Evaluare Națională 2021, matematică: test de antrenament 6

Subiectul I, 1)

Răspuns corect: b)

Efectuăm mai întâi înmulțirea, apoi scăderea:
$$44-4\cdot 4=44-16=28$$

---

Subiectul I, 2)

Răspuns corect: c)

Din proporția dată avem:
$$\frac{3}{x+1}=\frac{1}{674}⟹x+1=3\cdot 674=2022⟹x=2022-1=2021$$

---

Subiectul I, 3)

Răspuns corect: a)

Produsul a două numere cu semne diferite este negativ:
$$(-18)\cdot 3=-54$$

---

Subiectul I, 4)

Răspuns corect: c)

• Pentru 8 bucăți de săpun:

  • Preț întreg: $8\cdot 2,5=20\text{ lei}$.
  • Reducerea pentru 8 bucăți este de $12\%$:
    $$\text{Reducere}=\frac{12}{100}\cdot 20=2,4\text{ lei}$$
  • Preț plătit pentru săpun: $20-2,4=17,6\text{ lei}$.

• Pentru 4 bucăți de pastă de dinți:

  • Preț întreg: $4\cdot 8=32\text{ lei}$.
  • Reducerea pentru 4 bucăți este de $20\%$:
    $$\text{Reducere}=\frac{20}{100}\cdot 32=6,4\text{ lei}$$
  • Preț plătit pentru pasta de dinți: $32-6,4=25,6\text{ lei}$.

• Prețul total plătit este:
  $$17,6+25,6=43,2\text{ lei}$$

---

Subiectul I, 5)

Răspuns corect: d)

Scriem mulțimea literelor pentru fiecare cuvânt:

• Pentru matematică: $\{m,a,t,e,i,c,\breve{a}\}$
• Pentru gramatică: $\{g,r,a,m,t,i,c,\breve{a}\}$
• Pentru informatică: $\{i,n,f,o,r,m,a,t,c,\breve{a}\}$

Literele comune tuturor celor trei cuvinte sunt:
$$\{a,m,t,i,c,\breve{a}\}$$
Numărul de elemente este egal cu $6$.

---

Subiectul I, 6)

Răspuns corect: d)

Comparăm numerele introducând sub radical:
$$-2=-\sqrt{4}$$ și $$2=\sqrt{4}$$
Cum $4>2$, avem $-\sqrt{4}<-\sqrt{2}<\sqrt{2}<\sqrt{4}$, deci ordinea crescătoare este:
$$-2,-\sqrt{2},\sqrt{2},2$$

---

Subiectul al II-lea, 1)

Răspuns corect: b)

Din relațiile date:
$$AB=2\cdot AC⟹AC=\frac{1}{2}AB=0,5\cdot AB$$
$$AB=4\cdot AD⟹AD=\frac{1}{4}AB=0,25\cdot AB$$
$$AB=5\cdot AE⟹AE=\frac{1}{5}AB=0,2\cdot AB$$

Deoarece $AE<AD<AC<AB$, ordinea punctelor pe dreaptă pornind din $A$ este: $A-E-D-C-B$.

---

Subiectul al II-lea, 2)

Răspuns corect: d)

Unghiurile adiacente complementare au suma măsurilor egală cu $90^{\circ }$:
$$\sphericalangle AOB+\sphericalangle BOC=90^{\circ }⟹\sphericalangle AOB=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$$

---

Subiectul al II-lea, 3)

Răspuns corect: a)

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic isoscel în $A$, deci $AB=AC$.
$D$ este mijlocul ipotenuzei $BC$, $E$ este mijlocul laturii $AB$, iar $F$ este mijlocul laturii $AC$.

• $DE$ este linie mijlocie paralelă cu $AC$, deci $DE=\frac{AC}{2}$.
• $DF$ este linie mijlocie paralelă cu $AB$, deci $DF=\frac{AB}{2}$.
• $AE=\frac{AB}{2}$ și $AF=\frac{AC}{2}$.

Perimetrul patrulaterului $AEDF$ este:
$${\mathcal{P}}_{AEDF}=AE+ED+DF+FA=\frac{AB}{2}+\frac{AC}{2}+\frac{AB}{2}+\frac{AC}{2}=AB+AC$$
Perimetrul este egal cu suma lungimilor laturilor $AB$ și $AC$.

---

Subiectul al II-lea, 4)

Răspuns corect: b)

Cele patru triunghiuri dreptunghice sunt congruente, având unghiurile drepte în $O$. Astfel:
$$OA=OC=OE=OG\text{și}OB=OD=OF=OH$$
Punctul $H$ este mijlocul lui $OA$, deci $OA=2\cdot OH$. Rezultă:
$$AH=OA-OH=OH=10\text{ cm}⟹OA=20\text{ cm}$$
Catetele fiecărui triunghi dreptunghic au lungimile $20\text{ cm}$ și $10\text{ cm}$.
Aria unui singur triunghi este:
$${\mathcal{A}}_{\Delta }=\frac{20\cdot 10}{2}=100{\text{ cm}}^2$$
Aria totală a celor patru triunghiuri decupate este:
$${\mathcal{A}}_{\text{carton}}=4\cdot 100{\text{ cm}}^2=400{\text{ cm}}^2=4{\text{ dm}}^2$$

---

Subiectul al II-lea, 5)

Răspuns corect: b)

Diametrele $AB$ și $CD$ sunt perpendiculare, deci triunghiul $AOC$ este dreptunghic isoscel în $O$ cu $OA=OC=R$ (raza cercului).
Prin teorema lui Pitagora în $\Delta AOC$:
$$A{C}^2=O{A}^2+O{C}^2=2R^2⟹AC=R\sqrt{2}$$
Cum $AC=\sqrt{2}\text{ cm}$, rezultă $R\sqrt{2}=\sqrt{2}⟹R=1\text{ cm}$.

Patrulaterul $OMNP$ este dreptunghi, deci diagonalele sale sunt egale: $MP=ON$.
Dar $N$ este un punct situat pe cerc, așadar segmentul $ON$ este o rază a cercului: $ON=R=1\text{ cm}$.
Rezultă că $MP=1\text{ cm}$.

---

Subiectul al II-lea, 6)

Răspuns corect: c)

Fie $a$ lungimea muchiei bazei ($AB=a$). Deoarece $A{A}^{\prime }=AB$, înălțimea prismei este de asemenea $h=a$.
Aria laterală este formată din trei fețe dreptunghiulare congruente:
$${\mathcal{A}}_l=3\cdot a^2=27{\text{ cm}}^2⟹a^2=9⟹a=3\text{ cm}$$
Baza este un triunghi echilateral cu latura $a=3\text{ cm}$:
$${\mathcal{A}}_b=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{4}{\text{ cm}}^2$$
Volumul prismei este:
$$\mathcal{V}={\mathcal{A}}_b\cdot h=\frac{9\sqrt{3}}{4}\cdot 3=\frac{27\sqrt{3}}{4}{\text{ cm}}^3$$

---

Subiectul al III-lea, 1)

a)

• Dacă întreaga recoltă ar fi fost de $150\text{ kg}$, s-ar fi încasat suma de:
  $$150\cdot 1,85=277,50\text{ lei}\text{(1p)}$$
• Deoarece $277,50\text{ lei}\ne 266,40\text{ lei}$, rezultă că întreaga recoltă nu este de $150\text{ kg}$ de cartofi. $\text{(1p)}$

b)

• Fie $x$ cantitatea (în kilograme) de cartofi recoltată de pe un metru pătrat. Întreaga recoltă de pe lotul de $48{\text{ m}}^2$ este $48\cdot x\text{ kg}$.
• Ecuația venitului obținut este:
  $$48\cdot x\cdot 1,85=266,40\text{ lei}\text{(2p)}$$
  $$88,8\cdot x=266,40$$
  $$x=\frac{266,40}{88,8}=3\text{ kg}\text{(1p)}$$

---

Subiectul al III-lea, 2)

a)

• Înlocuim $x=-2$ în expresia $E(x)$:
  $$E(-2)=2(-2+3{)}^2-(2+(-2))(-2-2)-2(5(-2)+7)$$
  $$E(-2)=2(1{)}^2-0\cdot (-4)-2(-10+7)=2-0-2(-3)=2+6=8\text{(1p)}$$
• Calculăm diferența:
  $$E(-2)-8=8-8=0\text{(1p)}$$

b)

• Dezvoltăm expresia $E(x)$:
  $$E(x)=2(x^2+6x+9)-(x^2-4)-10x-14$$
  $$E(x)=2x^2+12x+18-x^2+4-10x-14\text{(2p)}$$
  $$E(x)=x^2+2x+8$$
• Rescriem ca un pătrat perfect plus o constantă:
  $$E(x)=x^2+2x+1+7=(x+1{)}^2+7$$
• Deoarece $(x+1{)}^2\ge 0$ pentru orice număr real $x$, rezultă că:
  $$E(x)\ge 7,\text{pentru orice numa˘r real }x\text{(1p)}$$

---

Subiectul al III-lea, 3)

a)

• Calculăm împărțirea numerelor:
  $$2048:64=32\text{(1p)}$$
• Deoarece $32=2^5$, câtul obținut este egal cu $2^5$. $\text{(1p)}$

b)

• Scriem $2048$ ca putere a lui $2$:
  $$2048=2^{11}⟹2048^2=(2^{11}{)}^2=2^{22}\text{(2p)}$$
• Numărul $a$ devine:
  $$a=2^{2048}-2^{22}$$
• Deoarece $2048>22$, avem $2^{2048}>2^{22}$, deci $a$ reprezintă diferența pozitivă a două numere naturale, de unde rezultă că $a$ este un număr natural (nenul). $\text{(1p)}$

---

Subiectul al III-lea, 4)

a)

• Patrulaterul $AECD$ are $AD\perp AB$, $CE\perp AB$ și $AB\parallel CD$, deci are toate unghiurile drepte, fiind dreptunghi. Rezultă:
  $$AE=CD=10\text{ cm}\text{(1p)}$$
• Calculăm lungimea segmentului $BE$:
  $$BE=AB-AE=16-10=6\text{ cm}\text{(1p)}$$

b)

• În $\Delta BCP$, segmentul $BD$ este bisectoarea unghiului $\sphericalangle PBC$ și, din ipoteză, $BD\perp CP$. Triunghiul în care o bisectoare este și înălțime este isoscel, deci $\Delta BCP$ este isoscel cu $BC=BP$. $\text{(2p)}$
• Pe de altă parte, deoarece $AB\parallel CD$, unghiurile alterne interne $\sphericalangle CDB$ și $\sphericalangle ABD$ sunt egale. Cum $BD$ este bisectoarea unghiului $\sphericalangle ABC$, avem $\sphericalangle CBD=\sphericalangle ABD=\sphericalangle CDB$, deci triunghiul $BCD$ este isoscel cu $BC=CD$.
• Obținem $BP=BC=CD=10\text{ cm}$.
• Deoarece $P\in AB$ și $AB\parallel CD$, avem $BP\parallel CD$ și $BP=CD$. Așadar, patrulaterul $BCDP$ are două laturi opuse paralele și egale, deci este paralelogram.
• Într-un paralelogram laturile opuse sunt paralele, rezultă $DP\parallel BC$. $\text{(1p)}$

---

Subiectul al III-lea, 5)

a)

• În triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $\sphericalangle C=30^{\circ }$, conform teoremei unghiului de $30^{\circ }$:
  $$AB=\frac{BC}{2}=\frac{24}{2}=12\text{ cm}\text{(1p)}$$
• $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AC$, respectiv $BC$, deci $MN$ este linie mijlocie în $\Delta ABC$:
  $$MN=\frac{AB}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ cm}\text{(1p)}$$

b)

• Segmentul $AN$ este mediana corespunzătoare ipotenuzei în triunghiul dreptunghic $ABC$, deci:
  $$AN=\frac{BC}{2}$$
• $M$ fiind mijlocul lui $AC$, avem:
  $$AM=\frac{AC}{2}\text{(2p)}$$
• Cum și $MN=\frac{AB}{2}$, perimetrul triunghiului $AMN$ este:
  $${\mathcal{P}}_{\Delta AMN}=AM+MN+AN=\frac{AC}{2}+\frac{AB}{2}+\frac{BC}{2}=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{{\mathcal{P}}_{\Delta ABC}}{2}$$
• Rezultă raportul:
  $$\frac{{\mathcal{P}}_{\Delta AMN}}{{\mathcal{P}}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}\text{(1p)}$$

---

Subiectul al III-lea, 6)

a)

• Piramida $VABCD$ este regulată, deci $VO\perp (ABC)$, iar $O$ este centrul pătratului $ABCD$. Punctul $M$ fiind mijlocul lui $BC$, avem $OM\perp BC$.
• Conform teoremei celor trei perpendiculare, $VM\perp BC$, deci unghiul dintre planul feței laterale $(VBC)$ și planul bazei $(ABC)$ este $\sphericalangle VMO=30^{\circ }$.
• În triunghiul dreptunghic $VOM$ ($\sphericalangle VOM=90^{\circ }$):
  $$\mathrm{tg}(\sphericalangle VMO)=\frac{VO}{OM}⟹\mathrm{tg}30^{\circ }=\frac{3}{OM}⟹\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3}{OM}⟹OM=\frac{9}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\text{ m}\text{(1p)}$$
• $OM$ este apotema bazei, deci $OM=\frac{AB}{2}$, de unde:
  $$AB=2\cdot OM=2\cdot 3\sqrt{3}=6\sqrt{3}\text{ m}\text{(1p)}$$

b)

• În $\Delta VOM$, apotema piramidei este:
  $$VM=\frac{VO}{\sin 30^{\circ }}=\frac{3}{\frac{1}{2}}=6\text{ m}$$
• Aria laterală a piramidei (suprafața acoperișului) este:
  $${\mathcal{A}}_l=4\cdot \frac{AB\cdot VM}{2}=2\cdot 6\sqrt{3}\cdot 6=72\sqrt{3}{\text{ m}}^2\text{(1p)}$$
• Folosind inegalitatea $1,73<\sqrt{3}<1,74$:
  $$72\cdot 1,73<72\sqrt{3}<72\cdot 1,74⟹124,56{\text{ m}}^2<{\mathcal{A}}_l<125,28{\text{ m}}^2$$
• Deoarece $1\text{ litru}$ acoperă $12{\text{ m}}^2$, cantitatea de vopsea necesară este:
  $$\frac{124,56}{12}<\text{litri necesari}<\frac{125,28}{12}⟹10,38<\text{litri necesari}<10,44$$
  Așadar, sunt necesari între $10$ și $11$ litri de vopsea.
• Vopseaua se vinde la bidoane de $3$ litri:
  • $3$ bidoane conțin $9$ litri ($<10,38\text{ litri}$, insuficient);
  • $4$ bidoane conțin $12$ litri ($>10,44\text{ litri}$, suficient).
    Deci numărul minim de bidoane este $4$.
• Prețul minim achitat este:
  $$4\cdot 125=500\text{ lei}\text{(2p)}$$
  (Notă: Baremul oficial menționează 4 bidoane și calculează prețul corespunzător.)

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

1. (5p) Rezultatul calculului $44-4\cdot 4$ este egal cu:

   • a) $0$
   • b) $28$
   • c) $60$
   • d) $160$

2. (5p) Dacă $\frac{3}{x+1}=\frac{1}{674}$, atunci numărul real $x$ este egal cu:

   • a) $3$
   • b) $674$
   • c) $2021$
   • d) $2022$

3. (5p) Produsul numerelor $-18$ și $3$ este egal cu:

   • a) $-54$
   • b) $-21$
   • c) $-15$
   • d) $-6$

4. (5p) În tabelul de mai jos este prezentată oferta cu reduceri de prețuri pentru două produse, în funcție de numărul de produse cumpărate.

   Produse	Preț la cumpărarea unei bucăți	Reducerea acordată la cumpărarea a 4 bucăți	Reducerea acordată la cumpărarea a 8 bucăți
   Săpun	2,5 lei	10%	12%
   Pastă de dinți	8 lei	20%	25%

   Știind că un cumpărător a achiziționat 8 bucăți de săpun și 4 bucăți de pastă de dinți, prețul total plătit de acesta în urma aplicării reducerilor este:

   • a) $49,6$ lei
   • b) $45,6$ lei
   • c) $43,2$ lei
   • d) $32$ lei

5. (5p) Maria scrie mulțimea formată din literele comune următoarelor trei cuvinte: matematică, gramatică, informatică. Numărul elementelor mulțimii scrise de Maria este egal cu:

   • a) $11$
   • b) $10$
   • c) $9$
   • d) $6$

6. (5p) Dintre următoarele secvențe de numere, cea care reprezintă o enumerare în ordine crescătoare este:

   • a) $-\sqrt{2},-2,2,\sqrt{2}$
   • b) $-\sqrt{2},-2,\sqrt{2},2$
   • c) $-2,-\sqrt{2},2,\sqrt{2}$
   • d) $-2,-\sqrt{2},\sqrt{2},2$

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

1. (5p) În figura alăturată sunt reprezentate punctele distincte $A$ și $B$. Andrei trebuie să poziționeze pe segmentul $AB$ punctele $C$, $D$ și $E$ astfel încât $AB=2\cdot AC=4\cdot AD=5\cdot AE$. Ordinea pe dreapta $AB$ a celor 5 puncte este:
   [Figura: Segmentul AB pe o rețea cu pătrățele]

   • a) $A-C-D-E-B$
   • b) $A-E-D-C-B$
   • c) $A-C-E-D-B$
   • d) $A-E-C-D-B$

2. (5p) Unghiurile $AOB$ și $BOC$ sunt adiacente complementare, iar măsura unghiului $BOC$ este de $30^{\circ }$. Măsura unghiului $AOB$ este egală cu:

   • a) $15^{\circ }$
   • b) $30^{\circ }$
   • c) $45^{\circ }$
   • d) $60^{\circ }$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic isoscel $ABC$ cu ipotenuza $BC$. Punctele $D$, $E$ și $F$ sunt mijloacele laturilor $BC$, $AB$, respectiv $AC$.
   [Figura: Triunghiul dreptunghic isoscel ABC, dreptunghic în A, cu punctele D pe BC, E pe AB, F pe AC]
   Perimetrul patrulaterului $AEDF$ este:

   • a) egal cu suma lungimilor laturilor $AB$ și $AC$
   • b) mai mare decât suma lungimilor laturilor $AB$ și $AC$
   • c) mai mic decât suma lungimilor laturilor $AB$ și $AC$
   • d) mai mic decât lungimea laturii $BC$

4. (5p) În figura alăturată este reprezentată o morișcă despre care știm că este compusă din patru triunghiuri dreptunghice, congruente, $AOB$, $COD$, $EOF$ și $GOH$, dispuse astfel încât punctele $B$, $D$, $F$ și $H$ sunt mijloacele segmentelor $OC$, $OE$, $OG$, respectiv $OA$. Știind că $AH=10\text{ cm}$ și că cele patru triunghiuri au fost decupate dintr-un carton, fără pierderi de material, aria suprafeței cartonului era egală cu:
   [Figura: Morișcă formată din 4 triunghiuri dreptunghice dispuse în jurul originii O]

   • a) $1{\text{ dm}}^2$
   • b) $4{\text{ dm}}^2$
   • c) $10{\text{ dm}}^2$
   • d) $40{\text{ dm}}^2$

5. (5p) Segmentele $AB$ și $CD$ sunt două diametre perpendiculare în cercul de centru $O$ din figura alăturată. Punctul $N$ aparține acestui cerc, iar punctele $M$ și $P$ aparțin segmentelor $OB$, respectiv $OD$, astfel încât patrulaterul $OMNP$ să fie dreptunghi. Dacă lungimea coardei $AC$ este $\sqrt{2}\text{ cm}$, atunci lungimea segmentului $MP$ este:
   [Figura: Cerc de centru O cu diametre perpendiculare AB și CD; dreptunghiul OMNP cu N pe cerc]

   • a) $2\text{ cm}$
   • b) $1\text{ cm}$
   • c) $0,5\text{ cm}$
   • d) $\sqrt{2}\text{ cm}$

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată o prismă triunghiulară regulată dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, de baze $ABC$ și $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, cu muchiile $AB$ și $A{A}^{\prime }$ egale. Știind că aria laterală a prismei reprezentate este egală cu $27{\text{ cm}}^2$, volumul aceleiași prisme este egal cu:
   [Figura: Prisma triunghiulară regulată ABCA'B'C']

   • a) $3{\text{ cm}}^3$
   • b) $9{\text{ cm}}^3$
   • c) $\frac{27\sqrt{3}}{4}{\text{ cm}}^3$
   • d) $27{\text{ cm}}^3$

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrieți rezolvările complete. (30 de puncte)

1. Pe un lot cu suprafața de $48{\text{ m}}^2$, un agricultor a cultivat cartofi. Întreaga recoltă obținută o vinde la piață cu $1,85\text{ lei}$ kilogramul și încasează $266,40\text{ lei}$.

   • (2p) a) Verifică dacă întreaga recoltă este de $150\text{ kg}$ de cartofi.
   • (3p) b) Află câte kilograme de cartofi au fost recoltate de pe un metru pătrat. (Se consideră că producția este aceeași pe fiecare metru pătrat al lotului.)

2. Se consideră expresia $E(x)=2(x+3{)}^2-(2+x)(x-2)-2(5x+7)$, unde $x$ este număr real.

   • (2p) a) Arată că $E(-2)-8=0$.
   • (3p) b) Demonstrează că $E(x)\ge 7$, pentru orice număr real $x$.

3. Se consideră numărul întreg $a=2^{2048}-2048^2$.

   • (2p) a) Arată că la împărțirea numărului $2048$ cu $64$ câtul este egal cu $2^5$.
   • (3p) b) Arată că numărul $a$ este un număr natural.

4. În figura alăturată este reprezentat un trapez dreptunghic $ABCD$ cu $AD\perp AB$ și $AB\parallel CD$. Semidreapta $BD$ este bisectoarea unghiului $ABC$, $AB=16\text{ cm}$ și $CD=10\text{ cm}$.
   [Figura: Trapezul dreptunghic ABCD cu diagonala BD]

   • (2p) a) Știind că $E\in AB$ astfel încât $CE\perp AB$, demonstrează că $BE=6\text{ cm}$.
   • (3p) b) Știind că $P$ este punctul de intersecție a laturii $AB$ cu perpendiculara din $C$ pe dreapta $BD$, demonstrează că $DP\parallel BC$.

5. În figura alăturată punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AC$, respectiv $BC$ ale unui triunghi $ABC$ dreptunghic în $A$, cu $BC=24\text{ cm}$ și măsura unghiului $C$ egală cu $30^{\circ }$.
   [Figura: Triunghiul dreptunghic ABC cu punctele M pe AC și N pe BC]

   • (2p) a) Determină lungimea segmentului $MN$.
   • (3p) b) Calculează raportul dintre perimetrul triunghiului $AMN$ și perimetrul triunghiului $ABC$.

6. În figura alăturată este reprezentat acoperișul unei case sub forma suprafeței laterale a piramidei patrulatere regulate $VABCD$, de înălțime $VO=3\text{ m}$, în care unghiul de înclinație a acoperișului, adică unghiul dintre planul unei fețe laterale și planul bazei are măsura egală cu $30^{\circ }$. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $BC$.
   [Figura: Piramidă patrulateră regulată VABCD cu baza pătratul ABCD, înălțimea VO și apotema VM]

   • (2p) a) Arată că $AB=6\sqrt{3}\text{ m}$.
   • (3p) b) Știind că acoperișul este realizat din tablă și că proprietarul casei dorește să-l vopsească într-un singur strat cu vopsea specială pentru tablă care se vinde la bidon de $3$ litri care costă $125$ de lei și care, conform specificațiilor producătorului, acoperă $12{\text{ m}}^2$ la utilizarea unui litru, determină prețul minim pe care trebuie să-l achite proprietarul pentru cumpărarea cantității de vopsea necesară la bidon de $3$ litri. (Pentru justificare, se poate folosi inegalitatea $1,73<\sqrt{3}<1,74$.)