Evaluare Națională 2022, matematică: test de antrenament 1

Rezolvarea oficială și explicații pas cu pas

---

SUBIECTUL I (30 de puncte)

Subiectul I, 1)

• Răspuns: c) 10
• Explicație: Numerele $2$ și $5$ sunt numere prime între ele. Cel mai mic multiplu comun al lor este produsul lor: $[2,5]=2\cdot 5=10$.

Subiectul I, 2)

• Răspuns: b) 12
• Explicație: Din proporția $\frac{x}{15}=\frac{4}{5}$, obținem prin înmulțire pe diagonală:
  $$5x=15\cdot 4⟹5x=60⟹x=\frac{60}{5}=12.$$

Subiectul I, 3)

• Răspuns: d) $21^{\circ }\text{C}$
• Explicație: Diferența de temperatură este:
  $$4^{\circ }\text{C}-(-17^{\circ }\text{C})=4^{\circ }\text{C}+17^{\circ }\text{C}=21^{\circ }\text{C}.$$

Subiectul I, 4)

• Răspuns: c) $\frac{3}{4},\frac{2}{3},\frac{13}{24},\frac{1}{2}$

• Explicație: Aducem toate fracțiile la numitorul comun $24$:

  • $\frac{3}{4}=\frac{18}{24}$
  • $\frac{2}{3}=\frac{16}{24}$
  • $\frac{13}{24}$
  • $\frac{1}{2}=\frac{12}{24}$

  Deoarece $18>16>13>12$, ordinea descrescătoare corectă este $\frac{3}{4},\frac{2}{3},\frac{13}{24},\frac{1}{2}$.

Subiectul I, 5)

• Răspuns: b) Cristian
• Explicație: Calculăm produsul numerelor:
  $$P=\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}\cdot \sqrt{8}\cdot \sqrt{20}=\sqrt{2\cdot 5\cdot 8\cdot 20}=\sqrt{1600}=40.$$
  Cristian a obținut rezultatul $40$, deci el a calculat corect.

Subiectul I, 6)

• Răspuns: a) adevărată

• Explicație: Calculăm numărul total de bilete vândute pentru fiecare oră de difuzare:

  • Ora 11:30: $25+16=41$
  • Ora 13:30: $95+47=142$
  • Ora 15:30: $83+91=174$
  • Ora 17:30: $60+42=102$
  • Ora 19:30: $40+30=70$
  • Ora 21:30: $92+86=178$

  Numărul maxim de bilete vândute este $178$, obținut la ora 21:30. Prin urmare, afirmația Anei este adevărată.

---

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

Subiectul al II-lea, 1)

• Răspuns: d) $10\text{ cm}$
• Explicație: Notăm lungimea segmentului $AB=x$.
  Deoarece $B$ este mijlocul segmentului $AC$, avem $AB=BC=x$, deci $AC=2x$.
  Segmentele $AB$ și $CD$ sunt congruente, deci $CD=x$.
  Lungimea întregului segment $AD$ este $AD=AC+CD=2x+x=3x$.
  $M$ fiind mijlocul segmentului $AD$, avem $AM=\frac{AD}{2}=\frac{3x}{2}=1,5x$.
  Segmentul $BM=AM-AB=1,5x-x=0,5x$.
  Știind că $BM=2,5\text{ cm}$, rezultă:
  $$0,5x=2,5⟹x=5\text{ cm}.$$
  Așadar, $AC=2x=2\cdot 5=10\text{ cm}$.

Subiectul al II-lea, 2)

• Răspuns: c) $52^{\circ }$
• Explicație: Semidreapta $OC$ este bisectoarea unghiului $AOD$, deci $\sphericalangle AOC=\sphericalangle COD=26^{\circ }$.
  Măsura unghiului $BOC$ este suma măsurilor unghiurilor $BOD$ și $COD$:
  $$\sphericalangle BOC=\sphericalangle BOD+\sphericalangle COD=26^{\circ }+26^{\circ }=52^{\circ }.$$

Subiectul al II-lea, 3)

• Răspuns: c) $10\text{ dm}$
• Explicație: Drumul cel mai scurt de la un punct la o dreaptă este perpendiculara dusă din acel punct pe dreaptă.
  Astfel, $AM\perp BC$ ($M\in BC$) și $MN\perp AB$ ($N\in AB$).
  În triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $\sphericalangle B=30^{\circ }$ și ipotenuza sau cateta $AB=40\text{ dm}$:
  În triunghiul dreptunghic $AMB$ (dreptunghic în $M$):
  $$\sin 30^{\circ }=\frac{AM}{AB}⟹AM=AB\cdot \sin 30^{\circ }=40\cdot \frac{1}{2}=20\text{ dm}.$$
  Măsura unghiului $\sphericalangle BAM$ este $90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$.
  În triunghiul dreptunghic $ANM$ (dreptunghic în $N$):
  $$\sphericalangle AMN=90^{\circ }-\sphericalangle BAM=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }.$$
  Conform teoremei unghiului de $30^{\circ }$, cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ este jumătate din ipotenuză:
  $$AN=\frac{AM}{2}=\frac{20}{2}=10\text{ dm}.$$

Subiectul al II-lea, 4)

• Răspuns: c) $75^{\circ }$
• Explicație: În pătratul $ABCD$, laturile sunt egale: $AD=CD$.
  Din enunț, $AM=CD$, prin urmare $AM=AD$, ceea ce înseamnă că triunghiul $ADM$ este isoscel cu vârful în $A$.
  Măsura unghiului din vârf este $\sphericalangle DAM=30^{\circ }$.
  Unghiurile de la bază sunt congruente, deci:
  $$\sphericalangle ADM=\frac{180^{\circ }-\sphericalangle DAM}{2}=\frac{180^{\circ }-30^{\circ }}{2}=\frac{150^{\circ }}{2}=75^{\circ }.$$

Subiectul al II-lea, 5)

• Răspuns: a) $30^{\circ }$
• Explicație: Deoarece triunghiul $ABC$ este echilateral și înscris în cerc, fiecare dintre unghiurile sale are măsura de $60^{\circ }$, iar arcele subîntinse au măsura de $120^{\circ }$ (deci $\text{overparen}BC=120^{\circ }$).
  Segmentul $BD$ este diametru, deci unghiul înscris într-un semicerc este drept: $\sphericalangle BCD=90^{\circ }$.
  Unghiul $\sphericalangle ACD$ se poate calcula ca:
  $$\sphericalangle ACD=\sphericalangle BCD-\sphericalangle BCA=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }.$$

Subiectul al II-lea, 6)

• Răspuns: b) $6$
• Explicație: Volumul cutiei în formă de paralelipiped dreptunghic este:
  $$V=AB\cdot AD\cdot AE=12\text{ cm}\cdot 5\text{ cm}\cdot 20\text{ cm}=1200{\text{ cm}}^3.$$
  Știind că $1{\text{ cm}}^3=1\text{ ml}$, volumul sucului este de $1200\text{ ml}$.
  Numărul de pahare de $200\text{ ml}$ care pot fi umplute este:
  $$\frac{1200\text{ ml}}{200\text{ ml}}=6\text{ pahare}.$$

---

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

Subiectul al III-lea, 1)

• a) Dacă suma obținută din vânzarea cireșelor ar fi egală cu suma obținută din vânzarea merelor, fiecare sumă ar fi jumătate din suma totală:
  $$4620:2=2310\text{ lei}.$$
  Cantitatea de cireșe vândute ar fi:
  $$2310:15=154\text{ kg},$$
  iar cantitatea de mere vândute ar fi:
  $$2310:7=330\text{ kg}.$$
  (1p)

  Cantitatea totală ar fi:
  $$154+330=484\text{ kg}.$$
  Cum $484\text{ kg}\ne 500\text{ kg}$, deducem că nu este posibil ca cele două sume să fie egale.
  (1p)

• b) Fie $x$ numărul de kilograme de mere vândute.
  Atunci numărul de kilograme de cireșe vândute este $500-x$.
  (1p)

  Scriem ecuația valorii totale:
  $$15(500-x)+7x=4620$$
  $$7500-15x+7x=4620$$
  $$7500-8x=4620$$
  (1p)

  $$8x=7500-4620⟹8x=2880⟹x=360.$$
  Așadar, s-au vândut $360\text{ kg}$ de mere.
  (1p)

---

Subiectul al III-lea, 2)

• a) Înlocuim $x=-3$ în expresie:
  $4(-3)+3=-12+3=-9$
  $2(-3)-4=-6-4=-10$
  $-3-2=-5$
  $$E(-3)=(-9{)}^2+(-10)(-9)+(-5{)}^2$$
  (1p)

  $$E(-3)=81+90+25=196=14^2,$$
  deci $E(-3)$ este pătratul numărului natural $14$.
  (1p)

• b) Observăm că expresia are forma restrânsă a unui pătrat al unui binom:
  $a^2+2ab+b^2$, unde $a=4x+3$ și $b=x-2$, deoarece $2x-4=2(x-2)$.
  $$E(x)=(4x+3{)}^2+2(x-2)(4x+3)+(x-2{)}^2=[(4x+3)+(x-2){]}^2=(5x+1{)}^2$$
  sau, prin desfacerea parantezelor:
  $$E(x)=16x^2+24x+9+8x^2+6x-16x-12+x^2-4x+4=25x^2+10x+1=(5x+1{)}^2.$$
  (1p)

  Pentru orice număr natural $n$, $5n+1>0$, deci:
  $$\sqrt{E(n)}=\sqrt{(5n+1{)}^2}=5n+1.$$
  (1p)

  Condiția $\sqrt{E(n)}\le 3$ devine:
  $$5n+1\le 3⟺5n\le 2⟺n\le \frac{2}{5}.$$
  Deoarece $n$ este număr natural ($n\in \mathbb{N}$), singura valoare posibilă este $n=0$.
  (1p)

---

Subiectul al III-lea, 3)

• a) Calculăm numărul $x$:
  $\sqrt{144}=12$
  $2\sqrt{18}=2\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$
  $(\sqrt{3}{)}^2=3$
  $$x=12+6\sqrt{2}-3$$
  (1p)

  $$x=9+6\sqrt{2}.$$
  (1p)

• b) Calculăm numărul $y$:
  $(\sqrt{5}-\sqrt{3}{)}^2=5-2\sqrt{15}+3=8-2\sqrt{15}$
  $(\sqrt{5}+\sqrt{3}{)}^2=5+2\sqrt{15}+3=8+2\sqrt{15}$
  $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$
  $$y=(8-2\sqrt{15})-6\sqrt{2}+(8+2\sqrt{15})-7=8+8-7-6\sqrt{2}=9-6\sqrt{2}.$$
  (1p)

  Calculăm produsul $x\cdot y$:
  $$x\cdot y=(9+6\sqrt{2})(9-6\sqrt{2})=9^2-(6\sqrt{2}{)}^2$$
  (1p)

  $$x\cdot y=81-72=9\in \mathbb{N},$$
  deci produsul este un număr natural.
  (1p)

---

Subiectul al III-lea, 4)

• a) Construim $CE\perp AB$, unde $E\in AB$.
  Patrulaterul $AECD$ are unghiurile $\sphericalangle A=\sphericalangle D=\sphericalangle E=90^{\circ }$, deci este dreptunghi.
  Rezultă $AE=CD=8\text{ cm}$ și $EB=AB-AE=12-8=4\text{ cm}$.
  (1p)

  În triunghiul dreptunghic $CEB$, aplicăm teorema lui Pitagora:
  $$CE=\sqrt{B{C}^2-E{B}^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\text{ cm}.$$
  Cum $AD=CE$, obținem $AD=4\sqrt{3}\text{ cm}$.
  (1p)

• b) În triunghiul $ABM$, avem $CD\parallel AB$, deci conform teoremei fundamentale a asemănării:
  $$△MDC\sim △MAB⟹\frac{MD}{MA}=\frac{DC}{AB}.$$
  (1p)

  Înlocuind valorile cunoscute:
  $$\frac{MD}{MD+4\sqrt{3}}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}⟹3MD=2MD+8\sqrt{3}⟹MD=8\sqrt{3}\text{ cm}.$$
  Lungimea catetei $MA$ este:
  $$MA=MD+AD=8\sqrt{3}+4\sqrt{3}=12\sqrt{3}\text{ cm}.$$
  (1p)

  Triunghiul $ABM$ este dreptunghic în $A$, deci aria sa este:
  $${\mathcal{A}}_{△ABM}=\frac{MA\cdot AB}{2}=\frac{12\sqrt{3}\cdot 12}{2}=72\sqrt{3}{\text{ cm}}^2.$$
  (1p)

---

Subiectul al III-lea, 5)

• a) Deoarece $CD=AB=60\text{ cm}$ și $DN=NM=MC$, avem:
  $$DN=NM=MC=\frac{60}{3}=20\text{ cm}.$$
  (1p)

  În triunghiul dreptunghic $ADN$ ($D=90^{\circ }$), cu $AD=40\text{ cm}$ și $DN=20\text{ cm}$:
  $$AN=\sqrt{A{D}^2+D{N}^2}=\sqrt{40^2+20^2}=\sqrt{1600+400}=\sqrt{2000}=20\sqrt{5}\text{ cm}.$$
  Similar, în triunghiul dreptunghic $BCM$ ($C=90^{\circ }$), cu $BC=40\text{ cm}$ și $MC=20\text{ cm}$:
  $$BM=\sqrt{B{C}^2+M{C}^2}=\sqrt{40^2+20^2}=20\sqrt{5}\text{ cm}.$$
  Perimetrul patrulaterului $ABMN$ este:
  $${\mathcal{P}}_{ABMN}=AB+BM+NM+AN=60+20\sqrt{5}+20+20\sqrt{5}=80+40\sqrt{5}=40(2+\sqrt{5})\text{ cm}.$$
  (1p)

• b) Deoarece $MN\parallel AB$, avem $△OMN\sim △OAB$, de unde:
  $$\frac{d(O,MN)}{d(O,AB)}=\frac{MN}{AB}=\frac{20}{60}=\frac{1}{3}.$$
  (1p)

  Suma distanțelor de la $O$ la cele două baze este înălțimea dreptunghiului:
  $$d(O,MN)+d(O,AB)=BC=40\text{ cm}.$$
  Avem $d(O,MN)=10\text{ cm}$ și $d(O,AB)=30\text{ cm}$.
  Calculăm ariile triunghiurilor $△OMN$ și $△OAB$:
  $${\mathcal{A}}_{△OMN}=\frac{MN\cdot d(O,MN)}{2}=\frac{20\cdot 10}{2}=100{\text{ cm}}^2,$$
  $${\mathcal{A}}_{△OAB}=\frac{AB\cdot d(O,AB)}{2}=\frac{60\cdot 30}{2}=900{\text{ cm}}^2.$$
  (1p)

  Aria dreptunghiului este ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot BC=60\cdot 40=2400{\text{ cm}}^2$.
  Suma ariilor patrulaterelor $ADNO$ și $BCMO$ reprezintă aria dreptunghiului din care scădem ariile celor două triunghiuri:
  $${\mathcal{A}}_{ADNO}+{\mathcal{A}}_{BCMO}={\mathcal{A}}_{ABCD}-({\mathcal{A}}_{△OMN}+{\mathcal{A}}_{△OAB})=2400-(100+900)=1400{\text{ cm}}^2.$$
  Raportul cerut este:
  $$\frac{{\mathcal{A}}_{ABCD}}{{\mathcal{A}}_{ADNO}+{\mathcal{A}}_{BCMO}}=\frac{2400}{1400}=\frac{12}{7}.$$
  (1p)

---

Subiectul al III-lea, 6)

• a) Baza $ABCD$ este pătrat cu latura $AB=8\text{ cm}$, deci diagonala este:
  $$BD=AB\sqrt{2}=8\sqrt{2}\text{ cm}.$$
  Punctul $O$ este mijlocul diagonalei $BD$, prin urmare:
  $$OB=\frac{BD}{2}=4\sqrt{2}\text{ cm}.$$
  (1p)

  Triunghiul $VOB$ este dreptunghic în $O$, cu $VO=4\sqrt{2}\text{ cm}$ și $OB=4\sqrt{2}\text{ cm}$.
  Conform teoremei lui Pitagora:
  $$VB=\sqrt{V{O}^2+O{B}^2}=\sqrt{(4\sqrt{2}{)}^2+(4\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{32+32}=\sqrt{64}=8\text{ cm}.$$
  (1p)

• b) În triunghiul $VBC$, $P$ este mijlocul lui $VB$ și $Q$ este mijlocul lui $VC$, deci $PQ$ este linie mijlocie:
  $$PQ\parallel BC\text{și}PQ=\frac{BC}{2}.$$
  Cum $ABCD$ este pătrat, $BC\parallel AD$ și $BC=AD$. Rezultă că:
  $$PQ\parallel AD\text{și}PQ=\frac{AD}{2}.$$
  (1p)

  Punctele $A,P,Q,D$ sunt coplanare (deoarece $PQ\parallel AD$).
  Dreptele $AP$ și $DQ$ se intersectează în punctul $M$.
  În triunghiul $MAD$, segmentul $PQ$ este paralel cu baza $AD$ și $PQ=\frac{AD}{2}$, ceea ce înseamnă că $PQ$ este linia mijlocie a triunghiului $MAD$.
  Rezultă că $Q$ este mijlocul segmentului $MD$.
  (1p)

  Dar din ipoteză, $Q$ este și mijlocul segmentului $CV$.
  Așadar, segmentele $MD$ și $CV$ au același mijloc $Q$, ceea ce implică faptul că patrulaterul $VMCD$ este paralelogram.
  Prin urmare, $VM\parallel CD$.
  Deoarece în pătratul $ABCD$ avem $CD\perp BC$, din $VM\parallel CD$ rezultă direct:
  $$VM\perp BC.$$
  (1p)

Evaluarea Națională pentru absolvenții clasei a VIII-a

Anul școlar 2021 – 2022
Matematică
Testul 1

---

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Cel mai mic multiplu comun al numerelor $2$ și $5$ este egal cu:

• a) $2$
• b) $7$
• c) $10$
• d) $20$

5p 2. Valoarea numărului $x$ din proporția $\frac{x}{15}=\frac{4}{5}$ este egală cu:

• a) $4$
• b) $12$
• c) $15$
• d) $60$

5p 3. Duminică, temperatura măsurată la ora $10$, la o stație meteo de pe vârful Omu, a fost de $-17^{\circ }\text{C}$, în timp ce temperatura măsurată la aceeași oră în Baia Mare a fost de $4^{\circ }\text{C}$. Temperatura înregistrată duminică la ora $10$ în Baia Mare este mai mare decât temperatura înregistrată în același timp pe vârful Omu cu:

• a) $-21^{\circ }\text{C}$
• b) $-13^{\circ }\text{C}$
• c) $13^{\circ }\text{C}$
• d) $21^{\circ }\text{C}$

5p 4. Dintre următoarele seturi de numere, cel scris în ordine descrescătoare este:

• a) $\frac{3}{4},\frac{1}{2},\frac{13}{24},\frac{2}{3}$
• b) $\frac{13}{24},\frac{3}{4},\frac{2}{3},\frac{1}{2}$
• c) $\frac{3}{4},\frac{2}{3},\frac{13}{24},\frac{1}{2}$
• d) $\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{13}{24}$

5p 5. Patru elevi, Ana, Cristian, George și Lia, au calculat produsul numerelor $\sqrt{2}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{8}$ și $\sqrt{20}$. Rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Ana	Cristian	George	Lia
$80$	$40$	$16\sqrt{10}$	$4\sqrt{10}$

Dintre cei patru elevi, cel care a obținut rezultatul corect a fost:

• a) Ana
• b) Cristian
• c) George
• d) Lia

5p 6. În tabelul de mai jos este reprezentat numărul de bilete vândute pentru două filme care au rulat la un cinematograf într-o zi de duminică, în funcție de ora începerii.

Ora începerii filmului	11:30	13:30	15:30	17:30	19:30	21:30
Numărul biletelor vândute pentru filmul A	$25$	$95$	$83$	$60$	$40$	$92$
Numărul biletelor vândute pentru filmul B	$16$	$47$	$91$	$42$	$30$	$86$

Ana afirmă că: „Cel mai mare număr de bilete vândute este pentru filmele cu ora de început 21:30”. Afirmația Anei este:

• a) adevărată
• b) falsă

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura următoare sunt reprezentate punctele coliniare $A$, $B$, $M$, $C$ și $D$, în această ordine. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AD$, punctul $B$ este mijlocul segmentului $AC$, iar segmentele $AB$ și $CD$ sunt congruente. Dacă $BM=2,5\text{ cm}$, atunci segmentul $AC$ are lungimea egală cu:

• a) $2,5\text{ cm}$
• b) $5\text{ cm}$
• c) $7,5\text{ cm}$
• d) $10\text{ cm}$

[Figura: Punctele coliniare A, B, M, C, D în această ordine pe o dreaptă]

5p 2. În figura următoare, punctele $C$ și $D$ sunt situate în interiorul unghiului $AOB$, astfel încât semidreapta $OC$ este bisectoarea unghiului $AOD$, iar fiecare dintre unghiurile $AOC$ și $BOD$ are măsura de $26^{\circ }$. Măsura unghiului $BOC$ este egală cu:

• a) $26^{\circ }$
• b) $39^{\circ }$
• c) $52^{\circ }$
• d) $78^{\circ }$

[Figura: Unghiul AOB cu semidreptele OC și OD în interior]

5p 3. La cercul de robotică, Radu a creat un roboțel care se poate deplasa parcurgând drumul cel mai scurt de la un punct la o dreaptă. Terenul de verificare, reprezentat în figura următoare, are forma unui triunghi $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=40\text{ dm}$ și $\sphericalangle B=30^{\circ }$. Roboțelul pornește din punctul $A$ către dreapta $BC$, pe care o întâlnește în punctul $M$, după care se deplasează spre dreapta $AB$, pe care o intersectează în punctul $N$. Lungimea segmentului $AN$ este egală cu:

• a) $20\text{ dm}$
• b) $15\text{ dm}$
• c) $10\text{ dm}$
• d) $5\text{ dm}$

[Figura: Triunghiul ABC dreptunghic în A, cu AM perpendicular pe BC și MN perpendicular pe AB]

5p 4. În figura următoare, $M$ este un punct în interiorul pătratului $ABCD$, astfel încât măsura unghiului $DAM$ este egală cu $30^{\circ }$ și $AM=CD$. Măsura unghiului $ADM$ este egală cu:

• a) $45^{\circ }$
• b) $60^{\circ }$
• c) $75^{\circ }$
• d) $90^{\circ }$

[Figura: Pătratul ABCD cu punctul M în interior astfel încât unghiul DAM are 30 de grade]

5p 5. Punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt situate pe un cerc de centru $O$, astfel încât triunghiul $ABC$ este echilateral și $BD$ este diametru. Măsura unghiului $ACD$ este egală cu:

• a) $30^{\circ }$
• b) $45^{\circ }$
• c) $60^{\circ }$
• d) $90^{\circ }$

[Figura: Cercul de centru O cu triunghiul echilateral ABC înscris și diametrul BD]

5p 6. O cutie plină cu suc de caise are forma unui paralelipiped dreptunghic $ABCDEFGH$ cu $AE=20\text{ cm}$, $AB=12\text{ cm}$ și $AD=5\text{ cm}$. Tot sucul din cutie se toarnă în pahare de $200\text{ ml}$. Numărul paharelor umplute cu sucul de caise din cutie, este egal cu:

• a) $5$
• b) $6$
• c) $12$
• d) $20$

[Figura: Paralelipipedul dreptunghic ABCDEFGH]

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrieți rezolvările complete. (30 de puncte)

5p 1. La un magazin s-au vândut într-o zi $500\text{ kg}$ de cireșe și de mere. Suma obținută prin vânzarea acestora este de $4620$ de lei. Un kilogram de cireșe costă $15$ lei, iar un kilogram de mere costă $7$ lei.

• (2p) a) Este posibil ca suma obținută din vânzarea cireșelor să fie egală cu suma obținută din vânzarea merelor? Justifică răspunsul dat.
• (3p) b) Câte kilograme de mere s-au vândut în ziua aceea la magazin?

5p 2. Se consideră expresia $E(x)=(4x+3{)}^2+(2x-4)(4x+3)+(x-2{)}^2$, unde $x\in \mathbb{R}$.

• (2p) a) Verifică dacă $E(-3)$ este pătratul unui număr natural.
• (3p) b) Determină numărul natural $n$ pentru care $\sqrt{E(n)}\le 3$.

5p 3. Se consideră numerele reale $x=\sqrt{144}+2\sqrt{18}-(\sqrt{3}{)}^2$ și $y=(\sqrt{5}-\sqrt{3}{)}^2-\sqrt{72}+(\sqrt{5}+\sqrt{3}{)}^2-7$.

• (2p) a) Arată că $x=9+6\sqrt{2}$.
• (3p) b) Arată că produsul numerelor $x$ și $y$ este număr natural.

5p 4. În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AB=12\text{ cm}$, $BC=CD=8\text{ cm}$, iar unghiul $A$ are măsura egală cu $90^{\circ }$.

• (2p) a) Arată că $AD=4\sqrt{3}\text{ cm}$.
• (3p) b) Calculează aria triunghiului $ABM$, unde $AD\cap BC=\{M\}$.

[Figura: Trapezul dreptunghic ABCD cu AD perpendicular pe AB și CD, iar laturile AD și BC prelungite se intersectează în M]

5p 5. În figura următoare este reprezentată o placă de gresie de forma unui dreptunghi $ABCD$ cu $AB=60\text{ cm}$ și $BC=40\text{ cm}$. Punctele $M$ și $N$ sunt situate pe segmentul $DC$ astfel încât $DN=NM=MC$, iar $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AM$ și $BN$.

• (2p) a) Arată că perimetrul patrulaterului $ABMN$ este egal cu $40(2+\sqrt{5})\text{ cm}$.
• (3p) b) Determină raportul dintre aria dreptunghiului $ABCD$ și suma ariilor patrulaterelor $ADNO$ și $BCMO$.

[Figura: Dreptunghiul ABCD cu punctele N și M pe latura DC, iar segmentele AM și BN se intersectează în O]

5p 6. În figura alăturată este reprezentată o piramidă $VABCD$ cu $ABCD$ pătrat, $AB=8\text{ cm}$ și înălțimea $VO=4\sqrt{2}\text{ cm}$, unde $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$. Punctele $P$ și $Q$ sunt mijloacele segmentelor $VB$, respectiv $CV$.

• (2p) a) Arată că $VB=8\text{ cm}$.
• (3p) b) Demonstrează că dreptele $VM$ și $BC$ sunt perpendiculare, unde $\{M\}=AP\cap DQ$.

[Figura: Piramida VABCD cu baza pătratul ABCD, înălțimea VO, și punctele P, Q mijloacele muchiilor VB, respectiv VC]