Evaluare Națională 2022, matematică: simulare națională

Barem de evaluare și de notare cu rezolvări complete

---

Subiectul I

1)

• Răspuns corect: b)
• Explicație: Efectuăm mai întâi împărțirea: $18:2=9$. Apoi scăderea: $6-9=-3$.

2)

• Răspuns corect: c)
• Explicație: Din proporția $\frac{a}{2}=\frac{b}{3}$ rezultă produsul mezilor egal cu produsul extremilor: $3a=2b$, de unde $2b-3a=0$.

3)

• Răspuns corect: b)
• Explicație: Ecuația este $x+6=2⟺x=2-6⟺x=-4$.

4)

• Răspuns corect: d)
• Explicație: Numerele sunt: $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{8}$, $\frac{1}{16}$, $\frac{1}{32}$. Deoarece numărătorii sunt egali, fracția cu numitorul cel mai mare este cea mai mică. Dintre acestea, ${\left(\frac{1}{2}\right)}^5=\frac{1}{32}$ este cel mai mic număr.

5)

• Răspuns corect: c)
• Explicație: Media aritmetică a numerelor $a$ și $b$ este:
  $$m_a=\frac{a+b}{2}=\frac{(3-2\sqrt{2})+(3+2\sqrt{2})}{2}=\frac{6}{2}=3$$
  Rezultatul corect a fost obținut de Paul.

6)

• Răspuns corect: a)
• Explicație: Relația $2\le x<5$ definește intervalul închis la stânga și deschis la dreapta $[2,5)$. Prin urmare, afirmația Ioanei este adevărată.

---

Subiectul al II-lea

1)

• Răspuns corect: b)
• Explicație: Deoarece $AB=3\cdot AC$ și $AC=2\text{ cm}$, avem $AB=3\cdot 2=6\text{ cm}$. Punctul $C$ fiind pe segmentul $AB$, avem $BC=AB-AC=6-2=4\text{ cm}$.

2)

• Răspuns corect: c)
• Explicație: Unghiurile $AOB$ și $BOC$ sunt adiacente complementare, deci $\sphericalangle AOB+\sphericalangle BOC=90^{\circ }$. Fie $\sphericalangle AOB=x$, atunci $\sphericalangle BOC=90^{\circ }-x$.
  $OD$ este bisectoarea unghiului $BOC$, deci $\sphericalangle BOD=\frac{\sphericalangle BOC}{2}=\frac{90^{\circ }-x}{2}=45^{\circ }-\frac{x}{2}$.
  Unghiul $\sphericalangle AOD=\sphericalangle AOB+\sphericalangle BOD=x+45^{\circ }-\frac{x}{2}=45^{\circ }+\frac{x}{2}$.
  Știind că $\sphericalangle AOD=55^{\circ }$, avem $45^{\circ }+\frac{x}{2}=55^{\circ }⟺\frac{x}{2}=10^{\circ }⟺x=20^{\circ }$.
  Așadar, $\sphericalangle AOB=20^{\circ }$.

3)

• Răspuns corect: c)
• Explicație: Triunghiul $BMC$ are $BM=MC$, deci este isoscel cu $\sphericalangle MBC=\sphericalangle MCB$.
  Fie $\sphericalangle MBC=u$. Deoarece $BM$ este bisectoarea unghiului $\sphericalangle ABC$, rezultă că $\sphericalangle ABM=\sphericalangle MBC=u$, deci $\sphericalangle ABC=2u$.
  Unghiul $\sphericalangle C=\sphericalangle MCB=u$.
  În triunghiul dreptunghic $ABC$ ($\sphericalangle A=90^{\circ }$), suma unghiurilor ascuțite este $90^{\circ }$:
  $$\sphericalangle ABC+\sphericalangle C=90^{\circ }⟹2u+u=90^{\circ }⟹3u=90^{\circ }⟹u=30^{\circ }$$
  Astfel, $\sphericalangle C=30^{\circ }$.
  Conform teoremei unghiului de $30^{\circ }$ în triunghiul dreptunghic $ABC$, cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ este jumătate din ipotenuză: $AB=\frac{BC}{2}⟹BC=2\cdot AB=2\cdot 4=8\text{ cm}$.

4)

• Răspuns corect: b)
• Explicație: Linia mijlocie a trapezului este egală cu semisuma bazelor:
  $$L_m=\frac{AB+CD}{2}=\frac{4+8}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ cm}$$

5)

• Răspuns corect: a)
• Explicație: Deoarece diametrul $AB$ este perpendicular pe coarda $CD$, $AB$ este axă de simetrie a cercului și a coardei $CD$, deci arcele mici $AC$ și $AD$ sunt congruente, adică $\widehat{AD}=\widehat{AC}=60^{\circ }$.
  Unghiul $\sphericalangle ACD$ este un unghi înscris în cerc care subîntinde arcul $AD$, prin urmare:
  $$\sphericalangle ACD=\frac{\widehat{AD}}{2}=\frac{60^{\circ }}{2}=30^{\circ }$$

6)

• Răspuns corect: d)
• Explicație: Un tetraedru regulat are $6$ muchii de lungimi egale.
  Suma tuturor muchiilor este $6\cdot AB=6\cdot 4=24\text{ cm}$.

---

Subiectul al III-lea

Subiectul al III-lea, 1)

a)

• Verificăm dacă suma numerelor este $42$: $14+28=42$, condiție îndeplinită. (1p)
• Calculăm cel mai mare divizor comun: $\text{c.m.m.d.c.}(14,28)=14$. Deoarece enunțul cere ca cel mai mare divizor comun să fie $7$, iar $14\ne 7$, numerele $14$ și $28$ nu îndeplinesc condițiile din enunț. (1p)

b)

• Deoarece $\text{c.m.m.d.c.}(a,b)=7$, numerele se pot scrie sub forma $a=7k$ și $b=7p$, unde $k,p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, cu $(k,p)=1$ și $k<p$. (1p)
• Din $a+b=42$ avem $7k+7p=42⟹7(k+p)=42⟹k+p=6$.
  Deoarece $(k,p)=1$ și $k<p$, singura pereche posibilă este $k=1$ și $p=5$ (perechile $(2,4)$ și $(3,3)$ nu au numerele prime între ele). (1p)
• Obținem:
  $$a=7\cdot 1=7$$
  $$b=7\cdot 5=35$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 2)

a)

• Dezvoltăm fiecare termen al expresiei:
  • $(2x+1{)}^2=4x^2+4x+1$
  • $(2x+3)(2x-3)=4x^2-9$
  • $(2x-3{)}^2=4x^2-12x+9$ (1p)
• Înlocuim în expresia dată:
  $$E(x)=4x^2+4x+1-(4x^2-9)+4x^2-12x+9$$
  $$E(x)=4x^2+4x+1-4x^2+9+4x^2-12x+9=4x^2-8x+19$$, pentru orice număr real $x$. (1p)

b)

• Rescriem expresia restrângând un pătrat perfect:
  $$E(x)=4x^2-8x+4+15=(2x-2{)}^2+15$$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$. (1p)
• Deoarece $(2x-2{)}^2\ge 0$ pentru orice număr real $x$, rezultă că $(2x-2{)}^2+15\ge 15$, deci $E(x)\ge 15$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$. (1p)
• Pentru $x=1$, avem $E(1)=0+15=15$. Cel mai mare număr natural $A$ pentru care $E(x)\ge A$ oricare ar fi $x\in \mathbb{R}$ este $A=15$. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 3)

a)

• Calculăm valoarea primei ieftiniri:
  $$\frac{12}{100}\cdot 500=12\cdot 5=60\text{ lei}$$ (1p)
• Prețul după prima ieftinire este:
  $$500-60=440\text{ lei}$$ (1p)

b)

• Prețul după a doua ieftinire este $330$ de lei, deci valoarea reducerii de $p\%$ din $440$ lei este:
  $$440-\frac{p}{100}\cdot 440=330$$ (1p)
• Obținem:
  $$\frac{p}{100}\cdot 440=440-330=110$$ (1p)
• Rezolvăm ecuația:
  $$p=\frac{110\cdot 100}{440}=\frac{11000}{440}=25$$
  Deci $p=25$. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 4)

a)

• În pătratul $ABCD$, $CD\parallel AB$, deci $CD\parallel AP$. Cu secanta $EP$, unghiurile alterne interne sau corespondente dau: $\sphericalangle BPC=\sphericalangle DCE=60^{\circ }$ (triunghiul $CDE$ fiind echilateral).
  În triunghiul dreptunghic $PBC$ (dreptunghic în $B$, deoarece $AB\perp BC$), avem $\sphericalangle BCP=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$, deci $CP=2\cdot BP$. (1p)
• În triunghiul dreptunghic $BCP$, avem $BC=CD=6\text{ cm}$. Folosind teorema lui Pitagora sau funcții trigonometrice:
  $$\sin 60^{\circ }=\frac{BC}{CP}⟹\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{CP}⟹CP=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\text{ cm}$$ (1p)

b)

• Unghiul $\sphericalangle ADE=\sphericalangle ADC+\sphericalangle CDE=90^{\circ }+60^{\circ }=150^{\circ }$.
  Cum $AD=CD=DE=6\text{ cm}$, triunghiul $ADE$ este isoscel cu vârful în $D$.
  Măsura unghiului $\sphericalangle AED=\frac{180^{\circ }-150^{\circ }}{2}=15^{\circ }$.
  Atunci $\sphericalangle AEP=\sphericalangle DEC-\sphericalangle AED=60^{\circ }-15^{\circ }=45^{\circ }$. (1p)
• Lungimea segmentului $EP$ este:
  $$EP=EC+CP=6+4\sqrt{3}\text{ cm}$$ (1p)
• Fie $Q$ proiecția lui $P$ pe dreapta $AE$, deci $PQ\perp AE$, $Q\in AE$. Distanța căutată este lungimea segmentului $PQ$.
  În triunghiul dreptunghic $PQE$, cu $\sphericalangle QEP=45^{\circ }$:
  $$\sin (\sphericalangle QEP)=\frac{PQ}{EP}⟹PQ=EP\cdot \sin 45^{\circ }=(6+4\sqrt{3})\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}(3+2\sqrt{3})\text{ cm}$$
  Așadar, $d(P,AE)=\sqrt{2}(3+2\sqrt{3})\text{ cm}$. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 5)

a)

• Triunghiul $ABG$ este dreptunghic în $G$ deoarece $AG\perp BG$. Aplicând teorema lui Pitagora:
  $$A{B}^2=A{G}^2+B{G}^2=4^2+3^2=16+9=25⟹AB=5\text{ cm}$$ (1p)
• Perimetrul triunghiului $ABG$ este:
  $${\mathcal{P}}_{ABG}=AB+BG+AG=5+3+4=12\text{ cm}$$ (1p)

b)

• Fie $P$ punctul de intersecție a dreptelor $AG$ și $BC$ ($AG\cap BC=\{P\}$). Deoarece $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$, semidreapta $AG$ conține mediana corespunzătoare laturii $BC$, deci $P$ este mijlocul segmentului $BC$, iar $AP$ este mediană. (1p)
• Centrul de greutate se află la două treimi de vârf și o treime de bază, prin urmare:
  $$GP=\frac{AG}{2}=\frac{4}{2}=2\text{ cm}$$ (1p)
• Deoarece $AG\perp BG$ și $P\in AG$, rezultă că triunghiul $PGB$ este dreptunghic în $G$. Aplicând teorema lui Pitagora:
  $$B{P}^2=B{G}^2+P{G}^2=3^2+2^2=9+4=13⟹BP=\sqrt{13}\text{ cm}$$
  Cum $P$ este mijlocul laturii $BC$, avem:
  $$BC=2\cdot BP=2\sqrt{13}\text{ cm}$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 6)

a)

• Baza $ABCD$ este un pătrat cu latura $AB=12\text{ cm}$, deci lungimea diagonalei este:
  $$AC=AB\sqrt{2}=12\sqrt{2}\text{ cm}$$ (1p)
• În piramida regulată $SABCD$, muchiile laterale sunt congruente, deci $SA=SC$, ceea ce înseamnă că triunghiul $SAC$ este isoscel.
  Avem $\sphericalangle SCA=\sphericalangle SAC=45^{\circ }$, de unde $\sphericalangle ASC=180^{\circ }-(45^{\circ }+45^{\circ })=90^{\circ }$.
  Deci triunghiul $SAC$ este dreptunghic isoscel în $S$.
  Conform teoremei lui Pitagora: $S{A}^2+S{C}^2=A{C}^2⟺2S{C}^2=(12\sqrt{2}{)}^2=288⟺S{C}^2=144⟹SC=12\text{ cm}$. (1p)

b)

• Fie $P$ mijlocul muchiei $SA$.
  În triunghiul $SAD$, segmentul $NP$ unește mijloacele laturilor $SD$ și $SA$, deci $NP$ este linie mijlocie.
  Rezultă că $NP\parallel AD$ și $NP=\frac{AD}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ cm}$. (1p)
• În pătratul $ABCD$, $M$ este mijlocul laturii $BC$, deci $MB=\frac{BC}{2}=6\text{ cm}$ și $MB\parallel AD$.
  Deoarece $NP\parallel MB$ și $NP=MB=6\text{ cm}$, patrulaterul $BMNP$ este paralelogram, de unde rezultă că $MN=BP$. (1p)
• În triunghiul $SAB$, muchiile sunt $AB=12\text{ cm}$, $SA=12\text{ cm}$ și $SB=SC=12\text{ cm}$, deci triunghiul $SAB$ este echilateral cu latura de $12\text{ cm}$.
  Punctul $P$ fiind mijlocul lui $SA$, segmentul $BP$ este mediană și înălțime în triunghiul echilateral $SAB$:
  $$BP=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\text{ cm}$$
  Cum $MN=BP$, obținem $MN=6\sqrt{3}\text{ cm}$. (1p)

Evaluarea Națională pentru absolvenții clasei a VIII-a

Anul școlar 2021 – 2022
Probă scrisă la matematică
Simulare

---

• Toate subiectele sunt obligatorii.
• Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de două ore.

---

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Rezultatul calculului $6-18:2$ este egal cu:
a) $-6$
b) $-3$
c) $0$
d) $12$

5p 2. Dacă $\frac{a}{2}=\frac{b}{3}$, atunci rezultatul calculului $2b-3a$ este egal cu:
a) $-5$
b) $-1$
c) $0$
d) $5$

5p 3. Soluția ecuației $x+6=2$ este numărul întreg:
a) $-8$
b) $-4$
c) $4$
d) $8$

5p 4. Dintre numerele ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2$, ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3$, ${\left(\frac{1}{2}\right)}^4$ și ${\left(\frac{1}{2}\right)}^5$, cel mai mic este numărul:
a) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2$
b) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3$
c) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^4$
d) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^5$

5p 5. Patru elevi, Elena, Alina, Paul și Adi, au calculat media aritmetică a numerelor $a=3-2\sqrt{2}$ și $b=3+2\sqrt{2}$. Rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Elena	Alina	Paul	Adi
14	6	3	1

Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de:
a) Elena
b) Alina
c) Paul
d) Adi

5p 6. Numărul real $x$ verifică relațiile $2\le x<5$. Ioana afirmă „Numărul real $x$ aparține intervalului $[2,5)$”.
Afirmația Ioanei este:
a) adevărată
b) falsă

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura alăturată, $A$ și $B$ sunt puncte distincte, punctul $C$ se află pe segmentul $AB$, astfel încât $AB=3\cdot AC$, iar $AC=2\text{ cm}$. Lungimea segmentului $BC$ este egală cu:
a) $2\text{ cm}$
b) $4\text{ cm}$
c) $6\text{ cm}$
d) $8\text{ cm}$

[Figura: Segmentul AB pe care se află punctul C între A și B]

5p 2. În figura alăturată, unghiurile $AOB$ și $BOC$ sunt adiacente complementare. Semidreapta $OD$ este bisectoarea unghiului $BOC$, iar măsura unghiului $AOD$ este de $55^{\circ }$. Măsura unghiului $AOB$ este egală cu:
a) $55^{\circ }$
b) $35^{\circ }$
c) $20^{\circ }$
d) $15^{\circ }$

[Figura: Unghiurile adiacente complementare AOB și BOC, cu OD bisectoarea unghiului BOC]

5p 3. În figura alăturată, triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$ cu $AB=4\text{ cm}$. Semidreapta $BM$ este bisectoarea unghiului $ABC$, $M\in AC$ și $BM=MC$. Lungimea segmentului $BC$ este egală cu:
a) $2\text{ cm}$
b) $4\text{ cm}$
c) $8\text{ cm}$
d) $12\text{ cm}$

[Figura: Triunghiul dreptunghic ABC cu unghiul drept în A, bisectoarea BM a unghiului B cu M pe AC]

5p 4. În figura alăturată este reprezentat trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AB=4\text{ cm}$ și $CD=8\text{ cm}$. Lungimea liniei mijlocii a trapezului $ABCD$ este egală cu:
a) $4\text{ cm}$
b) $6\text{ cm}$
c) $8\text{ cm}$
d) $12\text{ cm}$

[Figura: Trapezul ABCD cu baza mică AB și baza mare CD]

5p 5. În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ se află pe cercul de centru $O$, $AB$ este diametru, măsura arcului mic $AC$ este egală cu $60^{\circ }$ și dreptele $CD$ și $AB$ sunt perpendiculare. Măsura unghiului $ACD$ este egală cu:
a) $30^{\circ }$
b) $45^{\circ }$
c) $60^{\circ }$
d) $90^{\circ }$

[Figura: Cerc de centru O cu diametrul AB și coarda CD perpendiculară pe AB]

5p 6. În figura alăturată este reprezentat un tetraedru regulat $VABC$ cu $AB=4\text{ cm}$. Suma lungimilor tuturor muchiilor tetraedrului regulat $VABC$ este egală cu:
a) $12\text{ cm}$
b) $16\text{ cm}$
c) $20\text{ cm}$
d) $24\text{ cm}$

[Figura: Tetraedrul regulat VABC]

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrieți rezolvările complete. (30 de puncte)

1. Suma a două numere naturale $a$ și $b$ este egală cu $42$. Cel mai mare divizor comun al numerelor $a$ și $b$ este $7$.

(2p) a) Numerele $14$ și $28$ îndeplinesc condițiile din enunț? Justifică răspunsul dat.
(3p) b) Determină numerele naturale $a$ și $b$, $a<b$, care îndeplinesc condițiile din enunț.

2. Se consideră expresia $E(x)=(2x+1{)}^2-(2x+3)(2x-3)+(2x-3{)}^2$, unde $x$ este număr real.

(2p) a) Arată că $E(x)=4x^2-8x+19$, pentru orice număr real $x$.
(3p) b) Determină cel mai mare număr natural $A$, știind că $E(x)\ge A$, pentru orice număr real $x$.

3. Prețul unui obiect este $500$ de lei. După o ieftinire cu $12\%$ din prețul obiectului, urmată de o ieftinire cu $p\%$ din noul preț, obiectul costă $330$ de lei.

(2p) a) Arată că, după prima ieftinire, obiectul costă $440$ de lei.
(3p) b) Determină numărul $p$.

4. În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$ și triunghiul echilateral $CDE$ cu $EC=6\text{ cm}$. Dreptele $EC$ și $AB$ se intersectează în punctul $P$.

[Figura: Pătratul ABCD și triunghiul echilateral CDE, cu dreptele EC și AB intersectându-se în punctul P]

(2p) a) Arată că $CP=4\sqrt{3}\text{ cm}$.
(3p) b) Arată că distanța de la punctul $P$ la dreapta $AE$ este egală cu $\sqrt{2}(3+2\sqrt{3})\text{ cm}$.

5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$. Punctul $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$, $AG=4\text{ cm}$, $BG=3\text{ cm}$ și dreptele $AG$ și $BG$ sunt perpendiculare.

[Figura: Triunghiul ABC cu centrul de greutate G, în care AG este perpendicular pe BG]

(2p) a) Arată că perimetrul triunghiului $ABG$ este egal cu $12\text{ cm}$.
(3p) b) Determină lungimea segmentului $BC$.

6. În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată $SABCD$ cu baza pătratul $ABCD$, $\sphericalangle SAC=45^{\circ }$ și $AB=12\text{ cm}$. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $BC$, respectiv $SD$, iar $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$.

[Figura: Piramidă patrulateră regulată SABCD cu baza pătratul ABCD, centrul bazei O, M mijlocul lui BC și N mijlocul lui SD]

(2p) a) Arată că $SC=12\text{ cm}$.
(3p) b) Calculează lungimea segmentului $MN$.