Evaluare Națională 2021, matematică: test de antrenament 9

Subiectul I

1. Răspuns corect: c)
   Un număr este divizibil cu $3$ dacă și numai dacă suma cifrelor sale este un număr divizibil cu $3$:

• Pentru $2020$: $2+0+2+0=4$ (nedivizibil cu $3$)
• Pentru $2021$: $2+0+2+1=5$ (nedivizibil cu $3$)
• Pentru $2022$: $2+0+2+2=6$ ($6⋮3$, deci $2022$ este divizibil cu $3$)
• Pentru $2023$: $2+0+2+3=7$ (nedivizibil cu $3$)

2. Răspuns corect: b)
   Un kilogram de mere costă $17,5:5=3,5$ lei.
   Două kilograme de mere costă $2\cdot 3,5=7$ lei.

3. Răspuns corect: d)
   Temperatura la ora 14:00 este de $6^{\circ }\text{C}$, iar la ora 8:00 este de $-4^{\circ }\text{C}$.
   Diferența de temperatură este:
   $$6-(-4)=6+4=10^{\circ }\text{C}.$$

4. Răspuns corect: d)
   Calculăm valorile numerelor reale $x$ și $y$:
   $$x=\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{5}{4}=\frac{5}{2}=2,5$$
   $$y=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{4}=0,25$$
   Comparând valorile obținute, avem $2,5>0,25>0$, deci $x>y>0$.

5. Răspuns corect: a)
   Calculăm numerele $a$ și $b$:
   $$a=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$
   $$b=\sqrt{2^4+2^4}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$$
   Produsul lor este:
   $$a\cdot b=2\sqrt{2}\cdot 4\sqrt{2}=8\cdot 2=16$$
   Tudor a obținut rezultatul corect ($16$).

6. Răspuns corect: c)
   Procentul persoanelor cu vârsta cuprinsă între $30$ de ani și cel mult $50$ de ani reprezintă diferența până la $100\%$:
   $$100\%-(20\%+15\%+35\%)=100\%-70\%=30\%$$
   Numărul de persoane din această categorie este:
   $$\frac{30}{100}\cdot 100000=30000.$$

---

Subiectul al II-lea

1. Răspuns corect: c)
   Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$, deci $AB=2\cdot MB$.
   Punctul $N$ este mijlocul segmentului $BC$, deci $BC=2\cdot BN$.
   Lungimea segmentului $AC$ este:
   $$AC=AB+BC=2\cdot MB+2\cdot BN=2(MB+BN)=2\cdot MN=2\cdot 5\text{ cm}=10\text{ cm}.$$

2. Răspuns corect: d)
   Dreptele $a$ și $b$ fiind paralele, unghiurile interne de aceeași parte a secantei $d$ sunt suplementare.
   Unghiul format de secanta $d$ cu dreapta $a$ este de $40^{\circ }$, prin urmare:
   $$x=180^{\circ }-40^{\circ }=140^{\circ }.$$

3. Răspuns corect: c)
   În $△ABC$ dreptunghic în $A$, $\sphericalangle B=60^{\circ }$, deci $\sphericalangle C=30^{\circ }$.
   $BE$ fiind bisectoarea unghiului $\sphericalangle ABC$, rezultă că $\sphericalangle ABE=\sphericalangle EBC=30^{\circ }$.
   În $△ABE$ dreptunghic în $A$, cu măsura unghiului $\sphericalangle ABE=30^{\circ }$, cateta $AE$ se opune unghiului de $30^{\circ }$, deci ipotenuza este $BE=2\cdot AE=2\cdot 3\text{ m}=6\text{ m}$.
   În $△EBC$, $\sphericalangle EBC=30^{\circ }$ și $\sphericalangle ECB=30^{\circ }$, deci $△EBC$ este isoscel cu $EC=BE=6\text{ m}$.
   Fie $M$ intersecția dintre $EF$ și $BC$. Deoarece $F$ este simetricul lui $E$ față de $BC$, dreapta $BC$ este mediatoarea segmentului $EF$, deci $EM\perp BC$ și $EF=2\cdot EM$.
   În $△EBM$ dreptunghic în $M$, $\sphericalangle EBM=30^{\circ }$, deci cateta opusă este $EM=\frac{BE}{2}=3\text{ m}$, de unde $EF=6\text{ m}$.
   De asemenea, punctul $C$ fiind pe mediatoarea segmentului $EF$, avem $FC=EC=6\text{ m}$.
   Lungimea traseului este:
   $$EF+FC=6\text{ m}+6\text{ m}=12\text{ m}.$$

4. Răspuns corect: c)
   Fie $h$ înălțimea corespunzătoare bazei $BC$ în paralelogramul $ABCD$.
   Aria paralelogramului este ${\mathcal{A}}_{ABCD}=BC\cdot h$.
   Punctul $P$ se află pe latura $AD$, care este paralelă cu $BC$, astfel că distanța de la $P$ la dreapta $BC$ este egală cu înălțimea paralelogramului, adică $h$.
   Aria triunghiului $PBC$ este:
   $${\mathcal{A}}_{△PBC}=\frac{BC\cdot h}{2}=\frac{1}{2}{\mathcal{A}}_{ABCD}.$$
   Raportul cerut este $\frac{1}{2}$.

5. Răspuns corect: b)
   Coardele congruente $AB=BC=CD=DE=EA$ împart cercul în $5$ arce congruente, fiecare având măsura:
   $$\frac{360^{\circ }}{5}=72^{\circ }.$$
   Unghiul $\sphericalangle EAB$ este un unghi înscris în cerc care subîntinde arcul $EDB$ (care conține punctele $E,D,C,B$), format din $3$ arce de $72^{\circ }$:
   $$m(\text{overparen}EDB)=3\cdot 72^{\circ }=216^{\circ }.$$
   Măsura unghiului înscris este jumătate din măsura arcului subîntins:
   $$\sphericalangle EAB=\frac{216^{\circ }}{2}=108^{\circ }.$$

6. Răspuns corect: b)
   Volumul total (capacitatea maximă) al acvariului în formă de prismă dreaptă cu baza pătrat este:
   $$V=A_{\text{baza˘}}\cdot h_{\text{prisma˘}}=6^2\cdot 4=36\cdot 4=144{\text{ dm}}^3.$$
   Jumătatea capacității este:
   $$\frac{144}{2}=72{\text{ dm}}^3.$$
   Deoarece $1{\text{ dm}}^3=1\text{ litru}$, numărul de litri de apă este $72$.

---

Subiectul al III-lea

Subiectul al III-lea, 1)

a) Fie $c$ numărul de răspunsuri corecte și $g$ numărul de răspunsuri greșite, unde $c,g\in \mathbb{N}$ și $c+g=20$.
Punctajul total obținut este:
$$P=4c-2g=2(2c-g).$$

• Deoarece $2(2c-g)$ este produsul dintre $2$ și un număr întreg, punctajul total obținut este întotdeauna un număr par. (1p)
• Întrucât $65$ este un număr impar, nu este posibil ca Mihai să fi obținut $65$ de puncte. (1p)

b) Notăm cu $x$ numărul răspunsurilor corecte obținute de Silvia. Numărul răspunsurilor greșite este $20-x$.
Ecuația punctajului este:
$$4x-2(20-x)=50$$ (2p)
Rezolvăm ecuația:
$$4x-40+2x=50$$
$$6x-40=50$$
$$6x=90⟹x=15.$$ (1p)
Silvia a răspuns corect la $15$ întrebări.

---

Subiectul al III-lea, 2)

a) Dezvoltăm expresia folosind formulele de calcul prescurtat:
$$(x\sqrt{2}-3)(x\sqrt{2}+3)=(x\sqrt{2}{)}^2-3^2=2x^2-9$$
$$(2x+3{)}^2=4x^2+12x+9$$
$$2x(x+6,5)=2x^2+13x$$
Înlocuind în $E(x)$, obținem:
$$E(x)=2x^2-9-(4x^2+12x+9)+2x^2+13x+18$$ (2p)
$$E(x)=2x^2-9-4x^2-12x-9+2x^2+13x+18$$
$$E(x)=(2-4+2)x^2+(-12+13)x+(-9-9+18)=x,$$ pentru orice număr real $x$. (1p)

b) Folosind rezultatul $E(x)=x$, suma devine:
$$N=E(1)+E(2)+\cdots +E(49)=1+2+3+\cdots +49=\frac{49\cdot 50}{2}=49\cdot 25$$ (1p)
$$N=7^2\cdot 5^2=(7\cdot 5{)}^2=35^2,$$ așadar $N$ este pătratul numărului natural $35$. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 3)

a) Calculăm valorile celor două funcții pentru $x=1$:

• $f(1)=1+2=3⟹A(1,3)\in G_f$ (1p)
• $g(1)=-1+4=3⟹A(1,3)\in G_g$ (1p)
  Punctul $A(1,3)$ aparține ambelor reprezentări grafice, așadar este punctul de intersecție a reprezentărilor geometrice ale graficelor funcțiilor $f$ și $g$.

b) Punctul de intersecție al graficului funcției $f$ cu axa $Ox$ se obține pentru $f(x)=0$:
$$x+2=0⟹x=-2⟹B(-2,0).$$
Punctul de intersecție al graficului funcției $g$ cu axa $Ox$ se obține pentru $g(x)=0$:
$$-x+4=0⟹x=4⟹C(4,0).$$
Distanța dintre punctele $B$ și $C$ este:
$$BC=|4-(-2)|=6.$$ (2p)
Distanța de la punctul $A(1,3)$ la axa $Ox$ este dată de valoarea absolută a ordonatei lui $A$:
$$d(A,Ox)=|y_A|=3.$$
Deoarece $BC=6=2\cdot 3=2\cdot d(A,Ox)$, distanța $BC$ este egală cu dublul distanței de la punctul $A$ la axa $Ox$. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 4)

a) Deoarece $AB\parallel CD$, unghiurile alterne interne $\sphericalangle CDB$ și $\sphericalangle DBA$ sunt congruente.
În $△BCD$, având $DC=BC$, triunghiul este isoscel, deci $\sphericalangle CDB=\sphericalangle CBD$.
Cum $\sphericalangle BCD=120^{\circ }$, obținem:
$$\sphericalangle CDB=\sphericalangle CBD=\frac{180^{\circ }-120^{\circ }}{2}=30^{\circ },$$
de unde rezultă că $\sphericalangle DBA=30^{\circ }$. (1p)
În $△ABD$ dreptunghic în $A$, unghiul $\sphericalangle ABD=30^{\circ }$, prin urmare cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ este jumătate din ipotenuză:
$$AD=\frac{BD}{2}⟹BD=2\cdot AD=2\cdot 6\text{ cm}=12\text{ cm}.$$ (1p)

b) În $△DAB$ dreptunghic în $A$, $O$ este mijlocul ipotenuzei $BD$, deci mediana corespunzătoare ipotenuzei este:
$$AO=\frac{BD}{2}=6\text{ cm}.$$
În $△DEB$ dreptunghic în $E$ (deoarece $DE\perp BC$), $EO$ este mediana corespunzătoare ipotenuzei $BD$, deci:
$$EO=\frac{BD}{2}=6\text{ cm}.$$ (1p)
Triunghiurile dreptunghice $△DAB$ și $△DEB$ au ipotenuza comună $BD$ și $\sphericalangle ABD=\sphericalangle EBD=30^{\circ }$, deci sunt congruente (cazul I.U.), de unde:
$$DE=AD=6\text{ cm}.$$ (1p)
Patrulaterul $AOED$ are toate laturile egale cu $6\text{ cm}$ ($AD=DE=EO=OA=6\text{ cm}$), deci perimetrul său este:
$${\mathcal{P}}_{AOED}=4\cdot AD=4\cdot 6\text{ cm}=24\text{ cm}.$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 5)

a) Fie $M$ mijlocul bazei $BC$. În $△ABC$ isoscel cu $AB=AC$, mediana $AM$ este și înălțime, deci $AM\perp BC$.
Avem $BM=\frac{BC}{2}=\frac{8}{2}=4\text{ cm}$.
În $△ABM$ dreptunghic în $M$, aplicăm teorema lui Pitagora:
$$AM=\sqrt{A{B}^2-B{M}^2}=\sqrt{10^2-4^2}=\sqrt{100-16}=\sqrt{84}=2\sqrt{21}\text{ cm}.$$ (1p)
Aria triunghiului $ABC$ este:
$${\mathcal{A}}_{△ABC}=\frac{BC\cdot AM}{2}=\frac{8\cdot 2\sqrt{21}}{2}=8\sqrt{21}{\text{ cm}}^2.$$ (1p)

b) Triunghiul $ABC$ este isoscel ($AB=AC$), deci $\sphericalangle ABC=\sphericalangle ACB$.
Triunghiul $BDC$ este isoscel ($BD=BC$), deci $\sphericalangle BDC=\sphericalangle BCD=\sphericalangle ACB$.
Triunghiurile $ABC$ și $BDC$ au unghiul $\sphericalangle C$ comun și $\sphericalangle ABC=\sphericalangle BDC$, prin urmare:
$$△ABC\sim △BDC.$$ (1p)
Scriem raportul de asemănare al laturilor:
$$\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{DC}⟹\frac{10}{8}=\frac{8}{DC}⟹DC=\frac{64}{10}=6,4\text{ cm}.$$
Punctul $D$ fiind situat pe latura $AC=10\text{ cm}$, lungimea segmentului $AD$ este:
$$AD=AC-DC=10-6,4=3,6\text{ cm}.$$
Perimetrul triunghiului $ABD$ este:
$${\mathcal{P}}_{△ABD}=AB+BD+AD=10+8+3,6=21,6\text{ cm}.$$
Deoarece $21,6<22$, rezultă că perimetrul triunghiului $ABD$ este mai mic decât $22\text{ cm}$. (2p)

---

Subiectul al III-lea, 6)

a) Tetraedrul fiind regulat cu muchia de $6\text{ cm}$, toate fețele sunt triunghiuri echilaterale cu latura de $6\text{ cm}$.
Avem $AM=2\text{ cm}⟹BM=AB-AM=6-2=4\text{ cm}$.
Pe latura $BC$, $BN=2\text{ cm}⟹NC=BC-BN=4\text{ cm}$.
Fie $E$ mijlocul segmentului $NC$. Atunci $NE=EC=2\text{ cm}$, de unde $BE=BN+NE=4\text{ cm}$.
În $△ABC$, avem:
$$\frac{BM}{BA}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\text{și}\frac{BE}{BC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.$$
Conform reciprocei teoremei lui Thales, rezultă că $ME\parallel AC$. (1p)
Unghiul dintre dreptele $MN$ și $AC$ este unghiul dintre $MN$ și $ME$, adică $\sphericalangle NME$.
În triunghiul $MBE$, $BM=BE=4\text{ cm}$ și $\sphericalangle B=60^{\circ }$, deci $△MBE$ este echilateral.
Punctul $N$ este mijlocul laturii $BE$ ($BN=NE=2\text{ cm}$), deci $MN$ este mediană în triunghiul echilateral $MBE$, ceea ce înseamnă că $MN$ este și bisectoare.
Astfel, măsura unghiului dintre dreptele $MN$ și $AC$ este:
$$\sphericalangle NME=\frac{60^{\circ }}{2}=30^{\circ }.$$ (1p)

b) Pe fețele tetraedrului avem:

• $BM=CN=DP=AQ=4\text{ cm}$;
• $BN=CP=DQ=AM=2\text{ cm}$;
• toate unghiurile fețelor au măsura de $60^{\circ }$.
  Rezultă congruența triunghiurilor (cazul L.U.L.):
  $$△BMN\equiv △CNP\equiv △DPQ\equiv △AQM⟹MN=NP=PQ=QM.$$ (1p)
  În triunghiul isoscel $MNP$ ($MN=NP$), segmentul $NO$ este mediană ($O$ fiind mijlocul segmentului $MP$), deci $NO$ este și înălțime, prin urmare $NO\perp MP$.
  În mod similar, în triunghiul isoscel $MQP$ ($QM=QP$), segmentul $QO$ este mediană, deci $QO\perp MP$.
  Cum $NO\perp MP$, $QO\perp MP$, iar dreptele $NO$ și $QO$ sunt concurente în punctul $O$ și sunt incluse în planul $(NOQ)$, rezultă că:
  $$MP\perp (NOQ).$$ (2p)

Evaluarea Națională pentru absolvenții clasei a VIII-a

Anul școlar 2020 - 2021

Matematică

Testul 9

---

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Dintre numerele $2020$, $2021$, $2022$ și $2023$, numărul divizibil cu $3$ este:

a) $2020$

b) $2021$

c) $2022$

d) $2023$

5p 2. Cinci kilograme de mere costă $17,5$ lei. Două kilograme de mere, de același fel, costă:

a) $3,5$ lei

b) $7$ lei

c) $14$ lei

d) $35$ de lei

5p 3. Maria lucrează la un proiect. Pentru acesta, ea măsoară temperatura pe parcursul unei zile, din două în două ore, de la ora 8:00 până la ora 18:00. Temperaturile măsurate sunt înregistrate în tabelul de mai jos:

Ora	8:00	10:00	12:00	14:00	16:00	18:00
Temperatura (${}^{\circ }\text{C}$)	$-4$	$0$	$2$	$6$	$5$	$1$

Temperatura înregistrată la ora 14:00 este mai mare decât temperatura înregistrată la ora 8:00 cu:

a) $-9^{\circ }\text{C}$

b) $-6^{\circ }\text{C}$

c) $8^{\circ }\text{C}$

d) $10^{\circ }\text{C}$

5p 4. Se consideră numerele reale:
$$x=\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{4}\right)\text{și}y=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right).$$
Dintre enunțurile de mai jos, propoziția adevărată este:

a) $x=y$

b) $0>x>y$

c) $x>0>y$

d) $x>y>0$

5p 5. Tudor, Ilinca, Maria și Mihai calculează produsul numerelor $a=\sqrt{2^2+2^2}$ și $b=\sqrt{2^4+2^4}$ și obțin rezultatele înregistrate în tabelul următor:

Tudor	Ilinca	Maria	Mihai
$16$	$32$	$64$	$256$

Dintre cei patru elevi, cel care a obținut rezultatul corect este:

a) Tudor

b) Ilinca

c) Maria

d) Mihai

5p 6. În diagrama alăturată este reprezentată distribuția celor $100000$ de persoane ale unui oraș în funcție de grupa de vârstă din care fac parte.

[Figura: Diagramă circulară cu distribuția populației: Persoane cu vârsta între 18 ani și cel mult 30 de ani: 20%; Persoane cu vârsta de cel mult 18 ani: 15%; Persoane cu vârsta peste 50 de ani: 35%; Persoane cu vârsta între 30 de ani și cel mult 50 de ani: sectorul rămas.]

Numărul de persoane cu vârsta cuprinsă între $30$ de ani și cel mult $50$ de ani este egal cu:

a) $15000$

b) $20000$

c) $30000$

d) $35000$

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura alăturată sunt reprezentate punctele coliniare $A$, $B$ și $C$, în această ordine. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$ și punctul $N$ este mijlocul segmentului $BC$. Știind că $MN=5\text{ cm}$, lungimea segmentului $AC$ este egală cu:

[Figura: Segmentul AC pe care se află punctele coliniare A, M, B, N, C în această ordine]

a) $2,5\text{ cm}$

b) $5\text{ cm}$

c) $10\text{ cm}$

d) $20\text{ cm}$

5p 2. În figura alăturată, paralelele $a$ și $b$ sunt intersectate de dreptele $c$ și $d$. Valoarea lui $x$ este de:

[Figura: Dreptele paralele a și b tăiate de secanta c formând unghiuri de 120° și 60°, și de secanta d formând un unghi de 40° la dreapta a și unghiul x° la dreapta b]

a) $40$

b) $60$

c) $120$

d) $140$

5p 3. Figura alăturată reprezintă schița unui loc de joacă pentru copii în care triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, unghiul $ABC$ are măsura de $60^{\circ }$, $BE$ este bisectoarea acestuia, $E\in AC$, iar $AE=3\text{ m}$. Eugen se deplasează în linie dreaptă din punctul $E$ până în punctul $F$ care este simetricul punctului $E$ față de dreapta $BC$, apoi iarăși în linie dreaptă, din punctul $F$ până în punctul $C$. Deplasându-se astfel, Eugen a parcurs un traseu de lungime egală cu:

[Figura: Triunghiul dreptunghic ABC cu bisectoarea BE, punctul F simetricul lui E față de BC și segmentele EF și FC desenate]

a) $3\text{ m}$

b) $6\text{ m}$

c) $12\text{ m}$

d) $18\text{ m}$

5p 4. Figura alăturată reprezintă schița unei grădini, în formă de paralelogram $ABCD$. Punctul $P$ este mijlocul segmentului $AD$. Suprafața corespunzătoare triunghiului $PBC$ este cultivată cu legume. Raportul dintre aria suprafeței cultivate cu legume și aria suprafeței grădinii este egal cu:

[Figura: Paralelogramul ABCD, punctul P mijlocul laturii AD, triunghiul PBC hașurat]

a) $\frac{1}{4}$

b) $\frac{1}{3}$

c) $\frac{1}{2}$

d) $\frac{3}{4}$

5p 5. Punctele $A$, $B$, $C$, $D$ și $E$ sunt situate, în această ordine, pe un cerc, astfel încât coardele $AB$, $BC$, $CD$, $DE$ și $AE$ sunt congruente. Măsura unghiului $EAB$ este egală cu:

[Figura: Cercul pe care se află cele 5 puncte formând un pentagon regulat înscris ABCDE]

a) $72^{\circ }$

b) $108^{\circ }$

c) $144^{\circ }$

d) $288^{\circ }$

5p 6. Un acvariu are forma unei prisme drepte cu baza pătrat de latură $6\text{ dm}$, iar muchia laterală a prismei este de $4\text{ dm}$. Acvariul este umplut cu apă la jumătatea capacității maxime. Numărul de litri de apă din acvariu este egal cu:

a) $36$ de litri

b) $72$ de litri

c) $108$ litri

d) $144$ de litri

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrieți rezolvările complete. (30 de puncte)

5p 1. Un test conține $20$ de întrebări. Pentru fiecare răspuns corect se acordă $4$ puncte, pentru fiecare răspuns greșit se scad $2$ puncte și nu se acordă puncte din oficiu.

(2p) a) Este posibil ca Mihai, după ce a parcurs integral testul și a răspuns la toate întrebările, să obțină $65$ de puncte? Justifică răspunsul dat.

(3p) b) Silvia a răspuns la toate întrebările testului și a obținut $50$ de puncte. Determină numărul de întrebări din test la care Silvia a răspuns corect.

5p 2. Se consideră expresia $E(x)=(x\sqrt{2}-3)(x\sqrt{2}+3)-(2x+3{)}^2+2x(x+6,5)+18$, unde $x$ este număr real.

(3p) a) Demonstrează că $E(x)=x$, pentru orice număr real $x$.

(2p) b) Demonstrează că numărul $N=E(1)+E(2)+E(3)+\cdots +E(49)$ este pătratul unui număr natural.

5p 3. Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+2$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=-x+4$.

(2p) a) Demonstrează că punctul $A(1,3)$ este punctul de intersecție a reprezentărilor geometrice ale graficelor funcțiilor $f$ și $g$ în sistemul de axe ortogonale $xOy$.

(3p) b) Demonstrează că, în sistemul de axe ortogonale $xOy$, distanța dintre punctele $B$ și $C$ care reprezintă intersecția reprezentării geometrice a graficului funcției $f$, respectiv $g$, cu axa $Ox$ este egală cu dublul distanței de la punctul $A(1,3)$ la axa $Ox$.

5p 4. În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AD\perp AB$, $AD=6\text{ cm}$, $\sphericalangle BCD=120^{\circ }$ și $DC=BC$. Punctul $E$ reprezintă proiecția punctului $D$ pe dreapta $BC$.

[Figura: Trapezul dreptunghic ABCD cu AD latura verticală, AB baza mare, CD baza mică, punctul E proiecția lui D pe BC, punctul O mijlocul diagonalei BD]

(2p) a) Arată că $BD=12\text{ cm}$.

(3p) b) Punctul $O$ este mijlocul segmentului $BD$. Calculează perimetrul patrulaterului $AOED$.

5p 5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ isoscel, cu $AB=AC=10\text{ cm}$ și $BC=8\text{ cm}$. Punctul $D$ aparține laturii $AC$ astfel încât $BD=BC$.

[Figura: Triunghiul isoscel ABC cu AB = AC, punctul D pe latura AC astfel încât BD = BC]

(2p) a) Arată că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $8\sqrt{21}{\text{ cm}}^2$.

(3p) b) Demonstrează că triunghiul $ABD$ are perimetrul mai mic decât $22\text{ cm}$.

5p 6. În figura alăturată este reprezentat tetraedrul regulat $ABCD$ cu $AB=6\text{ cm}$. Punctele $M$, $N$, $P$ și $Q$ aparțin segmentelor $AB$, $BC$, $CD$, respectiv $AD$, astfel încât $AM=BN=CP=DQ=2\text{ cm}$.

[Figura: Tetraedrul regulat ABCD cu punctele M pe AB, N pe BC, P pe CD, Q pe AD, segmentul MP cu mijlocul O, și liniile punctate spre N și Q]

(2p) a) Demonstrează că unghiul dintre dreptele $MN$ și $AC$ are măsura de $30^{\circ }$.

(3p) b) Punctul $O$ este mijlocul segmentului $MP$. Demonstrează că dreapta $MP$ este perpendiculară pe planul $(NOQ)$.