Evaluare Națională 2021, matematică: test de antrenament 8

Subiectul I, 1)

Răspuns corect: c)
Efectuăm mai întâi operația de împărțire, conform ordinii operațiilor:
$$20:4=5$$
Apoi efectuăm scăderea:
$$20-5=15$$

---

Subiectul I, 2)

Răspuns corect: b)
Avem ecuația:
$$\frac{30}{100}\cdot x=3⟺\frac{3}{10}\cdot x=3⟺x=3\cdot \frac{10}{3}=10$$

---

Subiectul I, 3)

Răspuns corect: c)
Elementele mulțimii $A$ sunt ordonate crescător:
$$-5<-4<-2<0<8<9<12$$
Cel mai mic element este $-5$, iar cel mai mare element este $12$.
Suma lor este:
$$-5+12=7$$

---

Subiectul I, 4)

Răspuns corect: b)
Comparăm numerele scrise cu același număr de zecimale:

• $18,0900$
• $18,1000$
• $18,0990$
• $18,0999$

Deoarece prima zecimală (cifra zecimilor) este $1$ pentru $18,1$ și $0$ pentru celelalte, cel mai mare număr este $18,1$.

---

Subiectul I, 5)

Răspuns corect: a)
Inecuația cu modul este:
$$|x-2|\le 1⟺-1\le x-2\le 1$$
Adunăm $2$ în toți termenii:
$$1\le x\le 3$$
Deoarece $x\in \mathbb{N}$, valorile posibile sunt $x\in \{1,2,3\}$.
Prin urmare, $B=\{1,2,3\}$.

---

Subiectul I, 6)

Răspuns corect: a)
Clasa are $6$ ore de curs și $5$ pauze între ele (între orele 1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6):

• Durata orelor de curs: $6\times 40\text{ minute}=240\text{ minute}=4\text{ ore}$.
• Durata pauzelor: $5\times 5\text{ minute}=25\text{ minute}$.
• Timp total: $4\text{ ore și }25\text{ minute}$.

Începând la ora $8,00$, cursurile se vor termina la ora $8,00+4\text{ h }25\text{ min}=12,25$ (ora $12$ și $25$ de minute).
Afirmația este adevărată.

---

Subiectul al II-lea, 1)

Răspuns corect: a)
Punctele sunt coliniare în ordinea $A,B,C,D,E$.
Calculăm distanțele:

• $AC=AB+BC=1\text{ cm}+2\text{ cm}=3\text{ cm}$.
• $CD=3\text{ cm}$.

Deoarece $AC=CD=3\text{ cm}$, punctul $C$ este mijlocul segmentului $AD$.

---

Subiectul al II-lea, 2)

Răspuns corect: d)
Suma unghiurilor în jurul punctului $O$ este $360^{\circ }$. Deoarece unghiurile $AOB$, $BOC$ și $COA$ au măsuri egale:
$$\sphericalangle AOB=\sphericalangle BOC=\sphericalangle COA=\frac{360^{\circ }}{3}=120^{\circ }$$
Semidreapta $OD$ este bisectoarea unghiului $AOB$, deci:
$$\sphericalangle AOD=\sphericalangle DOB=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }$$
Măsura unghiului $COD$ este:
$$\sphericalangle COD=\sphericalangle DOB+\sphericalangle BOC=60^{\circ }+120^{\circ }=180^{\circ }$$
(sau $\sphericalangle COD=\sphericalangle DOA+\sphericalangle AOC=60^{\circ }+120^{\circ }=180^{\circ }$).

---

Subiectul al II-lea, 3)

Răspuns corect: b)
Triunghiul $ABC$ fiind isoscel cu baza $BC$, iar $D$ fiind mijlocul lui $BC$, mediana $AD$ este și înălțime ($AD\perp BC$).
Lungimea bazei este:
$$BC=2\cdot BD=2\cdot 4=8\text{ cm}$$
Aria triunghiului $ABC$ este:
$${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{BC\cdot AD}{2}=\frac{8\cdot 3}{2}=12{\text{ cm}}^2$$

---

Subiectul al II-lea, 4)

Răspuns corect: b)
Linia mijlocie $L_m$ a unui trapez este egală cu semisuma bazelor:
$$L_m=\frac{AB+CD}{2}=\frac{160+100}{2}=\frac{260}{2}=130\text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 5)

Răspuns corect: d)
Unghiul la centru $\sphericalangle AOC$ subîntinde arcul mic $AC$, deci:
$$\sphericalangle AOC=60^{\circ }$$
În triunghiul $AOC$, avem $OA=OC=R$ (raze ale cercului). Deoarece este isoscel cu un unghi de $60^{\circ }$, triunghiul $AOC$ este echilateral.
Rezultă că raza cercului este:
$$R=OA=AC=6\text{ cm}$$
Aria cercului este:
$$\mathcal{A}=\pi R^2=\pi \cdot 6^2=36\pi {\text{ cm}}^2$$

---

Subiectul al II-lea, 6)

Răspuns corect: d)
Segmentul $B^{\prime }{D}^{\prime }$ este situat în planul bazei superioare $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$, iar proiecția sa pe planul bazei inferioare $(ABCD)$ este diagonala $BD$.
Deoarece bazele cubului sunt paralele, avem $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$.
Prin urmare, unghiul dintre dreptele $B^{\prime }{D}^{\prime }$ și $AC$ este unghiul dintre $BD$ și $AC$.
Cum $ABCD$ este pătrat, diagonalele sale sunt perpendiculare: $AC\perp BD$.
Astfel, măsura unghiului este de $90^{\circ }$.

---

Subiectul al III-lea, 1)

a)

• Dublul numărului $8$ este $2\cdot 8=16$. Jumătatea numărului $8$ este $\frac{8}{2}=4$. (1p)
• Verificăm relația din enunț: adunând $6$ la jumătatea numărului obținem $4+6=10$. Cum $10\ne 16$, rezultă că nu este posibil ca $n$ să fie egal cu $8$. (1p)

b)

• Scriem ecuația din enunț: $2n=\frac{n}{2}+6$. (1p)
• Înmulțim cu $2$: $4n=n+12⟹3n=12⟹n=4$. (1p)
• Căutăm numărul natural $m$ cu proprietatea $m^2=n=4$. Deoarece $m\in \mathbb{N}$, obținem $m=2$. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 2)

a)

• Dezvoltăm expresia $E(x)$:
  $$E(x)=2(x^2+6x+9)-(x^2-4)-2(5x+7)-7$$
  $$E(x)=2x^2+12x+18-x^2+4-10x-14-7$$
  $$E(x)=x^2+2x+1=(x+1{)}^2\text{, pentru orice }x\in \mathbb{R}\text{.}\text{(2p)}$$
• Calculăm $E(\sqrt{3}-1)$:
  $$E(\sqrt{3}-1)=((\sqrt{3}-1)+1{)}^2=(\sqrt{3}{)}^2=3.\text{(1p)}$$

b)

• Calculăm $E(-1)$:
  $$E(-1)=(-1+1{)}^2=0^2=0.\text{(1p)}$$
• Produsul cerut conține factorul $E(-1)$:
  $$E(-1)\cdot E(0)\cdot E(1)\cdot \cdots \cdot E(2021)=0\cdot E(0)\cdot E(1)\cdot \cdots \cdot E(2021)=0.\text{(1p)}$$

---

Subiectul al III-lea, 3)

a)

• Calculăm $f\left(\sqrt{3}+\frac{3}{2}\right)$:
  $$f\left(\sqrt{3}+\frac{3}{2}\right)=\sqrt{3}+\frac{3}{2}-3=\sqrt{3}+\frac{3-6}{2}=\sqrt{3}-\frac{3}{2}.\text{(1p)}$$
• Deoarece ordonata punctului este egală cu valoarea funcției în abscisă, rezultă că punctul $A\left(\sqrt{3}+\frac{3}{2},\sqrt{3}-\frac{3}{2}\right)$ aparține reprezentării geometrice a graficului funcției $f$. (1p)

b)

• Determinăm punctele de intersecție cu axele de coordonate:
  • Cu axa $Ox$: $f(x)=0⟹x-3=0⟹x=3$, deci $P(3,0)$, iar $OP=3$.
  • Cu axa $Oy$: $f(0)=-3$, deci $Q(0,-3)$, iar $OQ=|-3|=3$. (2p)
• Triunghiul $△POQ$ este dreptunghic în $O$ ($m(\sphericalangle POQ)=90^{\circ }$) și este isoscel deoarece $OP=OQ=3$.
  Într-un triunghi dreptunghic isoscel, mediana corespunzătoare ipotenuzei este și înălțime.
  Prin urmare, dreapta ce unește originea $O$ cu mijlocul segmentului $PQ$ este perpendiculară pe segmentul $PQ$. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 4)

a)

• Triunghiul $△AEB$ este isoscel ($m(\sphericalangle EAB)=m(\sphericalangle EBA)$ din trapezul isoscel $ABCD$).
  Deoarece $EN\perp AB$, $EN$ este înălțime și mediană în $△AEB$, deci:
  $$AN=\frac{AB}{2}=\frac{24}{2}=12\text{ cm}.\text{(1p)}$$
• În trapezul isoscel $ABCD$, lungimea segmentului $AM$ este:
  $$AM=\frac{AB-CD}{2}=\frac{24-8}{2}=8\text{ cm}$$
  În triunghiul dreptunghic $△AMD$, cu teorema lui Pitagora:
  $$DM=\sqrt{A{D}^2-A{M}^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6\text{ cm}.\text{(1p)}$$
• Deoarece $DM\perp AB$ și $EN\perp AB$, avem $DM\parallel EN$, deci $△AMD\sim △ANE$:
  $$\frac{DM}{EN}=\frac{AM}{AN}⟹\frac{6}{EN}=\frac{8}{12}⟹EN=\frac{6\cdot 12}{8}=9\text{ cm}.\text{(1p)}$$

b)

• Fie $\{T\}=EN\cap CD$. Deoarece $EN\perp AB$ și $CD\parallel AB$, avem și $EN\perp CD$, deci patrulaterul $DMNT$ este dreptunghi, de unde $TN=DM=6\text{ cm}$.
  Atunci $ET=EN-TN=9-6=3\text{ cm}$.
  Deoarece $CD\parallel MN$, avem $△CTG\sim △MNG$ (sau chiar $△MNG\equiv △CTG$ deoarece $T$ este mijlocul lui $CD$, $CT=4\text{ cm}$, iar $MN=AN-AM=12-8=4\text{ cm}$).
  Rezultă $GN=GT=\frac{TN}{2}=\frac{6}{2}=3\text{ cm}$. (1p)
• Avem $EN=9\text{ cm}$ și $GN=3\text{ cm}$, de unde:
  $$\frac{GN}{EN}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}⟹GE=EN-GN=6\text{ cm}⟹\frac{GE}{EN}=\frac{2}{3}$$
  Cum $EN$ este mediană în $△ABE$, iar punctul $G$ se află pe mediană la două treimi de vârf și o treime de bază, rezultă că $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABE$. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 5)

a)

• În triunghiul $△ABC$ dreptunghic în $A$, cu $m(\sphericalangle B)=30^{\circ }$, conform teoremei unghiului de $30^{\circ }$:
  $$AC=\frac{BC}{2}⟹BC=2\cdot AC=2\cdot 12=24\text{ cm}$$
  Folosind teorema lui Pitagora:
  $$AB=\sqrt{B{C}^2-A{C}^2}=\sqrt{24^2-12^2}=\sqrt{576-144}=\sqrt{432}=12\sqrt{3}\text{ cm}.\text{(1p)}$$
• Aria triunghiului $△ABC$ este:
  $${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{12\sqrt{3}\cdot 12}{2}=72\sqrt{3}{\text{ cm}}^2.\text{(1p)}$$

b)

• În $△ABC$ dreptunghic în $A$, măsura unghiului $\sphericalangle ACB$ este:
  $$m(\sphericalangle ACB)=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$$
  Punctele $A,C,D$ sunt coliniare (deoarece $D$ este simetricul lui $A$ față de $C$), deci unghiurile $\sphericalangle ACB$ și $\sphericalangle DCP$ (unde $P$ este proiecția lui $D$ pe $BC$, $DP\perp BC$, $P\in BC$) sunt opuse la vârf:
  $$m(\sphericalangle DCP)=m(\sphericalangle ACB)=60^{\circ }.\text{(1p)}$$
• Punctul $D$ fiind simetricul lui $A$ față de $C$, avem $CD=AC=12\text{ cm}$.
  În triunghiul dreptunghic $△DPC$ (cu $m(\sphericalangle DPC)=90^{\circ }$):
  $$\sin (\sphericalangle DCP)=\frac{DP}{CD}⟹\sin 60^{\circ }=\frac{DP}{12}$$
  $$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{DP}{12}⟹DP=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\text{ cm}$$
  Așadar, distanța de la punctul $D$ la dreapta $BC$ este $6\sqrt{3}\text{ cm}$. (2p)

---

Subiectul al III-lea, 6)

a)

• O prismă triunghiulară regulată are $6$ muchii ale bazelor (fiecare de lungime $AB=12\text{ cm}$) și $3$ muchii laterale (fiecare de lungime $A{A}^{\prime }=12\sqrt{3}\text{ cm}$):
  $$S=6\cdot AB+3\cdot A{A}^{\prime }.\text{(1p)}$$
• Calculăm:
  $$S=6\cdot 12+3\cdot 12\sqrt{3}=72+36\sqrt{3}=36(2+\sqrt{3})\text{ cm}.\text{(1p)}$$

b)

• Planele $(MBC)$ și $(M{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ conțin dreptele paralele $BC$ și $B^{\prime }{C}^{\prime }$, deci dreapta lor de intersecție este o dreaptă paralelă cu acestea.
  Fie $MN$ dreapta de intersecție, cu $MN\parallel BC\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$. Cum $M$ este mijlocul lui $A^{\prime }B$, $N$ este mijlocul lui $A^{\prime }C$ (sau $A{C}^{\prime }$), deci $MN$ este linie mijlocie.
  Fie $P$ mijlocul segmentului $MN$. Rezultă $AP\perp MN$ și $A^{\prime }P\perp MN$, unde $AP\subset (M{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ și $A^{\prime }P\subset (MBC)$.
  Unghiul dintre planele $(MBC)$ și $(M{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ este unghiul dintre dreptele $AP$ și $A^{\prime }P$, adică $\sphericalangle (AP,A^{\prime }P)$. (1p)
• Fie $Q$ mijlocul lui $BC$ și $R$ mijlocul lui $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Triunghiul $ABC$ este echilateral, deci:
  $$AQ=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\text{ cm}$$
  În dreptunghiul $A^{\prime }RQA$, punctul $P$ este intersecția diagonalelor fețelor sau mijlocul segmentului de simetrie. Triunghiul $△A^{\prime }AQ$ este dreptunghic în $A$, unde $A{A}^{\prime }=12\sqrt{3}\text{ cm}$ și $AQ=6\sqrt{3}\text{ cm}$.
  Ipotenuza este:
  $$A^{\prime }Q=\sqrt{(12\sqrt{3}{)}^2+(6\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{432+108}=\sqrt{540}=6\sqrt{15}\text{ cm}$$
  Mediana corespunzătoare ipotenuzei este:
  $$AP=\frac{A^{\prime }Q}{2}=\frac{6\sqrt{15}}{2}=3\sqrt{15}\text{ cm}.\text{(1p)}$$
• Fie $AS\perp A^{\prime }Q$, cu $S\in A^{\prime }Q$, înălțimea din $A$ în $△A^{\prime }AQ$:
  $$AS=\frac{A{A}^{\prime }\cdot AQ}{A^{\prime }Q}=\frac{12\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{3}}{6\sqrt{15}}=\frac{36}{\sqrt{15}}=\frac{12\sqrt{15}}{5}\text{ cm}$$
  În triunghiul dreptunghic $△ASP$, sinusul unghiului $\sphericalangle (AP,A^{\prime }P)$ este:
  $$\sin (\sphericalangle APQ)=\frac{AS}{AP}=\frac{\frac{12\sqrt{15}}{5}}{3\sqrt{15}}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$$
  Așadar, sinusul unghiului dintre planele $(MBC)$ și $(M{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ este $\frac{4}{5}$. (1p)

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

1. (5p) Rezultatul calculului $20-20:4$ este egal cu:

   • a) $0$
   • b) $4$
   • c) $15$
   • d) $20$

2. (5p) Dacă $\frac{30}{100}\cdot x=3$, atunci $x$ este egal cu:

   • a) $0,9$
   • b) $10$
   • c) $30$
   • d) $100$

3. (5p) Suma dintre cel mai mare element și cel mai mic element ale mulțimii $A=\{-5;-4;-2;0;8;9;12\}$ este egală cu:

   • a) $-17$
   • b) $-7$
   • c) $7$
   • d) $17$

4. (5p) Dintre numerele $18,09$; $18,1$; $18,099$ și $18,0999$, cel mai mare este:

   • a) $18,09$
   • b) $18,1$
   • c) $18,099$
   • d) $18,0999$

5. (5p) Se consideră mulțimea $B=\{x\in \mathbb{N}\mid |x-2|\le 1\}$. Dintre următoarele mulțimi, cea care reprezintă scrierea mulțimii $B$ prin enumerarea elementelor sale este:

   • a) $\{1,2,3\}$
   • b) $\{0,1,2,3\}$
   • c) $\{0,1,2\}$
   • d) $\{1,2\}$

6. (5p) Pentru a organiza festivitățile pentru ziua școlii, se hotărăște ca orele de curs să dureze câte $40$ de minute, iar pauzele dintre ore câte $5$ minute. Programul începe la ora $8,00$, iar clasa a VIII-a are șase ore de curs. Astfel, afirmația „Elevii clasei a VIII-a vor termina cele șase ore de curs la ora $12$ și $25$ de minute.” este:

   • a) adevărată
   • b) falsă

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

1. (5p) În figura alăturată sunt reprezentate punctele $A$, $B$, $C$, $D$ și $E$, care sunt coliniare în această ordine, astfel încât $AB=1\text{ cm}$, $BC=2\text{ cm}$, $CD=3\text{ cm}$ și $DE=4\text{ cm}$. Punctul $C$ este mijlocul segmentului:

   • a) $AD$
   • b) $AE$
   • c) $BD$
   • d) $BE$

   [Figura: Punctele coliniare A, B, C, D, E pe o dreaptă, în această ordine]

2. (5p) În figura alăturată unghiurile $AOB$, $BOC$ și $COA$, formate în jurul punctului $O$, au măsurile egale, iar semidreapta $OD$ este bisectoarea unghiului $AOB$. Măsura unghiului $COD$ este egală cu:

   • a) $60^{\circ }$
   • b) $90^{\circ }$
   • c) $120^{\circ }$
   • d) $180^{\circ }$

   [Figura: Unghiurile congruente AOB, BOC, COA în jurul punctului O și semidreapta OD, bisectoarea unghiului AOB]

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel $ABC$ cu baza $BC$. Punctul $D$ este mijlocul segmentului $BC$, $AD=3\text{ cm}$ și $BD=4\text{ cm}$. Aria triunghiului $ABC$ este egală cu:

   • a) $6{\text{ cm}}^2$
   • b) $12{\text{ cm}}^2$
   • c) $24{\text{ cm}}^2$
   • d) $30{\text{ cm}}^2$

   [Figura: Triunghiul isoscel ABC cu AD înălțime și mediană pe baza BC]

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat un trapez dreptunghic $ABCD$ cu $AD\perp AB$, $AB\parallel CD$, $AB=160\text{ cm}$ și $CD=100\text{ cm}$. Linia mijlocie a trapezului are lungimea egală cu:

   • a) $100\text{ cm}$
   • b) $130\text{ cm}$
   • c) $160\text{ cm}$
   • d) $260\text{ cm}$

   [Figura: Trapezul dreptunghic ABCD cu linia mijlocie desenată paralelă cu bazele]

5. (5p) În figura alăturată $AB$ și $CD$ sunt diametre în cercul de centru $O$, măsura arcului mic $AC$ este de $60^{\circ }$, iar lungimea coardei $AC$ este egală cu $6\text{ cm}$. Aria cercului de centru $O$ și rază $OA$ este egală cu:

   • a) $6\pi {\text{ cm}}^2$
   • b) $16\pi {\text{ cm}}^2$
   • c) $18\pi {\text{ cm}}^2$
   • d) $36\pi {\text{ cm}}^2$

   [Figura: Cercul de centru O în care AB și CD sunt diametre, iar AC este o coardă]

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Măsura unghiului dreptelor $B^{\prime }{D}^{\prime }$ și $AC$ este egală cu:

   • a) $30^{\circ }$
   • b) $45^{\circ }$
   • c) $60^{\circ }$
   • d) $90^{\circ }$

   [Figura: Cubul ABCDA'B'C'D' cu segmentele punctate B'D' și AC]

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrieți rezolvările complete. (30 de puncte)

1. Dublul unui număr întreg $n$ este cu $6$ mai mare decât jumătatea acestui număr.

   • (2p) a) Este posibil ca $n$ să fie egal cu $8$? Justifică răspunsul dat.
   • (3p) b) Determină numărul natural $m$ al cărui pătrat este $n$.

2. Se consideră expresia $E(x)=2(x+3{)}^2-(2+x)(x-2)-2(5x+7)-7$, unde $x$ este număr real.

   • (3p) a) Arată că $E(\sqrt{3}-1)=3$.
   • (2p) b) Demonstrează că $E(-1)\cdot E(0)\cdot E(1)\cdot E(2)\cdot \cdots \cdot E(2021)=0$.

3. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-3$.

   • (2p) a) Arată că punctul $A\left(\sqrt{3}+\frac{3}{2},\sqrt{3}-\frac{3}{2}\right)$ aparține reprezentării geometrice a graficului funcției $f$ în sistemul de coordonate $xOy$.
   • (3p) b) Demonstrează că dreapta ce trece prin originea sistemului de coordonate $xOy$ și prin mijlocul segmentului cu capetele în punctele de intersecție ale reprezentării geometrice a graficului funcției $f$ cu axele de coordonate este perpendiculară pe acest segment.

4. În figura alăturată este reprezentat trapezul isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AB=24\text{ cm}$, $CD=8\text{ cm}$ și $AD=10\text{ cm}$. Dreptele $AD$ și $BC$ se intersectează în punctul $E$, iar punctele $M$ și $N$ sunt situate pe dreapta $AB$ astfel încât $DM\perp AB$ și $EN\perp AB$.

   [Figura: Trapezul isoscel ABCD prelungit în triunghiul isoscel EAB, cu înălțimile DM și EN pe latura AB]

   • (2p) a) Arată că segmentul $EN$ este de lungime $9\text{ cm}$.
   • (3p) b) Știind că $G$ este punctul de intersecție a dreptelor $EN$ și $MC$, demonstrează că $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABE$.

5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, în care măsura unghiului $B$ este de $30^{\circ }$ și $AC=12\text{ cm}$. Punctul $D$ este simetricul punctului $A$ față de punctul $C$.

   [Figura: Triunghiul dreptunghic ABC cu cateta AC prelungită dincolo de C până la D, astfel încât AC = CD]

   • (2p) a) Arată că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $72\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$.
   • (3p) b) Calculează distanța de la punctul $D$ la dreapta $BC$.

6. În figura alăturată este reprezentată o prismă dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza triunghiul echilateral $ABC$, $AB=12\text{ cm}$, $A{A}^{\prime }=12\sqrt{3}\text{ cm}$ și punctul $M$ este mijlocul segmentului $A^{\prime }B$.

   [Figura: Prisma triunghiulară regulată ABCA'B'C' cu punctul M situat la mijlocul muchiei/diagonalei feței A'B]

   • (2p) a) Arată că suma lungimilor tuturor muchiilor prismei date este egală cu $36(2+\sqrt{3})\text{ cm}$.
   • (3p) b) Determină sinusul unghiului dintre planele $(MBC)$ și $(M{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.