Evaluare Națională 2021, matematică: test de antrenament 3

Subiectul I, 1)

Răspuns corect: a)

Un număr este divizibil cu $6$ dacă se împarte exact la $6$.
Verificăm numerele date:

• $12:6=2$ (rest $0$), deci $12$ este divizibil cu $6$.
• $13$, $14$ și $15$ nu sunt multipli ai lui $6$.

---

Subiectul I, 2)

Răspuns corect: a)

Avem proporția $\frac{a}{4}=\frac{5}{b}$. Produsul mezilor este egal cu produsul extremilor:
$$a\cdot b=4\cdot 5=20$$

---

Subiectul I, 3)

Răspuns corect: d)

Calculăm diferența dintre temperatura înregistrată marți și cea înregistrată luni:
$$3^{\circ }\text{C}-(-3^{\circ }\text{C})=3^{\circ }\text{C}+3^{\circ }\text{C}=6^{\circ }\text{C}$$

---

Subiectul I, 4)

Răspuns corect: d)

Putem compara fracțiile aducându-le la un numitor comun sau observând diferența până la întreg:
$$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2},1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3},1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4},1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$$
Cea mai mică diferență până la $1$ este $\frac{1}{5}$, așadar fracția $\frac{4}{5}$ este cea mai apropiată de $1$, deci este cea mai mare fracție.
Alternativ, în formă zecimală:
$$\frac{1}{2}=0,5;\frac{2}{3}\approx 0,66;\frac{3}{4}=0,75;\frac{4}{5}=0,8$$
Cel mai mare număr este $\frac{4}{5}$.

---

Subiectul I, 5)

Răspuns corect: b)

Calculăm produsul numerelor:
$$(-4\sqrt{2})\cdot (8\sqrt{2})=-4\cdot 8\cdot (\sqrt{2}{)}^2=-32\cdot 2=-64$$
Rezultatul $-64$ a fost obținut de Patrick.

---

Subiectul I, 6)

Răspuns corect: b)

Intersecția intervalelor $A=(-1,5)$ și $B=[2,9]$ este:
$$A\cap B=[2,5)$$
Dintre numerele date ca variante:

• $-1\notin [2,5)$
• $2\in [2,5)$
• $5\notin [2,5)$ (intervalul este deschis în $5$)
• $9\notin [2,5)$

Așadar, numărul care aparține mulțimii $A\cap B$ este $2$.

---

Subiectul al II-lea, 1)

Răspuns corect: a)

Punctele $A(1,1)$ și $B(1,3)$ au aceeași abscisă ($x=1$), deci segmentul $AB$ este vertical (paralel cu axa $Oy$).
Mijlocul segmentului $AB$ este punctul $M\left(1,\frac{1+3}{2}\right)=M(1,2)$.
Mediatoarea segmentului $AB$ este dreapta perpendiculară pe $AB$ dusă prin mijlocul său $M$, fiind așadar o dreaptă orizontală (paralelă cu axa $Ox$) de ecuație $y=2$.
Intersecția acestei drepte cu axa $Oy$ are abscisa $x=0$, deci coordonatele punctului sunt $(0,2)$.

---

Subiectul al II-lea, 2)

Răspuns corect: a)

Unghiurile $AOB$ și $COD$ sunt opuse la vârf, ceea ce înseamnă că punctele $A,O,B$ sunt coliniare și $C,O,D$ sunt coliniare (dreptele $AB$ și $CD$ sunt concurente în $O$).
Unghiurile $AOC$ și $BOD$ sunt, de asemenea, opuse la vârf, deci au măsuri egale. Bisectoarele a două unghiuri opuse la vârf sunt semidrepte opuse, ceea ce înseamnă că formează un unghi alungit, cu măsura de $180^{\circ }$.

---

Subiectul al II-lea, 3)

Răspuns corect: c)

Fie triunghiul dreptunghic în $A$, cu ipotenuza $BC=12\text{ cm}$.
Fie $M$ mijlocul ipotenuzei $BC$. În triunghiul dreptunghic, lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei:
$$AM=\frac{BC}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ cm}$$
Punctul $G$ fiind centrul de greutate al triunghiului, se află pe mediana $AM$ la două treimi de vârf:
$$AG=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}\cdot 6=4\text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 4)

Răspuns corect: d)

În pătratul $ABCD$, diagonala $BD$ este și bisectoarea unghiului $\sphericalangle ADC$, deci $\sphericalangle BDC=45^{\circ }$.
Cum $D,C,M$ sunt coliniare, în triunghiul dreptunghic $DBM$ (cu $\sphericalangle DBM=90^{\circ }$), unghiul $\sphericalangle BDM=45^{\circ }$, ceea ce înseamnă că triunghiul $DBM$ este dreptunghic isoscel, cu $BM=BD$ și $\sphericalangle BMD=45^{\circ }$.
Diagonala pătratului are lungimea:
$$BD=AB\sqrt{2}=6\sqrt{2}\text{ cm}$$
Ipotenuza $DM$ a triunghiului dreptunghic isoscel $DBM$ este:
$$DM=BD\sqrt{2}=6\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=12\text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 5)

Răspuns corect: a)

Arcul mic $BD$ are măsura de $60^{\circ }$. Unghiul la centru corespunzător este $\sphericalangle BOD=60^{\circ }$.
Unghiurile $\sphericalangle AOC$ și $\sphericalangle BOD$ sunt opuse la vârf, deci $\sphericalangle AOC=60^{\circ }$, ceea ce înseamnă că măsura arcului mic $AC$ este de $60^{\circ }$.
Unghiul $\sphericalangle CDA$ este un unghi înscris în cerc care subîntinde arcul mic $AC$.
Măsura unui unghi înscris în cerc este egală cu jumătate din măsura arcului subîntins:
$$\sphericalangle CDA=\frac{\widehat{AC}}{2}=\frac{60^{\circ }}{2}=30^{\circ }$$

---

Subiectul al II-lea, 6)

Răspuns corect: d)

Baza cubului este un pătrat cu diagonala $EG=l\sqrt{2}$, unde $l$ este muchia cubului.
Avem $l\sqrt{2}=4\sqrt{2}\text{ cm}⟹l=4\text{ cm}$.
Aria totală a cubului este egală cu suma ariilor celor $6$ fețe pătratice:
$${\mathcal{A}}_{\text{totala˘}}=6\cdot l^2=6\cdot 4^2=6\cdot 16=96{\text{ cm}}^2$$

---

Subiectul al III-lea, 1)

a)
În a doua zi, Dina cheltuiește $\frac{1}{3}$ din rest, adică $12$ lei.
Suma de bani rămasă după cele două zile reprezintă restul minus ce a cheltuit în a doua zi, adică:
$$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\text{ din rest}\text{(1p)}$$
Deoarece $\frac{1}{3}$ din rest reprezintă $12$ lei, rezultă că suma rămasă este:
$$2\cdot 12=24\text{ lei}\text{(1p)}$$

b)
Restul după prima zi a fost:
$$R=3\cdot 12=36\text{ lei}$$
Fie $x$ suma inițială de bani pe care o are Dina.
În prima zi a cheltuit $\frac{3}{4}$ din sumă, deci restul reprezintă:
$$x-\frac{3}{4}x=36⟺\frac{1}{4}x=36⟺x=\frac{3}{4}x+36\text{(2p)}$$
$$x=36\cdot 4=144\text{ lei}\text{(1p)}$$

---

Subiectul al III-lea, 2)

a)
Efectuăm înmulțirea parantezelor folosind distributivitatea:
$$(x+1)(x-2)=x\cdot x-2\cdot x+1\cdot x-1\cdot 2=x^2-2x+x-2\text{(1p)}$$
$$=x^2-x-2,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(1p)}$$

b)
Dezvoltăm expresiile ridicate la pătrat și folosim rezultatul de la punctul a):
$$(3x-1{)}^2=9x^2-6x+1$$
$$(x+3{)}^2=x^2+6x+9$$
Înlocuim în expresia $E(x)$:
$$E(x)=(9x^2-6x+1)-7(x^2-x-2)-(x^2+6x+9)\text{(1p)}$$
$$E(x)=9x^2-6x+1-7x^2+7x+14-x^2-6x-9$$
Reducem termenii asemenea:
$$E(x)=(9-7-1)x^2+(-6+7-6)x+(1+14-9)=x^2-5x+6$$
Descompunem trinomul în factori:
$$x^2-5x+6=x^2-2x-3x+6=x(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x-3)$$ pentru orice număr real $x$. $\text{(2p)}$

---

Subiectul al III-lea, 3)

a)
Scoatem factorii de sub radical:

• $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
• $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
• $\sqrt{108}=6\sqrt{3}$
• ${\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^{-1}=\sqrt{3}$

Înlocuim în paranteză:
$$x=\left(\frac{2}{2\sqrt{3}}+\frac{9}{3\sqrt{3}}+\frac{6}{6\sqrt{3}}\right)\cdot \sqrt{3}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{3}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\cdot \sqrt{3}\text{(1p)}$$
$$x=\frac{1+3+1}{\sqrt{3}}\cdot \sqrt{3}=\frac{5}{\sqrt{3}}\cdot \sqrt{3}=5\text{(1p)}$$

b)
Scriem numărul $y$ ca putere a bazei $5$:
$$(5^6{)}^3=5^{6\cdot 3}=5^{18}$$
$$25^3=(5^2{)}^3=5^{2\cdot 3}=5^6$$
$$125^8=(5^3{)}^8=5^{3\cdot 8}=5^{24}$$
Avem:
$$y=5^{18}\cdot 5^6:5^{24}=5^{18+6-24}=5^0=1\text{(2p)}$$
Calculăm produsul numerelor $x$ și $y$:
$$P=x\cdot y=5\cdot 1=5$$
Numărul $5$ este număr natural prim (are exact doi divizori: $1$ și $5$). $\text{(1p)}$

---

Subiectul al III-lea, 4)

a)
Toate cele $4$ laturi ale rombului au lungimi egale:
$${\mathcal{P}}_{ABCD}=4\cdot AB=4\cdot 18=72\text{ cm}\text{(2p)}$$

b)
În rombul $ABCD$, laturile sunt congruente, deci $AB=BC=18\text{ cm}$.
Deoarece $\sphericalangle ABC=60^{\circ }$ și $AB=BC$, triunghiul $ABC$ este echilateral. $\text{(1p)}$
Fie $O$ punctul de intersecție a diagonalelor ($AC\cap BD=\{O\}$).
Diagonalele rombului sunt perpendiculare, deci $BO\perp AC$, ceea ce înseamnă că $BO$ este înălțime în triunghiul echilateral $ABC$ de latură $18\text{ cm}$:
$$BO=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{18\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}\text{ cm}\text{(1p)}$$
Punctul $O$ este mijlocul diagonalei $BD$, prin urmare:
$$BD=2\cdot BO=2\cdot 9\sqrt{3}=18\sqrt{3}\text{ cm}\text{(1p)}$$

---

Subiectul al III-lea, 5)

a)
Aria dreptunghiului este produsul dintre lungime și lățime:
$${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot BC=10\sqrt{2}\cdot 20=200\sqrt{2}{\text{ cm}}^2\text{(2p)}$$

b)
$E$ este mijlocul laturii $BC$, deci $BE=\frac{BC}{2}=\frac{20}{2}=10\text{ cm}$.
În triunghiul dreptunghic $ABE$ (cu $\sphericalangle B=90^{\circ }$), aplicăm teorema lui Pitagora:
$$AE=\sqrt{A{B}^2+B{E}^2}=\sqrt{(10\sqrt{2}{)}^2+10^2}=\sqrt{200+100}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}\text{ cm}$$
În triunghiul dreptunghic $ABE$, $BF\perp AE$, din teorema catetei avem:
$$B{E}^2=EF\cdot AE⟹10^2=EF\cdot 10\sqrt{3}⟹EF=\frac{100}{10\sqrt{3}}=\frac{10}{\sqrt{3}}=\frac{10\sqrt{3}}{3}\text{ cm}$$
Deoarece $AE=10\sqrt{3}\text{ cm}$, observăm că $EF=\frac{1}{3}AE$, de unde rezultă că $AF=\frac{2}{3}AE$.
Cum $AE$ este mediană în triunghiul $ABC$ (deoarece $E$ este mijlocul lui $BC$), punctul $F$ este situat la $\frac{2}{3}$ de vârf pe mediană, deci $F$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$. $\text{(2p)}$
Fie $\{O\}=AC\cap BD$. În dreptunghiul $ABCD$, diagonalele se înjumătățesc, deci $O$ este mijlocul lui $AC$, ceea ce înseamnă că $BO$ este mediană în triunghiul $ABC$.
Centrul de greutate se află pe orice mediană, deci $F\in BO$.
Cum $O\in BD$, rezultă că punctele $B,F$ și $D$ sunt coliniare. $\text{(1p)}$

---

Subiectul al III-lea, 6)

a)
Punctul $M$ este mijlocul laturii $CD$, iar $CD\parallel AB$, așadar distanța de la punctul $M$ la dreapta $AB$ este egală cu lățimea dreptunghiului $ABCD$:
$$d(M,AB)=BC=6\text{ cm}\text{(1p)}$$
Aria triunghiului $AMB$ este:
$${\mathcal{A}}_{△AMB}=\frac{AB\cdot d(M,AB)}{2}=\frac{12\cdot 6}{2}=36{\text{ cm}}^2\text{(1p)}$$

b)
Deoarece $M$ este mijlocul muchiei $CD$ și $CD=AB=12\text{ cm}$, avem $DM=MC=6\text{ cm}$.
În triunghiul dreptunghic $ADM$ (dreptunghic în $D$, cu $AD=BC=6\text{ cm}$ și $DM=6\text{ cm}$):
$$AM=\sqrt{A{D}^2+D{M}^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}\text{ cm}$$
În triunghiul dreptunghic $BCM$ (dreptunghic în $C$, cu $BC=6\text{ cm}$ și MC = 6\text{ cm}$):
$$BM=\sqrt{B{C}^2+M{C}^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}\text{ cm}$$
Observăm că în triunghiul $AMB$:
$$A{M}^2+B{M}^2=(6\sqrt{2}{)}^2+(6\sqrt{2}{)}^2=72+72=144=12^2=A{B}^2$$
Conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul $AMB$ este dreptunghic în $M$, deci $BM\perp MA$.
Avem:

• $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$ și $MB\subset (ABC)⟹A{A}^{\prime }\perp MB$
• $MB\perp MA$ și $MB\perp A{A}^{\prime }$
• $MA,A{A}^{\prime }\subset (A^{\prime }AM)$ și $MA\cap A{A}^{\prime }=\{A\}$

Rezultă că $MB\perp (A^{\prime }AM)$. $\text{(2p)}$
Cum segmentul $A^{\prime }M\subset (A^{\prime }AM)$, rezultă că $MB\perp A^{\prime }M$, ceea ce înseamnă că distanța de la $A^{\prime }$ la dreapta $MB$ este chiar lungimea segmentului $A^{\prime }M$:
$$d(A^{\prime },MB)=A^{\prime }M$$
În triunghiul dreptunghic $A^{\prime }AM$ (dreptunghic în $A$, deoarece $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$ și $AM\subset (ABC)$):
$$A^{\prime }M=\sqrt{A{A}^{\prime 2}+A{M}^2}=\sqrt{(6\sqrt{2}{)}^2+(6\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{72+72}=\sqrt{144}=12\text{ cm}$$
Așadar, $d(A^{\prime },MB)=12\text{ cm}$. $\text{(1p)}$

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Dintre numerele $12$, $13$, $14$ și $15$, numărul divizibil cu $6$ este:

• a) $12$
• b) $13$
• c) $14$
• d) $15$

5p 2. Dacă $\frac{a}{4}=\frac{5}{b}$, $b\ne 0$, atunci valoarea produsului $a\cdot b$ este:

• a) $20$
• b) $9$
• c) $\frac{5}{4}$
• d) $\frac{4}{5}$

5p 3. Luni, temperatura înregistrată la ora $10$ la o stație meteo a fost de $-3^{\circ }\text{C}$, iar marți, la aceeași oră, au fost înregistrate $3^{\circ }\text{C}$. Temperatura înregistrată marți este mai mare decât temperatura înregistrată luni cu:

• a) $-3^{\circ }\text{C}$
• b) $0^{\circ }\text{C}$
• c) $3^{\circ }\text{C}$
• d) $6^{\circ }\text{C}$

5p 4. Dintre numerele $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{4}$ și $\frac{4}{5}$ cel mai mare este:

• a) $\frac{1}{2}$
• b) $\frac{2}{3}$
• c) $\frac{3}{4}$
• d) $\frac{4}{5}$

5p 5. Patru elevi, Lara, Patrick, Tudor și Sofia, au calculat produsul numerelor $-4\sqrt{2}$ și $8\sqrt{2}$. Rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Lara	Patrick	Tudor	Sofia
$-128$	$-64$	$64$	$128$

Dintre cei patru elevi, rezultatul corect a fost obținut de:

• a) Lara
• b) Patrick
• c) Tudor
• d) Sofia

5p 6. Se consideră intervalele $A=(-1,5)$ și $B=[2,9]$. Un număr care aparține mulțimii $A\cap B$ este:

• a) $-1$
• b) $2$
• c) $5$
• d) $9$

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Se consideră punctele $A(1,1)$ și $B(1,3)$, reprezentate într-un sistem de axe ortogonale $xOy$. Coordonatele punctului de intersecție a mediatoarei segmentului $AB$ cu axa $Oy$ sunt:

[Figura: Sistem de axe xOy în care sunt reprezentate punctele A(1,1) și B(1,3)]

• a) $(0,2)$
• b) $(2,0)$
• c) $(1,2)$
• d) $(2,1)$

5p 2. În figura alăturată, unghiurile $AOB$ și $COD$ sunt opuse la vârf. Măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor $AOC$ și $BOD$ este egală cu:

[Figura: Dreptele AB și CD concurente în O, formând unghiurile opuse la vârf AOB și COD]

• a) $180^{\circ }$
• b) $90^{\circ }$
• c) $89^{\circ }$
• d) $0^{\circ }$

5p 3. Se consideră triunghiul dreptunghic $ABC$ și punctul $G$, centrul de greutate al triunghiului. Dacă lungimea ipotenuzei $BC$ este de $12\text{ cm}$, atunci lungimea segmentului $AG$ este egală cu:

[Figura: Triunghiul dreptunghic ABC cu ipotenuza BC și centrul de greutate G]

• a) $2\text{ cm}$
• b) $3\text{ cm}$
• c) $4\text{ cm}$
• d) $6\text{ cm}$

5p 4. În figura alăturată este reprezentat un pătrat $ABCD$, cu $AB=6\text{ cm}$. Dacă dreptele $BD$ și $BM$ sunt perpendiculare și punctele $D$, $C$ și $M$ coliniare, atunci lungimea segmentului $DM$ este egal cu:

[Figura: Pătratul ABCD cu diagonala BD și punctul M pe prelungirea laturii DC astfel încât BM este perpendicular pe BD]

• a) $6\text{ cm}$
• b) $8\text{ cm}$
• c) $10\text{ cm}$
• d) $12\text{ cm}$

5p 5. În figura alăturată $AB$ și $CD$ sunt diametre în cercul de centru $O$, iar măsura arcului mic $BD$ este de $60^{\circ }$. Măsura unghiului $CDA$ este de:

[Figura: Cerc de centru O cu diametrele AB și CD și coarda AD]

• a) $30^{\circ }$
• b) $60^{\circ }$
• c) $90^{\circ }$
• d) $120^{\circ }$

5p 6. În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDEFGH$. Diagonala bazei $EG$ are lungimea egală cu $4\sqrt{2}\text{ cm}$. Aria totală a cubului este egală cu:

[Figura: Cubul ABCDEFGH cu diagonala feței de sus EG]

• a) $32{\text{ cm}}^2$
• b) $48{\text{ cm}}^2$
• c) $64{\text{ cm}}^2$
• d) $96{\text{ cm}}^2$

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrieți rezolvările complete. (30 de puncte)

5p 1. Dina are o sumă de bani. În prima zi cheltuiește $\frac{3}{4}$ din sumă, iar în a doua zi $\frac{1}{3}$ din rest, adică $12$ lei.

• (3p) a) Ce sumă de bani mai are Dina după cele două zile?
• (2p) b) Determină suma de bani avută inițial de Dina.

5p 2. Se consideră expresia $E(x)=(3x-1{)}^2-7(x+1)(x-2)-(x+3{)}^2$, unde $x$ este număr real.

• (2p) a) Arată că $(x+1)(x-2)=x^2-x-2$, pentru orice număr real $x$.
• (3p) b) Demonstrează că $E(x)=(x-2)(x-3)$, pentru orice număr real $x$.

5p 3. Se consideră numerele reale $x=\left(\frac{2}{\sqrt{12}}+\frac{9}{\sqrt{27}}+\frac{6}{\sqrt{108}}\right)\cdot {\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^{-1}$ și $y=(5^6{)}^3\cdot 25^3:125^8$.

• (2p) a) Arată că $x=5$.
• (3p) b) Arată că produsul numerelor $x$ și $y$ este un număr natural prim.

5p 4. Se consideră rombul $ABCD$, cu $AB=18\text{ cm}$ și $\sphericalangle ABC=60^{\circ }$.

[Figura: Rombul ABCD cu diagonalele AC și BD]

• (2p) a) Arată că perimetrul rombului $ABCD$ este egal cu $72\text{ cm}$.
• (3p) b) Arată că lungimea diagonalei $BD$ este egală cu $18\sqrt{3}\text{ cm}$.

5p 5. Se consideră dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=10\sqrt{2}\text{ cm}$ și $BC=20\text{ cm}$. Punctul $E$ este mijlocul laturii $BC$ și punctul $F$ este situat pe segmentul $AE$, astfel încât $BF\perp AE$.

[Figura: Dreptunghiul ABCD, punctul E mijlocul laturii BC, segmentul AE și segmentul BF perpendicular pe AE]

• (2p) a) Arată că aria dreptunghiului $ABCD$ este egală cu $200\sqrt{2}{\text{ cm}}^2$.
• (3p) b) Demonstrați că punctele $B$, $F$ și $D$ sunt coliniare.

5p 6. În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=12\text{ cm}$, $BC=6\text{ cm}$ și $A{A}^{\prime }=6\sqrt{2}\text{ cm}$. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $CD$.

[Figura: Paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' cu punctul M mijlocul muchiei CD și segmentele AM, MB]

• (2p) a) Arată că aria triunghiului $AMB$ este egală cu $36{\text{ cm}}^2$.
• (3p) b) Determină distanța de la punctul $A^{\prime }$ la dreapta $MB$.