Evaluare Națională 2021, matematică: test de antrenament 7

Subiectul I, 1)

Efectuăm împărțirea cu rest a numărului $62$ la $12$:
$$62=12\cdot 5+2$$
Câtul împărțirii este egal cu $5$ (iar restul este $2$).

Răspuns corect: b)

---

Subiectul I, 2)

Din relația $3a=2b$, împărțind ambii membri cu $3b$ ($b\ne 0$), obținem:
$$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$$

Răspuns corect: d)

---

Subiectul I, 3)

Calculăm valorile expresiei $|a+3|$ pentru fiecare element $a\in \{-8,-5,0,1\}$:

• Pentru $a=-8$: $|-8+3|=|-5|=5$
• Pentru $a=-5$: $|-5+3|=|-2|=2$
• Pentru $a=0$: $|0+3|=|3|=3$
• Pentru $a=1$: $|1+3|=|4|=4$

Cea mai mică valoare a expresiei este $2$.

Răspuns corect: a)

---

Subiectul I, 4)

Scriem numărul zecimal sub formă de fracție ordinară: $0,25=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$.
Diferența cerută este:
$$\frac{3}{2}-0,25=\frac{3}{2}-\frac{1}{4}=\frac{6}{4}-\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Răspuns corect: c)

---

Subiectul I, 5)

Inecvatia cu modul $|x|\le 2$ este echivalentă cu:
$$-2\le x\le 2$$
Scrisă sub formă de interval, mulțimea este $A=[-2,2]$.

Răspuns corect: d)

---

Subiectul I, 6)

Comparăm fiecare număr ales cu numărul $2=\sqrt{4}$:

• Numărul Andrei: $\sqrt{7}>\sqrt{4}=2$
• Numărul lui Sorin: $\sqrt{5}>\sqrt{4}=2$
• Numărul lui Teo: $\sqrt{8}>\sqrt{4}=2$
• Numărul lui Bogdan: $\sqrt{3}<\sqrt{4}=2$

Cei care au ales numere mai mari decât $2$ sunt Andra, Sorin și Teo.

Răspuns corect: a)

---

Subiectul al II-lea, 1)

Avem $AC=AB+BC=2\text{ cm}+3\text{ cm}=5\text{ cm}$.
Deoarece punctul $D$ este simetricul lui $A$ față de $C$, punctul $C$ este mijlocul segmentului $AD$, deci:
$$AD=2\cdot AC=2\cdot 5\text{ cm}=10\text{ cm}$$

Răspuns corect: d)

---

Subiectul al II-lea, 2)

Deoarece $OM$ este bisectoarea unghiului $AOB$ și $ON$ este bisectoarea unghiului $BOC$, avem:
$$\sphericalangle AOM=\sphericalangle MOB=\frac{\sphericalangle AOB}{2}$$
$$\sphericalangle BON=\sphericalangle NOC=\frac{\sphericalangle BOC}{2}$$
Unghiurile $AOB$ și $BOC$ fiind adiacente:
$$\sphericalangle MON=\sphericalangle MOB+\sphericalangle BON=\frac{\sphericalangle AOB+\sphericalangle BOC}{2}=\frac{160^{\circ }}{2}=80^{\circ }$$

Răspuns corect: b)

---

Subiectul al II-lea, 3)

Suma unghiurilor în jurul punctului $O$ este $360^{\circ }$, deci măsura unghiului $AOC$ la centru este:
$$\sphericalangle AOC=360^{\circ }-(\sphericalangle AOB+\sphericalangle BOC)=360^{\circ }-(140^{\circ }+120^{\circ })=360^{\circ }-260^{\circ }=100^{\circ }$$
Unghiul înscris în cerc $\sphericalangle ABC$ subîntinde arcul $AC$, deci măsura sa este jumătate din măsura unghiului la centru corespunzător:
$$\sphericalangle ABC=\frac{\sphericalangle AOC}{2}=\frac{100^{\circ }}{2}=50^{\circ }$$

Răspuns corect: a)

---

Subiectul al II-lea, 4)

Trapezul $ABCD$ este isoscel, deci diagonalele sunt congruente: $AC=BD=2\text{ km}$.
Traseul parcurs de Tudor este format din laturile triunghiului $ABC$: $AB$, $BC$ și $CA$.
Lungimea totală a traseului este:
$$AB+BC+CA=2,5\text{ km}+1,5\text{ km}+2\text{ km}=6\text{ km}$$

Răspuns corect: c)

---

Subiectul al II-lea, 5)

Unghiurile $\sphericalangle BAC$ și $\sphericalangle BDC$ sunt unghiuri înscrise în același cerc care subîntind același arc de cerc $\text{overparen}BC$, iar vârfurile $A$ și $D$ sunt de aceeași parte a dreptei $BC$.
Prin urmare, măsurile lor sunt egale:
$$\sphericalangle BDC=\sphericalangle BAC=60^{\circ }$$

Răspuns corect: b)

---

Subiectul al II-lea, 6)

Volumul unui cub de piatră este:
$$V_{\text{cub}}=l^3=(0,5\text{ dm}{)}^3=0,125{\text{ dm}}^3$$
Volumul celor 8 cuburi scufundate complet este:
$$V_{\text{total}}=8\cdot 0,125{\text{ dm}}^3=1{\text{ dm}}^3$$
Deoarece $1{\text{ dm}}^3=1\text{ litru}$, cantitatea de apă vărsată din acvariu este de $1\text{ litru}$.

Răspuns corect: b)

---

Subiectul al III-lea, 1)

a)
Media aritmetică a numerelor $b$ și $c$ este $\frac{b+c}{2}=0,25$, de unde rezultă:
$$b+c=2\cdot 0,25=0,5$$
Suma celor trei numere este $a+b+c=1$.
Înlocuind $b+c=0,5$, avem:
$$a+0,5=1⟹a=0,5$$
Deoarece $a=0,5$ și $b+c=0,5$, deducem că $a=b+c$. (2p)

b)
Media geometrică a numerelor $a$ și $5b$ este $1$:
$$\sqrt{a\cdot 5b}=1⟹5ab=1⟹ab=0,2$$
Știind că $a=0,5$, obținem:
$$0,5\cdot b=0,2⟹b=\frac{0,2}{0,5}=0,4$$
Cum $b+c=0,5$, rezultă:
$$c=0,5-0,4=0,1$$ (2p)

Calculăm suma pătratelor numerelor $a,b,c$:
$$a^2+b^2+c^2=(0,5{)}^2+(0,4{)}^2+(0,1{)}^2=0,25+0,16+0,01=0,42$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 2)

a)
Înlocuim $x=0$ în expresia $E(x)$:
$$E(0)={\left(\frac{0}{\sqrt{2}}-\sqrt{2}\right)}^2-0\cdot \left(\frac{0}{2}-\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}(1-\sqrt{2})\cdot 0$$ (1p)
$$E(0)=(-\sqrt{2}{)}^2-0-0=2$$ (1p)

b)
Dezvoltăm și aducem expresia $E(x)$ la forma cea mai simplă:
$$E(x)={\left(\frac{x-2}{\sqrt{2}}\right)}^2-\frac{x^2}{2}+x\sqrt{2}-x\sqrt{2}+2x=\frac{x^2-4x+4}{2}-\frac{x^2}{2}+2x$$
$$E(x)=\frac{x^2}{2}-2x+2-\frac{x^2}{2}+2x=2$$ (2p)
Prin urmare, expresia este constantă: $E(x)=2$ pentru orice număr real $x$.
Atunci, pentru orice număr întreg $n$, avem $E(n)=2$ și $E(2n)=2$.
Calculăm valoarea lui $N$:
$$N=E(n)+2\cdot E(2n)+1485=2+2\cdot 2+1485=2+4+1485=1491$$
Verificăm divizibilitatea cu $7$:
$$1491:7=213⟹1491=7\cdot 213$$
Deci $N$ este divizibil cu $7$, pentru orice număr întreg $n$. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 3)

a)
Aducem fracțiile din paranteză la numitorul comun $6$:
$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{3+2-1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$ (1p)
Calculăm $x$:
$$x=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}=1$$ (1p)

b)
Calculăm $y$ folosind regulile de calcul cu puteri:
$$16^2=(2^4{)}^2=2^8$$
$$(2^2{)}^3=2^6$$
$$y=2^8:2^6:2=2^{8-6}:2=2^2:2=4:2=2$$ (2p)

Avem $x-y=1-2=-1$.
Calculăm expresia cerută:
$$(x-y{)}^{2022}+(x-y{)}^{2021}=(-1{)}^{2022}+(-1{)}^{2021}=1+(-1)=0$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 4)

a)
Aria dreptunghiului $ABCD$ este:
$${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot BC$$ (1p)
Cum $BC=AD=10\text{ cm}$ și $AB=14\text{ cm}$, obținem:
$${\mathcal{A}}_{ABCD}=14\cdot 10=140{\text{ cm}}^2$$ (1p)

b)
Deoarece $ABCD$ este dreptunghi, avem $AB\parallel CD$, deci $AB\parallel ME$.
Dreapta $AE$ este secantă pentru dreptele paralele $AB$ și $CD$, așadar unghiurile alterne interne sunt congruente:
$$\sphericalangle MEA=\sphericalangle BAE$$
Pe de altă parte, $AE$ este bisectoarea unghiului $\sphericalangle BAM$, deci:
$$\sphericalangle BAE=\sphericalangle MAE$$
Din cele două relații rezultă că $\sphericalangle MEA=\sphericalangle MAE$, ceea ce înseamnă că triunghiul $MEA$ este isoscel, având laturile opuse unghiurilor congruente egale: $ME=AM$. (2p)

Din ipoteză avem $AM=AB$, deci $ME=AB$.
Deoarece $ME\parallel AB$ și $ME=AB$, patrulaterul $AMEB$ este paralelogram.
Fiind paralelogram cu două laturi consecutive egale ($AM=AB$), rezultă că $AMEB$ este romb. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 5)

a)
În triunghiul dreptunghic $ABC$, se dă $\cos C=\frac{1}{2}$.
Deoarece unghiul $C$ este ascuțit, rezultă $\sphericalangle C=60^{\circ }$. (1p)
Triunghiul $ABC$ fiind dreptunghic în $A$, suma măsurilor unghiurilor ascuțite este $90^{\circ }$:
$$\sphericalangle ABC=90^{\circ }-\sphericalangle C=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$$ (1p)

b)
Segmentul $AM$ este mediană corespunzătoare ipotenuzei $BC$, deci:
$$BC=2\cdot AM=2\cdot 6\text{ cm}=12\text{ cm}$$
În triunghiul dreptunghic $ABC$ cu $\sphericalangle B=30^{\circ }$:
$$AC=\frac{BC}{2}=6\text{ cm}$$
Prin teorema lui Pitagora sau folosind funcții trigonometrice:
$$AB=BC\cdot \cos 30^{\circ }=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\text{ cm}$$
Distanțele de la vârfurile triunghiului la laturile opuse sunt chiar cele trei înălțimi:

• Din $B$ pe $AC$: lungimea este $AB=6\sqrt{3}\text{ cm}$
• Din $C$ pe $AB$: lungimea este $AC=6\text{ cm}$
• Din $A$ pe $BC$: înălțimea $AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{6\sqrt{3}\cdot 6}{12}=3\sqrt{3}\text{ cm}$ (2p)

Suma acestor distanțe este:
$$S=AB+AC+AD=6\sqrt{3}+6+3\sqrt{3}=6+9\sqrt{3}\text{ cm}$$
Pentru a demonstra că $S>21$, observăm că:
$$9\sqrt{3}=\sqrt{9^2\cdot 3}=\sqrt{81\cdot 3}=\sqrt{243}$$
Cum $243>225$, avem $\sqrt{243}>\sqrt{225}=15$, deci:
$$S=6+9\sqrt{3}>6+15=21\text{ cm}$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 6)

a)
În piramida regulată $VABCD$, fețele laterale sunt triunghiuri isoscele. Deoarece $VA=VB=VC=VD=6\text{ cm}$ și $BC=6\text{ cm}$, triunghiul $VBC$ este echilateral cu latura de $6\text{ cm}$. (1p)
Segmentul $VM$ este mediana corespunzătoare bazei în triunghiul echilateral $VBC$, deci este și înălțime (apotema piramidei):
$$VM=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\text{ cm}$$ (1p)

b)
Fie $O$ centrul bazei $ABCD$.
Deoarece $M$ este mijlocul segmentului $BC$, iar $O$ este mijlocul diagonalei $AC$, segmentul $OM$ este linie mijlocie în $△CAB$, prin urmare $OM\parallel AB$.
Cum $AB\subset (VAB)$, rezultă că dreapta $OM$ este paralelă cu planul $(VAB)$.
Prin urmare:
$$d(M,(VAB))=d(O,(VAB))$$ (1p)

Fie $E$ mijlocul muchiei $AB$. Deoarece $△VAB$ este echilateral, avem $VE\perp AB$, iar în pătratul $ABCD$, avem $OE\perp AB$.
Cum $VE,OE\subset (VOE)$ și $VE\cap OE=\{E\}$, rezultă că $AB\perp (VOE)$.
Construim $OQ\perp VE$, cu $Q\in VE$.
Deoarece $AB\perp (VOE)$ și $OQ\subset (VOE)$, rezultă că $AB\perp OQ$.
Cum $OQ\perp VE$ și $OQ\perp AB$, iar $VE,AB\subset (VAB)$ cu $VE\cap AB=\{E\}$, deducem că $OQ\perp (VAB)$, deci:
$$d(O,(VAB))=OQ$$ (1p)

În triunghiul dreptunghic $VOE$ (cu $\sphericalangle VOE=90^{\circ }$):

• $OE=\frac{BC}{2}=\frac{6}{2}=3\text{ cm}$
• $VE=3\sqrt{3}\text{ cm}$ (apotemă)
• Înălțimea piramidei: $VO=\sqrt{V{E}^2-O{E}^2}=\sqrt{(3\sqrt{3}{)}^2-3^2}=\sqrt{27-9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\text{ cm}$

Înălțimea $OQ$ corespunzătoare ipotenuzei $VE$ este:
$$OQ=\frac{VO\cdot OE}{VE}=\frac{3\sqrt{2}\cdot 3}{3\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{6}\text{ cm}$$
Deci distanța de la punctul $M$ la planul $(VAB)$ este egală cu $\sqrt{6}\text{ cm}$. (1p)

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

1. (5p) Câtul împărțirii numărului $62$ la $12$ este numărul:

   • a) $2$
   • b) $5$
   • c) $12$
   • d) $62$

2. (5p) Dacă $3a=2b$ și $b\ne 0$, atunci $\frac{a}{b}$ este egal cu:

   • a) $\frac{3}{1}$
   • b) $\frac{2}{1}$
   • c) $\frac{3}{2}$
   • d) $\frac{2}{3}$

3. (5p) Numărul $a$ este un element din mulțimea $\{-8,-5,0,1\}$. Cea mai mică valoare pe care o poate avea expresia $|a+3|$ este egală cu:

   • a) $2$
   • b) $3$
   • c) $4$
   • d) $5$

4. (5p) Diferența dintre numerele $\frac{3}{2}$ și $0,25$, în această ordine, este egală cu:

   • a) $-1$
   • b) $1$
   • c) $\frac{5}{4}$
   • d) $\frac{7}{4}$

5. (5p) Scrisă sub formă de interval, mulțimea $A=\{x\in \mathbb{R}\mid |x|\le 2\}$ este egală cu:

   • a) $[2,+\infty )$
   • b) $(-\infty ,2]$
   • c) $(-\infty ,-2]$
   • d) $[-2,2]$

6. (5p) Andra, Sorin, Teo și Bogdan aleg câte un număr real, alegerile fiind evidențiate în tabelul de mai jos:

   Andra	Sorin	Teo	Bogdan
   $\sqrt{7}$	$\sqrt{5}$	$\sqrt{8}$	$\sqrt{3}$

   Toți cei care au ales număr mai mare decât $2$ sunt:

   • a) Andra, Sorin și Teo
   • b) Sorin, Teo și Bogdan
   • c) Andra, Sorin și Bogdan
   • d) Andra, Teo și Bogdan

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

1. (5p) În figura alăturată sunt reprezentate punctele coliniare, distincte, $A$, $B$, $C$ și $D$, în această ordine. Punctul $D$ este simetricul punctului $A$ față de punctul $C$, $AB=2\text{ cm}$ și $BC=3\text{ cm}$. Lungimea segmentului $AD$ este egală cu:

   [Figura: Punctele coliniare $A,B,C,D$, în această ordine]

   • a) $4\text{ cm}$
   • b) $5\text{ cm}$
   • c) $8\text{ cm}$
   • d) $10\text{ cm}$

2. (5p) În figura alăturată semidreptele $OM$ și $ON$ sunt bisectoarele unghiurilor adiacente $AOB$, respectiv $BOC$, iar suma măsurilor unghiurilor $AOB$ și $BOC$ este egală cu $160^{\circ }$. Măsura unghiului $MON$ este egală cu:

   [Figura: Două unghiuri adiacente $AOB$ și $BOC$, împreună cu bisectoarele $OM$ și $ON$]

   • a) $40^{\circ }$
   • b) $80^{\circ }$
   • c) $90^{\circ }$
   • d) $100^{\circ }$

3. (5p) În figura alăturată punctul $O$ este centrul cercului circumscris triunghiului $ABC$, măsura unghiului $AOB$ este de $140^{\circ }$ și măsura unghiului $BOC$ este de $120^{\circ }$. Măsura unghiului $ABC$ este:

   [Figura: Cercul circumscris triunghiului $ABC$ cu centrul $O$ și unghiurile la centru $AOB$ și $BOC$]

   • a) $50^{\circ }$
   • b) $60^{\circ }$
   • c) $70^{\circ }$
   • d) $80^{\circ }$

4. (5p) Trapezul isoscel $ABCD$ din figura alăturată reprezintă schița unui parc, $AB\parallel CD$, $AB=2,5\text{ km}$, $BD=2\text{ km}$ și $BC=1,5\text{ km}$. Segmentele $AD$, $BC$, $AC$, $BD$ și $AB$ reprezintă piste pentru biciclete. Tudor pornește din punctul $A$ și parcurge, o singură dată, traseul format din segmentele $AB$, $BC$ și $CA$, ajungând, la final, tot în punctul $A$. Lungimea traseului parcurs de Tudor este egală cu:

   [Figura: Trapezul isoscel $ABCD$ cu diagonalele $AC$ și $BD$]

   • a) $4\text{ km}$
   • b) $5,5\text{ km}$
   • c) $6\text{ km}$
   • d) $6,5\text{ km}$

5. (5p) În figura alăturată punctele distincte $A$, $B$, $C$ și $D$ aparțin cercului de centru $O$, astfel încât punctele $A$ și $D$ sunt de aceeași parte a dreptei $BC$. Unghiul $BAC$ are măsura de $60^{\circ }$. Măsura unghiului $BDC$ este de:

   [Figura: Cerc cu punctele $A,B,C,D$ pe el, astfel încât $A$ și $D$ sunt situate în același semicerc determinat de coarda $BC$]

   • a) $30^{\circ }$
   • b) $60^{\circ }$
   • c) $90^{\circ }$
   • d) $120^{\circ }$

6. (5p) Un acvariu este plin cu apă. În acvariu se scufundă complet 8 cuburi de piatră cu muchia de $0,5\text{ dm}$. Din acvariu se varsă o cantitate de apă egală cu:

   • a) $0,5\text{ litri}$
   • b) $1\text{ litru}$
   • c) $1,25\text{ litri}$
   • d) $8\text{ litri}$

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrieți rezolvările complete. (30 de puncte)

1. Se consideră numerele reale $a$, $b$ și $c$ astfel încât suma lor este egală cu $1$, iar media aritmetică a numerelor $b$ și $c$ este egală cu $0,25$.

   • (2p) a) Arată că numărul $a$ este egal cu suma dintre $b$ și $c$.
   • (3p) b) Știind, în plus, că media geometrică a lui $a$ și $5b$ este $1$, determină suma pătratelor numerelor $a$, $b$ și $c$, exprimând rezultatul sub formă de fracție zecimală.

2. Se consideră expresia $E(x)={\left(\frac{x}{\sqrt{2}}-\sqrt{2}\right)}^2-x\left(\frac{x}{2}-\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}(1-\sqrt{2})x$, unde $x$ este număr real.

   • (2p) a) Arată că $E(0)=2$.
   • (3p) b) Arată că numărul $N=E(n)+2\cdot E(2n)+1485$ este divizibil cu $7$, pentru orice număr întreg $n$.

3. Se consideră numerele $x=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\right)\cdot \frac{3}{2}$ și $y=16^2:(2^2{)}^3:2$.

   • (2p) a) Arată că $x=1$.
   • (3p) b) Arată că $(x-y{)}^{2022}+(x-y{)}^{2021}=0$.

4. În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi $ABCD$ cu $AB=14\text{ cm}$ și $AD=10\text{ cm}$. Punctul $M$ este situat pe latura $CD$ astfel încât $AM=AB$. Bisectoarea unghiului $BAM$ intersectează dreapta $CD$ în punctul $E$.

   [Figura: Dreptunghiul $ABCD$ cu punctul $M$ pe latura $CD$, bisectoarea unghiului $BAM$ intersectează dreapta $CD$ în $E$]

   • (2p) a) Arată că aria dreptunghiului $ABCD$ este egală cu $140{\text{ cm}}^2$.
   • (3p) b) Demonstrează că patrulaterul $AMEB$ este romb.

5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$. Punctul $M$ este mijlocul ipotenuzei $BC$, $AM=6\text{ cm}$ și $\cos C=\frac{1}{2}$.

   [Figura: Triunghiul dreptunghic $ABC$ cu $\sphericalangle A=90^{\circ }$ și mediana $AM$ corespunzătoare ipotenuzei $BC$]

   • (2p) a) Determină măsura unghiului $ABC$.
   • (3p) b) Arată că suma distanțelor de la vârfurile triunghiului $ABC$ la laturile opuse acestora este mai mare decât $21$.

6. În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată $VABCD$ cu baza $ABCD$, $AB=VA=6\text{ cm}$. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $BC$.

   [Figura: Piramidă patrulateră regulată $VABCD$ cu baza pătratul $ABCD$, centrul bazei $O$ și punctul $M$ mijlocul lui $BC$]

   • (2p) a) Arată că apotema piramidei $VABCD$ are lungimea de $3\sqrt{3}\text{ cm}$.
   • (3p) b) Calculează distanța de la punctul $M$ la planul $(VAB)$.