Evaluare Națională 2021, matematică: test de antrenament 10

Subiectul I

1)

Răspuns corect: b)

Elementele mulțimii sunt $\{1,2,3,4\}$. Suma a două elemente distincte poate fi:

• $1+2=3$
• $1+3=4$
• $1+4=5$
• $2+3=5$
• $2+4=6$
• $3+4=7$

Dintre variantele oferite ($1,3,8,9$), singura valoare posibilă este $3$.

---

2)

Răspuns corect: b)

Calculăm cantitatea vândută pentru fiecare tip de fruct:

• Mere: $20\%\text{ din }200\text{ kg}=\frac{20}{100}\cdot 200=40\text{ kg}$
• Pere: $40\%\text{ din }150\text{ kg}=\frac{40}{100}\cdot 150=60\text{ kg}$
• Banane: $50\%\text{ din }100\text{ kg}=\frac{50}{100}\cdot 100=50\text{ kg}$
• Cireșe: $20\%\text{ din }180\text{ kg}=\frac{20}{100}\cdot 180=36\text{ kg}$

Cea mai mare cantitate vândută a fost de $60\text{ kg}$, adică de pere.

---

3)

Răspuns corect: d)

Comparăm numerele date cu $-3$:

• $4>-3$
• $2>-3$
• $-2>-3$
• $-4<-3$

Numărul mai mic decât $-3$ este $-4$.

---

4)

Răspuns corect: c)

Transformăm fracția zecimală periodică simplă în fracție ordinară:
$$1,(3)=\frac{13-1}{9}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$$

---

5)

Răspuns corect: a)

Efectuăm calculul folosind formulele de calcul prescurtat sau formula diferenței de pătrate:
$$(\sqrt{2}+1{)}^2-(\sqrt{2}-1{)}^2=(2+2\sqrt{2}+1)-(2-2\sqrt{2}+1)=(3+2\sqrt{2})-(3-2\sqrt{2})=4\sqrt{2}$$

Elevul care a obținut rezultatul corect este Mircea.

---

6)

Răspuns corect: c)

Fiecare oră durează 50 de minute, urmată de o pauză de 10 minute, deci fiecare bloc „oră + pauză” durează exact $50+10=60\text{ minute}=1\text{ ora˘}$:

• Ora 1 (Educație muzicală): 9:00 – 9:50 (pauză până la 10:00)
• Ora 2 (Istorie): 10:00 – 10:50 (pauză până la 11:00)
• Ora 3 (Fizică): 11:00 – 11:50 (pauză până la 12:00)
• Ora 4 (Matematică): începe la 12:00.

---

Subiectul al II-lea

1)

Răspuns corect: d)

Simetricul unui punct $A(x,y)$ față de axa ordonatelor $Oy$ este punctul $A^{\prime }(-x,y)$.
Pentru $A(1,2)$, simetricul are coordonatele $(-1,2)$.

---

2)

Răspuns corect: c)

Deoarece $AB\parallel CD$ și secanta este $BC$, unghiurile alterne interne $\angle ABC$ și $\angle BCD$ sunt congruente, deci:
$$\sphericalangle ABC=\sphericalangle BCD=36^{\circ }$$

În triunghiul $AOB$, suma măsurilor unghiurilor este $180^{\circ }$:
$$\sphericalangle AOB=180^{\circ }-(\sphericalangle OAB+\sphericalangle OBA)=180^{\circ }-(71^{\circ }+36^{\circ })=180^{\circ }-107^{\circ }=73^{\circ }$$

---

3)

Răspuns corect: b)

În triunghiul dreptunghic $ABC$ ($\sphericalangle BAC=90^{\circ }$):

• $AC=8\text{ cm}$, $BC=10\text{ cm}⟹AB=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6\text{ cm}$.
• $M$ este mijlocul catetei $AC⟹MC=AM=4\text{ cm}$.
• Pe ipotenuză se dă $PC=4\text{ cm}⟹MC=PC=4\text{ cm}$, deci $△MPC$ este isoscel cu $\sphericalangle PMC=\sphericalangle MPC$.
• $\cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$.

Aplicăm teorema cosinusului în $△MPC$:
$$M{P}^2=M{C}^2+P{C}^2-2\cdot MC\cdot PC\cdot \cos C=16+16-2\cdot 4\cdot 4\cdot \frac{4}{5}=32-\frac{128}{5}=\frac{32}{5}$$

În $△ABC$, putem calcula lungimea segmentului $AP$ folosind teorema cosinusului în $△APC$:
$$A{P}^2=A{C}^2+P{C}^2-2\cdot AC\cdot PC\cdot \cos C=64+16-2\cdot 8\cdot 4\cdot \frac{4}{5}=80-\frac{256}{5}=\frac{144}{5}$$

În triunghiul $APM$, verificăm relația dintre laturile $A{M}^2=16=\frac{80}{5}$, $M{P}^2=\frac{32}{5}$ și $A{P}^2=\frac{144}{5}$:
Aplicăm teorema cosinusului în $△APM$:
$$\cos (\sphericalangle APM)=\frac{A{P}^2+M{P}^2-A{M}^2}{2\cdot AP\cdot MP}=\frac{\frac{144}{5}+\frac{32}{5}-\frac{80}{5}}{2\cdot \sqrt{\frac{144}{5}}\cdot \sqrt{\frac{32}{5}}}=\frac{\frac{96}{5}}{2\cdot \frac{12}{\sqrt{5}}\cdot \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}}=\frac{\frac{96}{5}}{\frac{96\sqrt{2}}{5}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Prin urmare, $\sphericalangle APM=45^{\circ }$.

---

4)

Răspuns corect: b)

Fie $AB=L$ și $BC=l$. Aria dreptunghiului este ${\mathcal{A}}_{ABCD}=L\cdot l$.
Triunghiul $DMP$ se obține eliminând din dreptunghiul $ABCD$ trei triunghiuri dreptunghice:

• ${\mathcal{A}}_{△ADM}=\frac{AD\cdot AM}{2}=\frac{l\cdot \frac{L}{2}}{2}=\frac{1}{4}L\cdot l$
• ${\mathcal{A}}_{△MBP}=\frac{MB\cdot BP}{2}=\frac{\frac{L}{2}\cdot \frac{l}{2}}{2}=\frac{1}{8}L\cdot l$
• ${\mathcal{A}}_{△PCD}=\frac{CD\cdot PC}{2}=\frac{L\cdot \frac{l}{2}}{2}=\frac{1}{4}L\cdot l$

Suma ariilor celor trei triunghiuri este:
$${\mathcal{A}}_{△ADM}+{\mathcal{A}}_{△MBP}+{\mathcal{A}}_{△PCD}=\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{4}\right)L\cdot l=\frac{5}{8}L\cdot l$$

Atunci aria triunghiului $DMP$ este:
$${\mathcal{A}}_{△DMP}=L\cdot l-\frac{5}{8}L\cdot l=\frac{3}{8}L\cdot l$$

Raportul căutat este $\frac{{\mathcal{A}}_{△DMP}}{{\mathcal{A}}_{ABCD}}=\frac{3}{8}$.

---

5)

Răspuns corect: a)

Deoarece punctele $A,B,C$ se află pe cerc și $AB\perp BC$ (adică $\sphericalangle ABC=90^{\circ }$), unghiul înscris fiind drept subîntinde un semicerc. Rezultă că ipotenuza $AC$ este un diametru al cercului, deci centrul $O$ este mijlocul segmentului $AC$.

Distanța de la $O$ la coarda $AB$ este perpendiculara din $O$ pe $AB$. Deoarece $O$ este mijlocul lui $AC$, această distanță este linie mijlocie în triunghiul dreptunghic $ABC$ și este egală cu:
$$d(O,AB)=\frac{BC}{2}=\frac{8}{2}=4\text{ cm}$$

Similar, distanța de la $O$ la coarda $BC$ este linie mijlocie paralelă cu $AB$:
$$d(O,BC)=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3\text{ cm}$$

Suma distanțelor este $4\text{ cm}+3\text{ cm}=7\text{ cm}$.

---

6)

Răspuns corect: b)

• Volumul primului bazin (paralelipiped dreptunghic):
  $$V_1=5\text{ m}\cdot 3\text{ m}\cdot 2\text{ m}=30{\text{ m}}^3$$
• Debitul robinetului este:
  $$\text{debit}=\frac{30{\text{ m}}^3}{20\text{ ore}}=1,5{\text{ m}}^3/\text{ora˘}$$
• Volumul bazinului în formă de cub cu latura de $3\text{ m}$:
  $$V_2=3^3=27{\text{ m}}^3$$
• Timpul necesar pentru umplerea cubului:
  $$t=\frac{27{\text{ m}}^3}{1,5{\text{ m}}^3/\text{ora˘}}=18\text{ ore}$$

---

Subiectul al III-lea

1)

a) Numărul $A$ se scrie în baza 10:
$$A=\overline{ab}+\overline{ba}=(10a+b)+(10b+a)=11(a+b)$$

Dacă $A=198$, atunci:
$$11(a+b)=198⟹a+b=18(1p)$$

Deoarece $a$ și $b$ sunt cifre, cea mai mare valoare posibilă pentru o cifră este $9$. Singura posibilitate ca suma a două cifre să fie $18$ este ca $a=9$ și $b=9$.
Dar prin ipoteză $a$ și $b$ sunt cifre distincte ($a\ne b$), ceea ce contrazice $a=b=9$. Prin urmare, nu este posibil ca numărul $A$ să fie egal cu $198$. $(1p)$

b) Știm că $A=11(a+b)=k^2$, unde $k\in \mathbb{N}$.
Deoarece $11$ este număr prim, pentru ca $11(a+b)$ să fie pătrat perfect, trebuie ca suma $a+b$ să aibă ca factor pe $11$, deci $a+b$ este divizibil cu $11$.
Cum $a$ este cifră nenulă ($1\le a\le 9$) și $b$ este cifră ($0\le b\le 9$), avem $1\le a+b\le 18$. Singurul multiplu al lui $11$ din acest interval este:
$$a+b=11$$

De asemenea, $\overline{ab}$ este divizibil cu $5$, deci ultima sa cifră $b$ poate fi doar $0$ sau $5$. $(2p)$

• Dacă $b=0$, atunci $a+0=11⟹a=11$, care nu este cifră (imposibil).
• Dacă $b=5$, atunci $a+5=11⟹a=6$.

Cifrele sunt distincte ($6\ne 5$), deci numărul căutat este $\overline{ab}=65$. $(1p)$

---

2)

a) Desfacem parantezele din membrul drept:
$$(x+4)(x-3)=x^2-3x+4x-12=x^2+x-12(1p)$$

Sau, pornind din membrul stâng:
$$x^2+x-12=x^2+4x-3x-12=x(x+4)-3(x+4)=(x+4)(x-3)$$
pentru orice număr real $x$. $(1p)$

b) Dezvoltăm expresia $E(x)$:
$$E(x)=(x-1{)}^2+(x+4)(x-3)-2(x^2-4)$$
$$E(x)=(x^2-2x+1)+(x^2+x-12)-2x^2+8(2p)$$

Reducem termenii asemenea:
$$E(x)=(x^2+x^2-2x^2)+(-2x+x)+(1-12+8)$$
$$E(x)=0-x-3=-x-3$$
pentru orice număr real $x$. $(1p)$

---

3)

a) Calculăm valorile funcției:

• $f(0)=\frac{4}{3}\cdot 0+4=4(1p)$
• $f(-3)=\frac{4}{3}\cdot (-3)+4=-4+4=0$

Atunci:
$$f(0)+f(-3)=4+0=4(1p)$$

b) Punctul de intersecție cu axa $Ox$ se determină rezolvând $f(x)=0$:
$$\frac{4}{3}x+4=0⟹x=-3⟹A(-3,0)$$

Punctul de intersecție cu axa $Oy$ este:
$$x=0⟹f(0)=4⟹B(0,4)(1p)$$

Lungimea segmentului $AB$ este:
$$AB=\sqrt{(-3-0{)}^2+(0-4{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

Punctul $M$ se află pe axa $Oy$, deci coordonatele sale sunt $M(0,y_M)$. Lungimea segmentului $BM$ este $|y_M-4|$.
Condiția $BM=AB$ devine:
$$|y_M-4|=5$$

• Cazul 1: $y_M-4=-5⟹y_M=-1$, deci $M_1(0,-1)$ (în acest caz $O\in BM$ și $OM=1$). $(1p)$
• Cazul 2: $y_M-4=5⟹y_M=9$, deci $M_2(0,9)$ (în acest caz $O\notin BM$ și $OM=9$). $(1p)$

---

4)

a) Deoarece $AMPQ$ este pătrat cu latura de $2\text{ cm}$, avem:

• $AM=AQ=2\text{ cm}$
• $M$ este mijlocul segmentului $AB⟹AB=2\cdot AM=2\cdot 2=4\text{ cm}$
• $Q\in AC$ și $CQ=2\cdot AQ=2\cdot 2=4\text{ cm}⟹AC=AQ+QC=2+4=6\text{ cm}(1p)$

În triunghiul dreptunghic $BAC$ (cu $\sphericalangle A=90^{\circ }$):
$$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\text{ cm}(1p)$$

b) În triunghiul $ABC$, avem $MP\perp AB$ și $AC\perp AB$, deci $MS\parallel AC$.
Deoarece $M$ este mijlocul laturii $AB$ și $MS\parallel AC$, rezultă că $MS$ este linie mijlocie în triunghiul $ABC$, deci $S$ este mijlocul ipotenuzei $BC$:
$$SC=\frac{BC}{2}(1p)$$

De asemenea, $QP\perp AQ$ și $AB\perp AQ$, deci dreapta $QT$ este paralelă cu $AB$.
Aplicăm teorema fundamentală a asemănării în $△CAB$ cu $QT\parallel AB$:
$$\frac{CT}{BC}=\frac{CQ}{AC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}⟹CT=\frac{2}{3}BC(1p)$$

Segmentul $ST$ se obține ca diferență:
$$ST=CT-SC=\frac{2}{3}BC-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{6}BC$$

Împărțind la $BC$, obținem:
$$\frac{ST}{BC}=\frac{1}{6}(1p)$$

---

5)

a) În triunghiul echilateral $ABC$ cu latura $AB=8\text{ cm}$, construim înălțimea $AD\perp BC$, cu $D\in BC$:
$$AD=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\text{ cm}(1p)$$

Aria triunghiului $AMC$ este:
$${\mathcal{A}}_{△AMC}=\frac{MC\cdot AD}{2}=\frac{2\cdot 4\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}{\text{ cm}}^2(1p)$$

b) Aria triunghiului echilateral $ABC$ este:
$${\mathcal{A}}_{△ABC}=\frac{A{B}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{64\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}{\text{ cm}}^2(1p)$$

Punctul $M$ aparține segmentului $BC$, deci triunghiul $ABC$ este reuniunea triunghiurilor $ABM$ și $ACM$. Aria sa se poate exprima în funcție de distanțele de la $B$ și $C$ la dreapta $AM$:
$${\mathcal{A}}_{△ABC}={\mathcal{A}}_{△ABM}+{\mathcal{A}}_{△ACM}=\frac{AM\cdot d(B,AM)}{2}+\frac{AM\cdot d(C,AM)}{2}=\frac{AM}{2}\cdot (d(B,AM)+d(C,AM))$$

Egalând cu valoarea ariei:
$$\frac{AM}{2}\cdot (d(B,AM)+d(C,AM))=16\sqrt{3}⟹d(B,AM)+d(C,AM)=\frac{32\sqrt{3}}{AM}(1p)$$

În triunghiul $ABM$, unghiul $\sphericalangle B=60^{\circ }$ și latura $BM=BC-MC=8-2=6\text{ cm}<8\text{ cm}=AB$. Din teorema cosinusului în $△ABM$:
$$A{M}^2=8^2+6^2-2\cdot 8\cdot 6\cdot \cos 60^{\circ }=64+36-48=52<64⟹AM<8\text{ cm}$$

Deoarece $AM<8\text{ cm}$, obținem:
$$d(B,AM)+d(C,AM)=\frac{32\sqrt{3}}{AM}>\frac{32\sqrt{3}}{8}=4\sqrt{3}\text{ cm}(1p)$$

---

6)

a) Fețele laterale $VAB$ și $VBC$ sunt triunghiuri echilaterale congruente cu latura de $6\text{ cm}$.
$M$ fiind mijlocul muchiei $VB$, segmentele $AM$ și $CM$ sunt mediane (și înălțimi) în aceste triunghiuri echilaterale:
$$AM=CM=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\text{ cm}(1p)$$

Baza $ABCD$ este pătrat cu latura de $6\text{ cm}$, deci diagonala este:
$$AC=AB\sqrt{2}=6\sqrt{2}\text{ cm}$$

Perimetrul triunghiului $AMC$ este:
$${\mathcal{P}}_{△AMC}=AM+CM+AC=3\sqrt{3}+3\sqrt{3}+6\sqrt{2}=6\sqrt{3}+6\sqrt{2}=6(\sqrt{3}+\sqrt{2})\text{ cm}(1p)$$

b) Diagonalele bazei se intersectează în $O$, deci $O$ este mijlocul segmentelor $AC$ și $BD$, iar $VO$ este înălțimea piramidei.
În triunghiul dreptunghic $VOB$:
$$OB=\frac{BD}{2}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\text{ cm}$$
$$VO=\sqrt{V{B}^2-O{B}^2}=\sqrt{6^2-(3\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{36-18}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\text{ cm}$$

Deoarece $VO=OB=3\sqrt{2}\text{ cm}$, triunghiul $VOB$ este dreptunghic isoscel în $O$. Mediana $OM$ corespunzătoare ipotenuzei $VB$ este și înălțime, deci:
$$OM\perp VB\text{și}OM=\frac{VB}{2}=\frac{6}{2}=3\text{ cm}(1p)$$

Dreapta comună a planelor $(VAB)$ și $(VBD)$ este muchia $VB$:

• $AM\subset (VAB)$ și $AM\perp VB$
• $OM\subset (VBD)$ și $OM\perp VB$

Rezultă că unghiul dintre planele $(VAB)$ și $(VBD)$ este unghiul format de perpendicularele pe muchia comună:
$$\sphericalangle ((VAB),(VBD))=\sphericalangle (AM,OM)=\sphericalangle AMO(1p)$$

Deoarece $AO\perp BD$ (diagonalele pătratului) și $AO\perp VO$ ($VO$ fiind perpendiculară pe bază), rezultă că $AO\perp (VBD)$.
Cum $OM\subset (VBD)$, avem $AO\perp OM$, deci triunghiul $AOM$ este dreptunghic în $O$.

Tangenta unghiului $\sphericalangle AMO$ este:
$$\mathrm{tg}(\sphericalangle AMO)=\frac{AO}{OM}=\frac{3\sqrt{2}}{3}=\sqrt{2}(1p)$$

Evaluarea Națională pentru absolvenții clasei a VIII-a

Anul școlar 2020 - 2021

Matematică

Testul 10

---

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Suma a două elemente ale mulțimii $\{1,2,3,4\}$ poate fi egală cu:

• a) $1$
• b) $3$
• c) $8$
• d) $9$

5p 2. În tabelul de mai jos sunt prezentate informații referitoare la cantitățile de fructe existente într-un magazin la începutul programului unei zile și procentul de vânzări din ziua respectivă, pentru fiecare din cele patru tipuri de fructe.

Denumire fruct	Mere	Pere	Banane	Cireșe
Cantitatea existentă la începutul programului unei zile	$200\text{ kg}$	$150\text{ kg}$	$100\text{ kg}$	$180\text{ kg}$
Procent de vânzare din ziua respectivă	$20\%$	$40\%$	$50\%$	$20\%$

Cea mai mare cantitate de fructe, vândută în ziua respectivă, a fost de:

• a) mere
• b) pere
• c) banane
• d) cireșe

5p 3. Dintre numerele $-2$, $2$, $-4$ și $4$, mai mic decât $-3$ este numărul:

• a) $4$
• b) $2$
• c) $-2$
• d) $-4$

5p 4. Scrierea fracției zecimale $1,(3)$ sub formă de fracție ordinară este:

• a) $\frac{13}{10}$
• b) $\frac{2}{15}$
• c) $\frac{4}{3}$
• d) $\frac{13}{90}$

5p 5. Patru elevi efectuează calculul $(\sqrt{2}+1{)}^2-(\sqrt{2}-1{)}^2$ și obțin rezultatele înregistrate în tabelul următor.

Mircea	$4\sqrt{2}$
Alina	$0$
Nicolae	$3$
Diana	$2\sqrt{2}$

Dintre cei patru elevi, cel care a efectuat corect calculul este:

• a) Mircea
• b) Alina
• c) Nicolae
• d) Diana

5p 6. Orarul unui elev de clasa a VIII-a, pentru ziua de vineri este prezentat mai jos. Știind că orele încep la 9:00, cu Educație muzicală, că durata unei ore de curs este de 50 de minute, iar pauza este de 10 minute, precizați la cât începe ora de matematică?

Educație muzicală
Istorie
Fizică
Matematică
Biologie

• a) 10:00
• b) 11:00
• c) 12:00
• d) 13:00

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura alăturată este reprezentat punctul $A(1,2)$ într-un sistem de axe ortogonale $xOy$. Coordonatele simetricului punctului $A$ față de axa $Oy$ sunt:

[Figura: Sistem de axe ortogonale xOy în care este reprezentat punctul A de coordonate (1,2)]

• a) $(1,0)$
• b) $(3,2)$
• c) $(-1,-2)$
• d) $(-1,2)$

5p 2. În figura alăturată dreptele $AB$ și $CD$ sunt paralele. Măsura unghiului $BAD$ este egală cu $71^{\circ }$, iar măsura unghiului $BCD$ este egală cu $36^{\circ }$. Știind că segmentele $AD$ și $BC$ se intersectează în punctul $O$, atunci măsura unghiului $AOB$ este egală cu:

[Figura: Dreptele paralele AB și CD, segmentele AD și BC concurente în O, cu unghiul BAD de 71° și unghiul BCD de 36°]

• a) $144^{\circ }$
• b) $107^{\circ }$
• c) $73^{\circ }$
• d) $36^{\circ }$

5p 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ cu măsura unghiului $BAC$ de $90^{\circ }$, $AC=8\text{ cm}$ și $BC=10\text{ cm}$. Știind că punctul $M$ este mijlocul laturii $AC$ și punctul $P$ este situat pe ipotenuza $BC$, astfel încât $PC=4\text{ cm}$, atunci măsura unghiului $APM$ este egală cu:

[Figura: Triunghiul dreptunghic ABC cu unghiul BAC de 90 de grade, M mijlocul lui AC și P pe latura BC astfel încât PC = 4 cm]

• a) $30^{\circ }$
• b) $45^{\circ }$
• c) $60^{\circ }$
• d) $75^{\circ }$

5p 4. În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi $ABCD$ și punctele $M$ și $P$ mijloacele laturilor $AB$, respectiv $BC$. Raportul dintre aria triunghiului $DMP$ și aria dreptunghiului $ABCD$ este egal cu:

[Figura: Dreptunghiul ABCD cu punctul M mijlocul segmentului AB și P mijlocul segmentului BC, formând triunghiul DMP]

• a) $\frac{1}{4}$
• b) $\frac{3}{8}$
• c) $\frac{1}{2}$
• d) $\frac{3}{4}$

5p 5. Punctele $A$, $B$ și $C$ sunt situate pe un cerc de centru $O$, astfel încât $AB\perp BC$, $AB=6\text{ cm}$ și $BC=8\text{ cm}$. Suma distanțelor de la punctul $O$ la dreptele $AB$ și $BC$ este egală cu:

[Figura: Triunghiul dreptunghic ABC înscris într-un cerc de centru O, cu unghiul B drept]

• a) $7\text{ cm}$
• b) $10\text{ cm}$
• c) $14\text{ cm}$
• d) $24\text{ cm}$

5p 6. Un robinet deschis poate umple un bazin în formă de paralelipiped dreptunghic, cu dimensiunile de $5\text{ m}$, $3\text{ m}$ și $2\text{ m}$ în 20 de ore. În câte ore poate umple același robinet un bazin în formă de cub cu latura de $3\text{ m}$?

• a) $20\text{ de ore}$
• b) $18\text{ ore}$
• c) $12\text{ ore}$
• d) $6\text{ ore}$

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrieți rezolvările complete. (30 de puncte)

5p 1. Se consideră numărul natural $A=\overline{ab}+\overline{ba}$, unde $a$ și $b$ sunt cifre distincte.

• (2p) a) Este posibil ca numărul $A$ să fie egal cu $198$? Justifică răspunsul dat.
• (3p) b) Determină numărul natural $\overline{ab}$, știind că $\overline{ab}$ este divizibil cu $5$ și $A$ este pătratul unui număr natural.

5p 2. Se consideră expresia $E(x)=(x-1{)}^2+(x+4)(x-3)-2(x^2-4)$, unde $x$ este număr real.

• (2p) a) Arată că $x^2+x-12=(x+4)(x-3)$, pentru orice număr real $x$.
• (3p) b) Demonstrează că $E(x)=-x-3$, pentru orice număr real $x$.

5p 3. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{4}{3}x+4$.

• (2p) a) Calculează $f(0)+f(-3)$.
• (3p) b) Știind că $A$ și $B$ sunt punctele de intersecție a reprezentării grafice a funcției $f$ cu axele $Ox$, respectiv $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$, determină coordonatele punctelor $M$, situate pe axa $Oy$, astfel încât segmentele $AB$ și $BM$ să aibă aceeași lungime.

5p 4. În figura alăturată este reprezentat un pătrat $AMPQ$ cu $AM=2\text{ cm}$. Punctul $B$ se află pe dreapta $AM$, astfel încât $M$ este mijlocul segmentului $AB$, iar punctul $C$ este situat pe dreapta $AQ$, astfel încât $Q$ aparține segmentului $AC$ și $CQ=2\cdot AQ$.

[Figura: Pătratul AMPQ cu latura de 2 cm; punctul B pe dreapta AM astfel încât M este mijlocul lui AB; punctul C pe dreapta AQ astfel încât Q aparține lui AC și CQ = 2 AQ; segmentul BC intersectează laturile MP și QP în punctele S, respectiv T]

• (2p) a) Arată că $BC=2\sqrt{13}\text{ cm}$.
• (3p) b) Știind că $MP\cap BC=\{S\}$ și $QP\cap BC=\{T\}$, demonstrează că $\frac{ST}{BC}=\frac{1}{6}$.

5p 5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $ABC$ cu $AB=8\text{ cm}$. Punctul $M$ se află pe latura $BC$ astfel încât $MC=2\text{ cm}$.

[Figura: Triunghiul echilateral ABC cu latura de 8 cm și punctul M situat pe segmentul BC]

• (2p) a) Arată că aria triunghiului $AMC$ este egală cu $4\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$.
• (3p) b) Arată că suma distanțelor de la punctele $B$ și $C$ la dreapta $AM$ este mai mare decât $4\sqrt{3}\text{ cm}$.

5p 6. În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată $VABCD$ cu $VA=AB=6\text{ cm}$, punctul $M$ mijlocul muchiei $VB$ și $AC\cap BD=\{O\}$.

[Figura: Piramidă patrulateră regulată VABCD cu toate muchiile egale cu 6 cm, O intersecția diagonalelor bazei și M mijlocul muchiei laterale VB]

• (2p) a) Arată că perimetrul triunghiului $AMC$ este egal cu $6(\sqrt{3}+\sqrt{2})\text{ cm}$.
• (3p) b) Determină tangenta unghiului dintre planele $(VAB)$ și $(VBD)$.