Evaluare Națională 2021, matematică: test de antrenament 4

Subiectul I, 1)

Răspuns corect: b)

Explicație:
Un număr prim este un număr natural mai mare strict decât 1 care are exact doi divizori: 1 și el însuși.

• $0$ nu este număr prim;
• $2$ are ca divizori doar pe $1$ și $2$, fiind singurul număr prim par;
• $4$ este compus ($4=2^2$);
• $15$ este compus ($15=3\cdot 5$).

Deci numărul prim este $2$.

---

Subiectul I, 2)

Răspuns corect: c)

Explicație:
Calculăm numărul total de manuale de matematică:
$$\text{Total}=280+200+250+270=1000$$
Un sfert din total înseamnă:
$$\frac{1}{4}\cdot 1000=250$$
Numărul de manuale egal cu $250$ corespunde tipului Mate_VII.

---

Subiectul I, 3)

Răspuns corect: d)

Explicație:
Fie $x$ prețul inițial al produsului. Creșterea reprezintă $20\%$ din $x$:
$$20\%\cdot x=12⟹\frac{20}{100}\cdot x=12⟹\frac{1}{5}\cdot x=12⟹x=12\cdot 5=60\text{ lei}$$

---

Subiectul I, 4)

Răspuns corect: d)

Explicație:
Dintre mai multe fracții subunitare pozitive care au același numărător ($1$), cea mai mare este cea care are numitorul cel mai mic.
Comparăm numitorii: $2^3=8$, $2^4=16$, $2^7=128$, $2^8=256$.
Cel mai mic numitor este $2^3$, deci cea mai mare fracție este $\frac{1}{2^3}$.

---

Subiectul I, 5)

Răspuns corect: d)

Explicație:
Folosim formula diferenței de pătrate:
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$
Înlocuind valorile cunoscute:
$$12=4\cdot (a+b)⟹a+b=\frac{12}{4}=3$$
Rezultatul corect ($3$) a fost obținut de Ana.

---

Subiectul I, 6)

Răspuns corect: b)

Explicație:
Numerele întregi din intervalul închis $[-2,3]$ sunt: $-2,-1,0,1,2,3$.
Suma lor este:
$$(-2)+(-1)+0+1+2+3=[(-2)+2]+[(-1)+1]+0+3=0+0+0+3=3$$

---

Subiectul al II-lea, 1)

Răspuns corect: b)

Explicație:
Punctul $B$ este mijlocul segmentului $AC$, deci $AB=BC=3\text{ cm}$, de unde $AC=AB+BC=3+3=6\text{ cm}$.
Punctul $C$ este mijlocul segmentului $AD$, deci $AD=2\cdot AC=2\cdot 6=12\text{ cm}$.

---

Subiectul al II-lea, 2)

Răspuns corect: d)

Explicație:
Suma măsurilor unghiurilor în jurul unui punct este de $360^{\circ }$:
$$\sphericalangle AOB+\sphericalangle BOC+\sphericalangle AOC=360^{\circ }$$
$$120^{\circ }+130^{\circ }+\sphericalangle AOC=360^{\circ }$$
$$250^{\circ }+\sphericalangle AOC=360^{\circ }⟹\sphericalangle AOC=360^{\circ }-250^{\circ }=110^{\circ }$$

---

Subiectul al II-lea, 3)

Răspuns corect: b)

Explicație:
În triunghiul dreptunghic $ABC$ cu $\sphericalangle A=90^{\circ }$ și $\sphericalangle ACB=30^{\circ }$, conform teoremei unghiului de $30^{\circ }$, cateta opusă acestuia este jumătate din ipotenuză:
$$AB=\frac{BC}{2}⟹BC=2\cdot AB=2\cdot 4=8\text{ cm}$$
Segmentul $AM$ este mediana corespunzătoare ipotenuzei $BC$, deci lungimea sa este egală cu jumătate din ipotenuză:
$$AM=\frac{BC}{2}=\frac{8}{2}=4\text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 4)

Răspuns corect: d)

Explicație:
Într-un paralelogram, diagonalele se înjumătățesc în punctul lor de intersecție $O$, deci:
$$AC=2\cdot AO\text{și}BD=2\cdot DO$$
Suma lungimilor diagonalelor este:
$$AC+BD=2\cdot AO+2\cdot DO=2(AO+DO)=2\cdot 8=16\text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 5)

Răspuns corect: c)

Explicație:
Lungimea cercului este dată de formula:
$$\mathcal{L}=2\pi R=\pi \cdot d$$
unde $d=AB=8\text{ cm}$ este diametrul cercului.
Prin urmare:
$$\mathcal{L}=\pi \cdot 8=8\pi \text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 6)

Răspuns corect: b)

Explicație:
Muchia $D{D}^{\prime }$ este paralelă cu muchia $C{C}^{\prime }$ ($D{D}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$).
Prin urmare, unghiul dintre dreptele $B{C}^{\prime }$ și $D{D}^{\prime }$ este egal cu unghiul dintre dreptele $B{C}^{\prime }$ și $C{C}^{\prime }$, adică $\sphericalangle B{C}^{\prime }C$.
În pătratul $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$, segmentul $B{C}^{\prime }$ este diagonală, deci formează cu latura $C{C}^{\prime }$ un unghi de $45^{\circ }$:
$$\sphericalangle B{C}^{\prime }C=45^{\circ }$$

---

Subiectul al III-lea, 1)

a)
Verificăm condițiile date de teoremă împărțirii cu rest pentru numărul $103$:

• Împărțind $103$ la $12$: $103=12\cdot 8+7$, restul este $7$ (1p)
• Împărțind $103$ la $18$: $103=18\cdot 5+13$, restul este $13$ (1p)
  Deoarece ambele condiții sunt verificate, numărul natural $n$ poate fi egal cu $103$.

b)
Din teorema împărțirii cu rest avem:
$$n=12c_1+7⟹n+5=12c_1+12=12(c_1+1)⟹12\mid (n+5)$$
$$n=18c_2+13⟹n+5=18c_2+18=18(c_2+1)⟹18\mid (n+5)$$ (2p)
Rezultă că $(n+5)$ este un multiplu comun nenul al numerelor $12$ și $18$.
Pentru a determina cel mai mic număr natural $n$, $n+5$ trebuie să fie cel mai mic multiplu comun al numerelor $12$ și $18$:
$$12=2^2\cdot 3,18=2\cdot 3^2⟹[12,18]=2^2\cdot 3^2=36$$
Așadar, $n+5=36⟹n=36-5=31$ (1p).

---

Subiectul al III-lea, 2)

a)
Calculăm valorile expresiei pentru $x=1$ și $x=-1$:
$$E(1)=(3\cdot 1+4{)}^2-(2\cdot 1+1{)}^2=7^2-3^2=49-9=40$$
$$E(-1)=(3\cdot (-1)+4{)}^2-(2\cdot (-1)+1{)}^2=1^2-(-1{)}^2=1-1=0$$ (1p)
Atunci:
$$E(1)+E(-1)=40+0=40$$ (1p)

b)
Descompunem expresia folosind formula diferenței de pătrate $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$:
$$E(n)=(3n+4{)}^2-(2n+1{)}^2=[(3n+4)-(2n+1)]\cdot [(3n+4)+(2n+1)]$$
$$E(n)=(3n+4-2n-1)(3n+4+2n+1)=(n+3)(5n+5)=5(n+3)(n+1)$$ (2p)
Deoarece factorul $5$ apare în descompunere, iar $(n+3)(n+1)\in \mathbb{N}$ pentru orice număr natural $n$, rezultă că $5\mid E(n)$, deci $E(n)$ este multiplu al lui $5$, pentru orice număr natural $n$ (1p).

---

Subiectul al III-lea, 3)

a)
Scoatem factorii de sub radical:
$$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$$
Calculăm suma din paranteză:
$$\frac{8}{\sqrt{18}}+\frac{6}{\sqrt{2}}=\frac{8}{3\sqrt{2}}+\frac{6}{\sqrt{2}}=\frac{8+18}{3\sqrt{2}}=\frac{26}{3\sqrt{2}}$$ (1p)
Înmulțim cu $\frac{\sqrt{2}}{13}$:
$$x=\frac{26}{3\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{13}=\frac{26}{13}\cdot \frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=2\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$ (1p)

b)
Scoatem factorii de sub radical pentru $y$:
$$\sqrt{147}=\sqrt{49\cdot 3}=7\sqrt{3}$$
Efectuăm scăderea din paranteză:
$$\frac{5}{\sqrt{147}}-\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{5}{7\sqrt{3}}-\frac{7}{7\sqrt{3}}=-\frac{2}{7\sqrt{3}}$$
Împărțirea se transformă în înmulțire cu inversa fracției:
$$y=-\frac{2}{7\sqrt{3}}\cdot \frac{14}{\sqrt{3}}=-\frac{2\cdot 14}{7\cdot 3}=-\frac{2\cdot 2}{3}=-\frac{4}{3}$$ (2p)
Calculăm valoarea lui $N$:
$$N=|y-x|=\left|-\frac{4}{3}-\frac{2}{3}\right|=\left|-\frac{6}{3}\right|=|-2|=2$$
Deoarece $2\in \mathbb{N}$, numărul $N$ este natural (1p).

---

Subiectul al III-lea, 4)

a)
Fie $T$ intersecția dreptei $AG$ cu latura $BC$. Deoarece $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$, segmentul $AT$ este mediană, deci:
$$\frac{AG}{AT}=\frac{2}{3}$$ (1p)
În triunghiul $ABT$, avem $MG\parallel BT$ (deoarece $MP\parallel BC$). Aplicând Teorema lui Thales (sau asemănarea $△AMG\sim △ABT$):
$$\frac{AM}{AB}=\frac{AG}{AT}=\frac{2}{3}$$ (1p)

b)
În triunghiul $ABC$, deoarece $MP\parallel BC$, conform Teoremei lui Thales:
$$\frac{AP}{AC}=\frac{AM}{AB}=\frac{2}{3}$$
Știind că $AC=12\text{ cm}$:
$$\frac{AP}{12}=\frac{2}{3}⟹AP=\frac{2\cdot 12}{3}=8\text{ cm}$$ (2p)
Lungimea segmentului $PC$ este:
$$PC=AC-AP=12-8=4\text{ cm}$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 5)

a)
În pătratul $ABCD$, unghiul $\sphericalangle DCB=90^{\circ }$.
În triunghiul echilateral $BCE$, unghiul $\sphericalangle BCE=60^{\circ }$.
Atunci:
$$\sphericalangle DCE=\sphericalangle DCB+\sphericalangle BCE=90^{\circ }+60^{\circ }=150^{\circ }$$ (1p)
Laturile pătratului sunt egale, deci $DC=BC$, iar în triunghiul echilateral $BC=CE$, de unde $DC=CE$.
Astfel, triunghiul $DCE$ este isoscel cu vârful în $C$, deci unghiurile de la bază sunt congruente:
$$\sphericalangle CDE=\frac{180^{\circ }-\sphericalangle DCE}{2}=\frac{180^{\circ }-150^{\circ }}{2}=\frac{30^{\circ }}{2}=15^{\circ }$$ (1p)

b)
În triunghiul isoscel $DCE$, avem și $\sphericalangle DEC=\sphericalangle CDE=15^{\circ }$.
Unghiul $\sphericalangle BED$ se calculează astfel:
$$\sphericalangle BED=\sphericalangle BEC-\sphericalangle DEC=60^{\circ }-15^{\circ }=45^{\circ }$$ (1p)
Fie $BM\perp DE$, cu $M\in DE$. Lungimea segmentului $BM$ este distanța de la punctul $B$ la dreapta $DE$, deci $d(B,DE)=BM$ (1p).
În triunghiul $BME$, $\sphericalangle BME=90^{\circ }$ și $\sphericalangle BEM=45^{\circ }$, deci triunghiul este dreptunghic isoscel, cu $BM=ME$.
Latura triunghiului echilateral este $BE=AB=4\sqrt{2}\text{ cm}$.
Conform teoremei lui Pitagora în $△BME$:
$$B{M}^2+M{E}^2=B{E}^2⟹2B{M}^2=(4\sqrt{2}{)}^2=32⟹B{M}^2=16⟹BM=4\text{ cm}$$
Așadar, distanța de la punctul $B$ la dreapta $DE$ este egală cu $4\text{ cm}$ (1p).

---

Subiectul al III-lea, 6)

a)
În piramida patrulateră regulată $VABCD$, baza $ABCD$ este pătrat, iar diagonalele se înjumătățesc, deci punctul $O$ este mijlocul segmentului $BD$.
Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VD$.
În triunghiul $VDB$, segmentul $OM$ unește mijloacele laturilor $BD$ și $VD$, deci $OM$ este linie mijlocie (1p).
Rezultă că $OM\parallel VB$.
Deoarece $VB\subset (VBC)$ și $OM\not\subset (VBC)$, rezultă că:
$$OM\parallel (VBC)$$ (1p)

b)
Deoarece $OM\parallel (VBC)$, distanța de la orice punct al dreptei $OM$ la planul $(VBC)$ este aceeași, deci:
$$d(M,(VBC))=d(O,(VBC))$$ (1p)
Fie $P$ mijlocul muchiei $BC$. Deoarece $△OBC$ este dreptunghic isoscel în $O$ (diagonalele pătratului sunt perpendiculare), avem $OP\perp BC$ și $OP=\frac{AB}{2}=6\text{ cm}$.
De asemenea, triunghiul $VBC$ este isoscel ($VB=VC$), deci apotema piramidei este $VP\perp BC$.
Cum $BC\perp OP$ și $BC\perp VP$, iar $OP\cap VP=\{P\}$, rezultă că $BC\perp (VOP)$.

În planul $(VOP)$, ducem $OS\perp VP$, unde $S\in VP$.
Deoarece $BC\perp (VOP)$ și $OS\subset (VOP)$, rezultă $OS\perp BC$.
Cum $OS\perp VP$ și $OS\perp BC$, cu $VP\cap BC=\{P\}$, rezultă $OS\perp (VBC)$, deci:
$$d(O,(VBC))=OS$$ (1p)

Calculăm lungimile segmentelor necesare:

• În triunghiul dreptunghic $VPB$ (cu $\sphericalangle VPB=90^{\circ }$):
  $$BP=\frac{BC}{2}=6\text{ cm},VB=VA=2\sqrt{34}\text{ cm}$$
  $$VP=\sqrt{V{B}^2-B{P}^2}=\sqrt{(2\sqrt{34}{)}^2-6^2}=\sqrt{136-36}=\sqrt{100}=10\text{ cm}$$
• În triunghiul dreptunghic $VOP$ (cu $\sphericalangle VOP=90^{\circ }$):
  $$VO=\sqrt{V{P}^2-O{P}^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\text{ cm}$$
• $OS$ este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei $VP$ în $△VOP$:
  $$OS=\frac{VO\cdot OP}{VP}=\frac{8\cdot 6}{10}=\frac{48}{10}=\frac{24}{5}\text{ cm}$$

Prin urmare, distanța de la punctul $M$ la planul $(VBC)$ este:
$$d(M,(VBC))=\frac{24}{5}\text{ cm}$$ (1p)

Evaluarea Națională pentru absolvenții clasei a VIII-a

Anul școlar 2020 - 2021

Matematică

Testul 4

• Toate subiectele sunt obligatorii.
• Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de două ore.

---

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Dintre numerele $0,2,4$ și $15$, numărul prim este:

• a) $0$
• b) $2$
• c) $4$
• d) $15$

5p 2. În tabelul de mai jos este prezentat numărul manualelor de matematică pentru gimnaziu, pe an de studiu, din biblioteca unei școli:

Tipul manualului	Numărul de manuale
Mate_V	280
Mate_VI	200
Mate_VII	250
Mate_VIII	270

Tipul manualului care reprezintă un sfert din totalul manualelor de matematică pentru gimnaziu din biblioteca școlii, este:

• a) Mate_V
• b) Mate_VI
• c) Mate_VII
• d) Mate_VIII

5p 3. După o scumpire cu $20\%$, prețul unui produs a crescut cu $12$ lei. Prețul inițial al produsului este:

• a) $240$ lei
• b) $120$ lei
• c) $72$ lei
• d) $60$ lei

5p 4. Dintre numerele $\frac{1}{2^4},\frac{1}{2^7},\frac{1}{2^3}$ și $\frac{1}{2^8}$, cel mai mare este:

• a) $\frac{1}{2^8}$
• b) $\frac{1}{2^7}$
• c) $\frac{1}{2^4}$
• d) $\frac{1}{2^3}$

5p 5. Patru elevi, Cătălin, Nicolae, Anastasia și Ana, au calculat suma numerelor $a$ și $b$, știind că $a^2-b^2=12$ și $a-b=4$. Rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Cătălin	Nicolae	Anastasia	Ana
48	16	4	3

Dintre cei patru elevi, rezultatul corect a fost obținut de:

• a) Cătălin
• b) Nicolae
• c) Anastasia
• d) Ana

5p 6. Suma numerelor întregi din intervalul $[-2,3]$ este egală cu:

• a) $0$
• b) $3$
• c) $5$
• d) $9$

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura alăturată, punctele $A,B,C$ și $D$, în această ordine, sunt coliniare. Dacă punctul $B$ este mijlocul segmentului $AC$, punctul $C$ este mijlocul segmentului $AD$ și $BC=3\text{ cm}$, atunci lungimea segmentului $AD$ este egală cu:

[Figura: Punctele coliniare $A,B,C,D$ în această ordine]

• a) $15\text{ cm}$
• b) $12\text{ cm}$
• c) $6\text{ cm}$
• d) $3\text{ cm}$

5p 2. În figura alăturată, unghiurile $AOB$, $BOC$ și $COA$ sunt unghiuri în jurul punctului $O$, măsura unghiului $AOB$ este de $120^{\circ }$ și măsura unghiului $BOC$ este de $130^{\circ }$. Măsura unghiului $AOC$ este de:

[Figura: Trei unghiuri în jurul punctului $O$: $\angle AOB$, $\angle BOC$, $\angle COA$]

• a) $140^{\circ }$
• b) $130^{\circ }$
• c) $120^{\circ }$
• d) $110^{\circ }$

5p 3. Se consideră triunghiul dreptunghic $ABC$, punctul $M$ este mijlocul ipotenuzei $BC$, $AB=4\text{ cm}$ și măsura unghiului $ACB$ este de $30^{\circ }$. Lungimea segmentului $AM$ este egală cu:

[Figura: Triunghiul dreptunghic $ABC$ cu $\angle A=90^{\circ }$, ipotenuza $BC$, mijlocul $M$ al lui $BC$ și segmentul $AM$]

• a) $2\text{ cm}$
• b) $4\text{ cm}$
• c) $8\text{ cm}$
• d) $12\text{ cm}$

5p 4. În figura alăturată este reprezentat un paralelogram $ABCD$, punctul $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$, iar $AO+DO=8\text{ cm}$. Suma lungimilor segmentelor $AC$ și $BD$ este egală cu:

[Figura: Paralelogramul $ABCD$ cu diagonalele $AC$ și $BD$ concurente în punctul $O$]

• a) $4\text{ cm}$
• b) $8\text{ cm}$
• c) $12\text{ cm}$
• d) $16\text{ cm}$

5p 5. În figura alăturată, $AB$ este diametru în cercul de centru $O$, $AB=8\text{ cm}$. Lungimea cercului este egală cu:

[Figura: Cerc de centru $O$ cu diametrul $AB$]

• a) $64\pi \text{ cm}$
• b) $16\pi \text{ cm}$
• c) $8\pi \text{ cm}$
• d) $4\pi \text{ cm}$

5p 6. În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Măsura unghiului dintre dreptele $B{C}^{\prime }$ și $D{D}^{\prime }$ este de:

[Figura: Cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu segmentul $B{C}^{\prime }$ trasat]

• a) $30^{\circ }$
• b) $45^{\circ }$
• c) $60^{\circ }$
• d) $90^{\circ }$

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrieți rezolvările complete. (30 de puncte)

5p 1. Împărțind, pe rând, numărul natural $n$ la $12$ și la $18$, se obțin resturile $7$, respectiv $13$.

• (2p) a) Numărul natural $n$ poate fi egal cu $103$? Justifică răspunsul dat.
• (3p) b) Arată că cel mai mic număr natural $n$ cu această proprietate este $31$.

5p 2. Se consideră expresia $E(x)=(3x+4{)}^2-(2x+1{)}^2$, unde $x$ este număr real.

• (2p) a) Arată că $E(1)+E(-1)=40$.
• (3p) b) Demonstrează că $E(n)$ este multiplu al lui $5$, pentru orice număr natural $n$.

5p 3. Se consideră numerele reale $x=\left(\frac{8}{\sqrt{18}}+\frac{6}{\sqrt{2}}\right)\cdot \frac{\sqrt{2}}{13}$ și $y=\left(\frac{5}{\sqrt{147}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right):\frac{\sqrt{3}}{14}$.

• (2p) a) Arată că $x=\frac{2}{3}$.
• (3p) b) Arată că numărul $N=|y-x|$ este natural.

5p 4. În figura alăturată este reprezentat un triunghi $ABC$. Punctul $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$, $MP\parallel BC$, $G\in MP$, $M\in AB$ și $P\in AC$.

[Figura: Triunghiul $ABC$ cu $G$ pe segmentul $MP$, unde $MP\parallel BC$, $M\in AB$, $P\in AC$]

• (2p) a) Arată că $\frac{AM}{AB}=\frac{2}{3}$.
• (3p) b) Dacă $AC=12\text{ cm}$, atunci determină lungimea segmentului $PC$.

5p 5. În figura alăturată sunt reprezentate pătratul $ABCD$ cu $AB=4\sqrt{2}\text{ cm}$ și triunghiul echilateral $BCE$.

[Figura: Pătratul $ABCD$ și triunghiul echilateral $BCE$ situat în exteriorul pătratului]

• (2p) a) Arată că măsura unghiului $CDE$ este egală cu $15^{\circ }$.
• (3p) b) Demonstrează că distanța de la punctul $B$ la dreapta $DE$ este egală cu $4\text{ cm}$.

5p 6. În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată $VABCD$ cu baza $ABCD$, $AB=12\text{ cm}$ și $VA=2\sqrt{34}\text{ cm}$. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, iar punctul $M$ este mijlocul muchiei $VD$.

[Figura: Piramida patrulateră regulată $VABCD$ cu baza $ABCD$, intersecția diagonalelor $O$ și mijlocul muchiei $VD$ notat cu $M$]

• (2p) a) Arată că dreapta $OM$ este paralelă cu planul $(VBC)$.
• (3p) b) Determină distanța de la punctul $M$ la planul $(VBC)$.