculăm valoarea lui $a$:
$$a=5\sqrt{7}-7\sqrt{2}-3\sqrt{7}+15\sqrt{2}=(5\sqrt{7}-3\sqrt{7})+(-7\sqrt{2}+15\sqrt{2})=2\sqrt{7}+8\sqrt{2}$$ (2p)

b) Simplificăm radicalii din expresia lui $b$:

• $\sqrt{28}=\sqrt{4\cdot 7}=2\sqrt{7}$
• $\sqrt{112}=\sqrt{16\cdot 7}=4\sqrt{7}$
• $\sqrt{162}=\sqrt{81\cdot 2}=9\sqrt{2}$
• $\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$

Obținem:
$$b=2\sqrt{7}-4\sqrt{7}+9\sqrt{2}+\sqrt{2}-2\sqrt{2}=-2\sqrt{7}+8\sqrt{2}=8\sqrt{2}-2\sqrt{7}$$ (2p)

Media geometrică a numerelor $a$ și $b$ este $m_g=\sqrt{a\cdot b}$.
Calculăm produsul $a\cdot b$ aplicând formula diferenței de pătrate $(u+v)(u-v)=u^2-v^2$:
$$a\cdot b=(8\sqrt{2}+2\sqrt{7})(8\sqrt{2}-2\sqrt{7})=(8\sqrt{2}{)}^2-(2\sqrt{7}{)}^2=(64\cdot 2)-(4\cdot 7)=128-28=100$$
Atunci:
$$m_g=\sqrt{100}=10$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 4)

a) În triunghiul $ADC$, dreptunghic în $D$ (deoarece $AD\perp CD$ în trapezul dreptunghic), aplicăm teorema lui Pitagora:
$$A{C}^2=A{D}^2+C{D}^2=40^2+30^2=1600+900=2500⟹AC=50\text{ cm}$$ (1p)
Perimetrul triunghiului $ADC$ este:
$${\mathcal{P}}_{△ADC}=AD+CD+AC=40+30+50=120\text{ cm}$$ (1p)

b) În triunghiul dreptunghic $ADC$, $DO$ este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei $AC$ ($AC\perp BD$, deci $DO\perp AC$):
$$DO=\frac{AD\cdot CD}{AC}=\frac{40\cdot 30}{50}=24\text{ cm}$$
În triunghiul $ADB$, dreptunghic în $A$ (deoarece $\sphericalangle DAB=90^{\circ }$), $AO\perp BD$.
Conform teoremei catetei în $△ADB$:
$$A{D}^2=DO\cdot DB⟹40^2=24\cdot DB⟹DB=\frac{1600}{24}=\frac{200}{3}\text{ cm}$$ (2p)
Aria trapezului cu diagonalele perpendiculare este egală cu semiprodusul diagonalelor (sau suma ariilor triunghiurilor $ABD$ și $BCD$):
$${\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{AC\cdot BD}{2}=\frac{50\cdot \frac{200}{3}}{2}=\frac{10000}{6}=\frac{5000}{3}{\text{ cm}}^2$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 5)

a) În triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, $\sphericalangle ABC=30^{\circ }$, deci $\sphericalangle ACB=60^{\circ }$.
În triunghiul dreptunghic $ABD$ (cu $\sphericalangle ADB=90^{\circ }$):
$\sphericalangle BAD=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$.
Cum $AD\parallel BE$ și $AC$ este secantă, unghiurile corespondente sunt congruente: $\sphericalangle AEB=\sphericalangle DAC=90^{\circ }-\sphericalangle C=30^{\circ }$.
Sau, din $\sphericalangle BAD=60^{\circ }$ și $AD\parallel BE$, unghiurile alterne interne dau $\sphericalangle ABE=\sphericalangle BAD=60^{\circ }$.
În triunghiul dreptunghic $ABD$, $\sin (\sphericalangle ABD)=\frac{AD}{AB}⟹\sin 30^{\circ }=\frac{2\sqrt{3}}{AB}⟹\frac{1}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{AB}⟹AB=4\sqrt{3}\text{ cm}$. (1p)
În triunghiul $ABE$, dreptunghic în $A$ (deoarece $CA\perp AB$, deci $EA\perp AB$), unghiul $\sphericalangle AEB=30^{\circ }$:
$$\sin (\sphericalangle AEB)=\frac{AB}{EB}⟹\sin 30^{\circ }=\frac{4\sqrt{3}}{EB}⟹\frac{1}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{EB}⟹EB=8\sqrt{3}\text{ cm}$$ (1p)

b) În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, avem $\cos (\sphericalangle ABC)=\frac{AB}{BC}$:
$$\cos 30^{\circ }=\frac{4\sqrt{3}}{BC}⟹\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{BC}⟹BC=8\text{ cm}$$ (1p)
Deoarece $AD\perp BC$ și $BE\parallel AD$, rezultă $BE\perp BC$, deci triunghiul $EBC$ este dreptunghic în $B$.
Conform teoremei lui Pitagora în $△EBC$:
$$E{C}^2=E{B}^2+B{C}^2=(8\sqrt{3}{)}^2+8^2=192+64=256⟹EC=16\text{ cm}$$
Perimetrul triunghiului $BCE$ este:
$${\mathcal{P}}_{△BCE}=BE+BC+EC=8\sqrt{3}+8+16=(8\sqrt{3}+24)\text{ cm}$$
Trebuie să arătăm că $8\sqrt{3}+24<38$, ceea ce este echivalent cu:
$$8\sqrt{3}<14⟺\sqrt{8^2\cdot 3}<14⟺\sqrt{192}<\sqrt{196}$$
Inegalitatea $\sqrt{192}<\sqrt{196}$ este adevărată deoarece $192<196$.
Așadar, perimetrul triunghiului $BCE$ este mai mic decât $38\text{ cm}$. (2p)

---

Subiectul al III-lea, 6)

a) Deoarece $VO\perp (ABC)$ și $AC\subset (ABC)$, rezultă că $VO\perp AC$, deci triunghiul $VOA$ este dreptunghic în $O$. (1p)
Aplicăm teorema lui Pitagora în $△VOA$:
$$A{O}^2=V{A}^2-V{O}^2=(4\sqrt{11}{)}^2-12^2=(16\cdot 11)-144=176-144=32$$
$$AO=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\text{ cm}$$
Cum $O$ este mijlocul diagonalei $AC$, avem:
$$AC=2\cdot AO=2\cdot 4\sqrt{2}=8\sqrt{2}\text{ cm}$$ (1p)

b) Pătratul $ABCD$ are diagonala $AC=8\sqrt{2}\text{ cm}$.
Latura pătratului este $AB=\frac{AC}{\sqrt{2}}=8\text{ cm}$.
Fie $N$ mijlocul laturii $BC$.
În triunghiul dreptunghic isoscel $BOC$, $ON\perp BC$ și $ON=\frac{AB}{2}=\frac{8}{2}=4\text{ cm}$.
Cum triunghiurile dreptunghice $MOB$ și $MOC$ sunt congruente ($MO$ comună, $OB\equiv OC$), avem $MB\equiv MC$, deci triunghiul $MBC$ este isoscel de bază $BC$.
$N$ fiind mijlocul lui $BC$, deducem că $MN\perp BC$.
Avem:

• $(ABC)\cap (MBC)=BC$
• $ON\perp BC$, $ON\subset (ABC)$
• $MN\perp BC$, $MN\subset (MBC)$
  Rezultă că unghiul format de planele $(ABC)$ și $(MBC)$ este $\sphericalangle (ON,MN)=\sphericalangle ONM$. (2p)

În triunghiul dreptunghic $MON$ (deoarece $VO\perp (ABC)⟹MO\perp ON$):
$$VM=\frac{2}{3}VO=\frac{2}{3}\cdot 12=8\text{ cm}⟹MO=VO-VM=12-8=4\text{ cm}$$
Avem $MO=4\text{ cm}$ și $ON=4\text{ cm}$, deci catetele sunt egale ($MO=ON$).
Rezultă că triunghiul dreptunghic $MON$ este isoscel, deci:
$$\sphericalangle ONM=45^{\circ }$$
Așadar, măsura unghiului determinat de planele $(ABC)$ și $(MBC)$ este de $45^{\circ }$. (1p)

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

1. (5p) Suma divizorilor naturali ai lui $10$ este numărul:
a) $7$
b) $8$
c) $10$
d) $18$

2. (5p) În tabelul următor este prezentată situația cheltuielilor și a veniturilor unei societăți comerciale.

Anul	Cheltuieli (lei)	Venituri (lei)
2017	90000	110000
2018	150000	250000
2019	150000	180000
2020	190000	200000

Raportul dintre cheltuielile și veniturile înregistrate de către societatea comercială este egal cu $\frac{5}{6}$ în anul:
a) 2017
b) 2018
c) 2019
d) 2020

3. (5p) Rezultatul calculului $5-(2\cdot 3-7)-6$ este numărul:
a) $-4$
b) $-2$
c) $0$
d) $1$

4. (5p) Într-un depozit sunt $2700\text{ kg}$ de fructe: mere, pere, gutui și struguri, după cum este prezentat în tabelul următor:

| mere | 900 kg |
| pere | 500 kg |
| gutui | 490 kg |
| struguri | 810 kg |

Dintre fructele de mai sus, categoria care reprezintă $30\%$ din cantitatea de fructe din acest depozit este:
a) mere
b) pere
c) gutui
d) struguri

5. (5p) Dacă $a=\sqrt{10^2-8^2}$, atunci $a$ este egal cu:
a) $2$
b) $4$
c) $6$
d) $36$

6. (5p) Un biciclist se deplasează cu viteza de $40\text{ km}$ pe oră. Alexandru afirmă că biciclistul, păstrând viteza de deplasare, a parcurs $60\text{ km}$ în $60\text{ de minute}$. Afirmația lui Alexandru este:
a) adevărată
b) falsă

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

1. (5p) În figura alăturată sunt reprezentate punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ astfel încât $AB=1\text{cm}$, $BC=2\text{cm}$ și $CD=3\text{cm}$. Dintre aceste puncte, cel care reprezintă mijlocul unui segment din figură, este punctul:

[Figura: Punctele coliniare $A,B,C,D$ situate pe o dreaptă în această ordine]

a) $A$
b) $B$
c) $C$
d) $D$

2. (5p) În figura alăturată sunt reprezentate două unghiuri adiacente suplementare astfel încât măsura unghiului ascuțit să fie $70^{\circ }$. Care dintre următoarele valori reprezintă măsura celuilalt unghi?

[Figura: Două unghiuri adiacente suplementare, $\sphericalangle ABD$ ascuțit și $\sphericalangle DBC$ obtuz, cu punctele $A,B,C$ coliniare]

a) $20^{\circ }$
b) $35^{\circ }$
c) $70^{\circ }$
d) $110^{\circ }$

3. (5p) În grădina casei Teodorei există patru tufe de trandafiri poziționate pe figura alăturată în punctele $A,B,C$ și $M$. Măsura unghiului $BAC$ este de $90^{\circ }$, punctul $M$ aparține lui $BC$, $AM\equiv MC$, $\sphericalangle MAC=30^{\circ }$ și $BM=6\text{m}$. Teodora vrea să amenajeze o alee din punctul $M$ care să fie perpendiculară pe latura $AC$ a grădinii. Aleea amenajată de Teodora de la punctul $M$ la latura $AC$ are o lungime egală cu:

[Figura: Triunghiul dreptunghic $ABC$ cu unghiul drept în $A$, punctul $M$ pe ipotenuza $BC$, segmentul $AM$ trasat]

a) $2\text{m}$
b) $3\text{m}$
c) $4\text{m}$
d) $6\text{m}$

4. (5p) Figura alăturată reprezintă schița unui teren în formă de trapez dreptunghic $ABCD$ cu baza mare $AB=120\text{m}$, baza mică $CD=40\text{m}$ și înălțimea $AD=60\text{m}$. Terenul este împărțit în trei parcele pe care s-au plantat lalele, zambile și narcise. Cele trei parcele sunt $ABM$, $BMC$ și $CMD$, unde $M$ este mijlocul segmentului $AD$. Precizăm că lalelele s-au plantat pe suprafața triunghiului $ABM$, zambilele pe suprafața triunghiului $BMC$, iar narcisele pe suprafața triunghiului $CMD$.
Aria suprafeței pe care s-au plantat zambilele este:

[Figura: Trapez dreptunghic $ABCD$ cu $AD\perp AB$, $M$ mijlocul lui $AD$, segmentele $MB$ și $MC$ delimitează parcelele]

a) $600{\text{ m}}^2$
b) $1800{\text{ m}}^2$
c) $2400{\text{ m}}^2$
d) $4800{\text{ m}}^2$

5. (5p) Triunghiul $ABC$ este înscris în cercul de centru $O$ și rază $6\text{cm}$. Știind că latura $BC$ a triunghiului $ABC$ are $12\text{cm}$, atunci măsura unghiului $BAC$ este:
a) $30^{\circ }$
b) $60^{\circ }$
c) $90^{\circ }$
d) $150^{\circ }$

6. (5p) O față a unui dulap în formă de paralelipiped dreptunghic are dimensiunile de $2\text{m}$ și $0,5\text{m}$. Suma lungimilor tuturor muchiilor paralelipipedului este de $14\text{m}$. Volumul dulapului este egal cu:
a) $1{\text{ m}}^3$
b) $4{\text{ m}}^3$
c) $14{\text{ m}}^3$
d) $16,5{\text{ m}}^3$

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrieți rezolvările complete. (30 de puncte)

1. Într-un bloc sunt $40$ de apartamente cu câte două respectiv trei camere. În aceste apartamente sunt în total $90$ de camere.

• (2p) a) Este posibil ca în bloc să fie $31$ apartamente cu trei camere? Justifică răspunsul dat.
• (3p) b) Determină câte apartamente cu trei camere sunt în acest bloc.

2. Se consideră expresia $E(x)=(x+3{)}^2-2(x^2+3x)+(x+1{)}^2$, unde $x$ este număr real.

• (2p) a) Arată că $E(x)=2x+10$, pentru orice $x$ număr real.
• (3p) b) Determină numărul întreg $a$ pentru care $E(a-2)+a=0$.

3. Fie numerele $a=\sqrt{175}-\sqrt{98}-\sqrt{63}+3\sqrt{50}$ și $b=\sqrt{28}-\sqrt{112}+\sqrt{162}+\sqrt{2}-\sqrt{8}$.

• (2p) a) Arată că $a=2\sqrt{7}+8\sqrt{2}$.
• (3p) b) Calculează media geometrică a numerelor $a$ și $b$.

4. În figura alăturată este reprezentat un trapez dreptunghic $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $\sphericalangle DAB=90^{\circ }$, $AD=40\text{cm}$ și $CD=30\text{cm}$. Diagonalele trapezului sunt perpendiculare și $O$ este punctul lor de intersecție.

[Figura: Trapezul dreptunghic $ABCD$ cu diagonalele $AC$ și $BD$ perpendiculare în punctul $O$]

• (2p) a) Arată că perimetrul triunghiului $ADC$ este egal cu $120\text{cm}$.
• (3p) b) Calculează aria trapezului $ABCD$.

5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, $\sphericalangle ABC=30^{\circ }$. Perpendiculara din $A$ pe $BC$ intersectează dreapta $BC$ în punctul $D$, $AD=2\sqrt{3}\text{cm}$. Paralela prin $B$ la $AD$ intersectează dreapta $AC$ în punctul $E$.

[Figura: Triunghiul dreptunghic $ABC$, cu $AD\perp BC$, $D\in BC$, și paralela prin $B$ la $AD$ intersectează dreapta $AC$ în punctul $E$]

• (2p) a) Demonstrează că $BE=8\sqrt{3}\text{cm}$.
• (3p) b) Demonstrează că perimetrul triunghiului $BCE$ este mai mic decât $38\text{cm}$.

6. În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră $VABCD$ cu baza pătratul $ABCD$ și $VA=4\sqrt{11}\text{cm}$. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, dreapta $VO$ este perpendiculară pe planul $(ABC)$, $VO=12\text{cm}$ și punctul $M$ este situat pe segmentul $VO$ astfel încât $\frac{VM}{VO}=\frac{2}{3}$.

[Figura: Piramidă patrulateră regulată $VABCD$, cu $VO\perp (ABC)$, $O$ centrul bazei, și punctul $M$ situat pe segmentul $VO$]

• (2p) a) Arată că lungimea segmentului $AC$ este egală cu $8\sqrt{2}\text{cm}$.
• (3p) b) Calculează măsura unghiului determinat de planele $(ABC)$ și $(MBC)$.