Evaluare Națională 2022, matematică: test de antrenament 6

Subiectul I, 1)

Răspuns corect: d)

Efectuăm mai întâi împărțirea, apoi scăderea:
$$8-6:2=8-3=5$$

---

Subiectul I, 2)

Răspuns corect: c)

Calculăm procentul:
$$\frac{10}{100}\cdot 1000=10\cdot 10=100$$

---

Subiectul I, 3)

Răspuns corect: b)

Rezolvăm ecuația:
$$4-x=6⟺x=4-6⟺x=-2$$

---

Subiectul I, 4)

Răspuns corect: a)

Scriem primele zecimale ale numerelor pentru a le compara:

• $3,21=3,\mathrm{2100...}$
• $3,(21)=3,\mathrm{2121...}$
• $3,2(1)=3,\mathrm{2111...}$
• $32,1$

Comparând zecimalele, cel mai mic număr este $3,21$ ($3,\mathrm{2100...}<3,\mathrm{2111...}<3,\mathrm{2121...}<32,1$).

---

Subiectul I, 5)

Răspuns corect: a)

Media geometrică a numerelor $a$ și $b$ este $m_g=\sqrt{a\cdot b}$.
$$a\cdot b=(6-2\sqrt{5})(6+2\sqrt{5})=6^2-(2\sqrt{5}{)}^2=36-20=16$$
$$m_g=\sqrt{16}=4$$

Elevul care a obținut rezultatul 4 este Dan.

---

Subiectul I, 6)

Răspuns corect: d)

Adunăm numărul de răspunsuri pentru toate variantele din diagramă:
$$100+150+130+120=500$$

---

Subiectul al II-lea, 1)

Răspuns corect: c)

Observând figura, punctele situate în interiorul unghiului propriu $AOB$ sunt $S,P$ și $Q$. Punctul $N$ se află pe latura $OA$, iar punctele $M$ și $R$ se află în exteriorul unghiului.

---

Subiectul al II-lea, 2)

Răspuns corect: b)

Unghiurile $AOB$ și $BOC$ sunt adiacente suplementare, deci:
$$\sphericalangle AOB+\sphericalangle BOC=180^{\circ }$$
Deoarece $\sphericalangle AOB=2\cdot \sphericalangle BOC$, avem:
$$2\cdot \sphericalangle BOC+\sphericalangle BOC=180^{\circ }⟺3\cdot \sphericalangle BOC=180^{\circ }⟺\sphericalangle BOC=60^{\circ }$$
Semidreapta $OD$ este opusă semidreptei $OB$, deci punctele $B,O,D$ sunt coliniare. Rezultă că unghiul $\sphericalangle COD$ și unghiul $\sphericalangle BOC$ sunt adiacente suplementare:
$$\sphericalangle COD=180^{\circ }-\sphericalangle BOC=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$$

---

Subiectul al II-lea, 3)

Răspuns corect: b)

Perimetrele celor două triunghiuri sunt:
$$P_{ABM}=AB+BM+AM=24\text{ cm}$$
$$P_{ACM}=AC+MC+AM=36\text{ cm}$$
Adunând cele două relații obținem:
$$AB+BM+MC+AC+2AM=24+36=60\text{ cm}$$
Deoarece $M\in BC$, avem $BM+MC=BC$, deci:
$$(AB+BC+AC)+2AM=60\text{ cm}$$
Cum perimetrul triunghiului $ABC$ este $P_{ABC}=AB+BC+AC=48\text{ cm}$, rezultă:
$$48+2AM=60⟺2AM=12⟺AM=6\text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 4)

Răspuns corect: d)

Diagonalele unui pătrat sunt perpendiculare, deci dreptele $AC$ și $BD$ formează unghiuri de $90^{\circ }$ la intersecție:
$$\sphericalangle DOC=90^{\circ }$$

---

Subiectul al II-lea, 5)

Răspuns corect: c)

Unghiurile la centru $\sphericalangle AOB$, $\sphericalangle BOC$ și $\sphericalangle AOC$ au suma măsurilor de $360^{\circ }$. Fiind congruente, fiecare are măsura:
$$\sphericalangle AOB=\frac{360^{\circ }}{3}=120^{\circ }$$
Măsura arcului mic $AB$ este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător, deci:
$$\widehat{AB}=120^{\circ }$$

---

Subiectul al II-lea, 6)

Răspuns corect: c)

Aria laterală a unei prisme drepte este produsul dintre perimetrul bazei și înălțime:
$$P_b=3\cdot AB=3\cdot 2=6\text{ cm}$$
$$A_{\text{lat}}=P_b\cdot B{B}^{\prime }=6\cdot 4=24{\text{ cm}}^2$$

---

Subiectul al III-lea, 1)

a) Fie $x$ suma totală de bani cheltuită de Laura în cele trei zile.

• În prima zi, Laura cheltuiește $\frac{1}{2}\cdot x$.
• Suma rămasă după prima zi este $x-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x$.
• În a doua zi, Laura cheltuiește $\frac{1}{3}$ din suma rămasă:
  $$\frac{1}{3}\cdot \left(\frac{1}{2}x\right)=\frac{1}{6}x$$
  (1p)

Deoarece $\frac{1}{2}>\frac{1}{6}$, avem $\frac{1}{2}x>\frac{1}{6}x$, deci Laura cheltuiește în prima zi mai mult decât în a doua zi.
(1p)

b) Suma cheltuită în cele trei zile este egală cu suma totală:
$$\frac{x}{2}+\frac{x}{6}+100=x$$
(1p)

Aducem la același numitor comun $6$:
$$3x+x+600=6x⟺4x+600=6x⟺2x=600$$
(1p)

$$x=300\text{ lei}$$
Suma pe care a cheltuit-o Laura în cele trei zile este $300$ de lei.
(1p)

---

Subiectul al III-lea, 2)

a) Calculăm expresia $E(x)$:
$$3(x-2)(x+2)=3(x^2-4)=3x^2-12$$
$$(x-3{)}^2=x^2-6x+9$$
$$-9(x-1)=-9x+9$$
Prin urmare:
$$E(x)=3x^2-12-(x^2-6x+9)-9x+9+3$$
$$E(x)=3x^2-12-x^2+6x-9-9x+9+3=2x^2-3x-9$$
(1p)

Calculăm produsul din cerință:
$$(x-3)(2x+3)=2x^2+3x-6x-9=2x^2-3x-9$$
Deoarece ambele forme sunt egale cu $2x^2-3x-9$, deducem că:
$$E(x)=(x-3)(2x+3),\text{pentru orice }x\in \mathbb{R}$$
(1p)

b) Pentru $n\in \mathbb{N}$, avem $E(n)=(n-3)(2n+3)$.
(1p)

Pentru ca $E(n)$ să fie număr prim, este necesar ca unul dintre factorii întregi să fie egal cu $1$ sau $-1$:

• Deoarece $n\in \mathbb{N}$, $2n+3\ge 3$, deci $2n+3$ nu poate fi $1$ (ar da $n=-1\notin \mathbb{N}$).
• Rămâne posibilitatea $n-3=1$.
  (1p)

Din $n-3=1$ rezultă $n=4$.
Verificăm valoarea lui $E(4)$:
$$E(4)=(4-3)(2\cdot 4+3)=1\cdot 11=11$$
Cum $11$ este număr prim, valoarea căutată este $n=4$.
(1p)

---

Subiectul al III-lea, 3)

a) Calculăm valorile funcției:
$$f(2)=3\cdot 2-6=6-6=0$$
(1p)

Atunci produsul este:
$$f(2)\cdot f(3)=0\cdot f(3)=0$$
(1p)

b) Aflăm coordonatele punctelor de intersecție cu axele:

• Intersecția cu $Ox$: $f(x)=0⟺3x-6=0⟺x=2$, deci $A(2,0)$.
• Intersecția cu $Oy$: $f(0)=3\cdot 0-6=-6$, deci $B(0,-6)$.
  (1p)

Punctele $A(2,0)$ și $M(m,0)$ sunt situate pe axa $Ox$. Lungimea segmentului $AM$ este:
$$AM=|m-2|$$
Deoarece $B(0,-6)$ se află pe axa $Oy$, înălțimea din $B$ pe axa $Ox$ (adică pe dreapta $AM$) este segmentul $BO$, de lungime $|-6|=6$.

Aria triunghiului $ABM$ este:
$${\mathcal{A}}_{△ABM}=\frac{AM\cdot BO}{2}=\frac{|m-2|\cdot 6}{2}=3|m-2|$$
(1p)

Egalăm aria cu $6$:
$$3|m-2|=6⟺|m-2|=2$$
Avem două cazuri:

1. $m-2=2⟹m=4$
2. $m-2=-2⟹m=0$

Valorile numărului $m$ sunt $m=0$ și $m=4$.
(1p)

---

Subiectul al III-lea, 4)

a) În triunghiul dreptunghic $ABC$ cu $\sphericalangle BAC=90^{\circ }$ și $\sphericalangle ABC=60^{\circ }$, avem:
$$\sphericalangle ACB=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$$
Conform teoremei unghiului de $30^{\circ }$, cateta care se opune unghiului de $30^{\circ }$ este jumătate din ipotenuză:
$$AB=\frac{BC}{2}⟹BC=2\cdot AB=2\cdot 6=12\text{ cm}$$
(1p)

Segmentul $AM$ este mediana corespunzătoare ipotenuzei $BC$, deci lungimea sa este jumătate din ipotenuză:
$$AM=\frac{BC}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ cm}$$
(1p)

b) Deoarece $AM=6\text{ cm}$, $BM=\frac{BC}{2}=6\text{ cm}$ și $AB=6\text{ cm}$, rezultă că triunghiul $AMB$ este echilateral.
Astfel, $\sphericalangle AMB=60^{\circ }$.
(1p)

Fie $PQ\perp BC$, cu $Q\in BC$. Distanța de la punctul $P$ la dreapta $BC$ este lungimea segmentului $PQ$.
În triunghiul dreptunghic $PMQ$ (cu $\sphericalangle PQM=90^{\circ }$):

• $P$ este mijlocul lui $AM$, deci $PM=\frac{AM}{2}=\frac{6}{2}=3\text{ cm}$.
• $\sphericalangle PMQ=60^{\circ }$, deci $\sphericalangle MPQ=30^{\circ }$.
• Conform teoremei unghiului de $30^{\circ }$, $QM=\frac{PM}{2}=\frac{3}{2}\text{ cm}$.
  (1p)

Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul $PMQ$:
$$PQ=\sqrt{P{M}^2-Q{M}^2}=\sqrt{3^2-{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}=\sqrt{9-\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\text{ cm}$$
(1p)

---

Subiectul al III-lea, 5)

a) În triunghiul $COD$, punctul $E$ este mijlocul segmentului $OD$, iar punctul $F$ este mijlocul segmentului $CO$.
Rezultă că segmentul $EF$ este linie mijlocie în triunghiul $COD$.
(1p)

Prin urmare:
$$EF=\frac{CD}{2}$$
Într-un dreptunghi, laturile opuse sunt congruente, deci $CD=AB=8\text{ cm}$.
$$EF=\frac{8}{2}=4\text{ cm}$$
(1p)

b) Deoarece $EF$ este linie mijlocie în triunghiul $COD$, avem $EF\parallel CD$, deci $△OEF\sim △ODC$.
Raportul de asemănare este $\frac{OE}{OD}=\frac{1}{2}$, deci raportul ariilor este:
$$\frac{{\mathcal{A}}_{△OEF}}{{\mathcal{A}}_{△ODC}}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$$
(1p)

Aria triunghiului dreptunghic $ADC$ este:
$${\mathcal{A}}_{△ADC}=\frac{AD\cdot DC}{2}=\frac{6\cdot 8}{2}=24{\text{ cm}}^2$$
Cum $O$ este mijlocul diagonalei $AC$, segmentul $DO$ este mediană în triunghiul $ADC$, împărțindu-l în două triunghiuri de arii egale:
$${\mathcal{A}}_{△ODC}=\frac{{\mathcal{A}}_{△ADC}}{2}=\frac{24}{2}=12{\text{ cm}}^2$$
Atunci:
$${\mathcal{A}}_{△OEF}=\frac{1}{4}\cdot {\mathcal{A}}_{△ODC}=\frac{12}{4}=3{\text{ cm}}^2$$
(1p)

Aria trapezului $DEFC$ se obține scăzând aria triunghiului $OEF$ din aria triunghiului $ODC$:
$${\mathcal{A}}_{DEFC}={\mathcal{A}}_{△ODC}-{\mathcal{A}}_{△OEF}=12-3=9{\text{ cm}}^2$$
(1p)

---

Subiectul al III-lea, 6)

a) Segmentele $A{B}^{\prime }$, $B^{\prime }C$ și $AC$ sunt diagonale ale unor fețe congruente (pătrate de latură $12\text{ cm}$) ale cubului:
$$A{B}^{\prime }=B^{\prime }C=AC=12\sqrt{2}\text{ cm}$$
(1p)

Triunghiul $A{B}^{\prime }C$ are toate laturile congruente, deci este un triunghi echilateral.
Rezultă că măsura unghiului $\sphericalangle A{B}^{\prime }C$ este:
$$\sphericalangle A{B}^{\prime }C=60^{\circ }$$
(1p)

b) Fie $O$ punctul de intersecție a diagonalelor bazei $ABCD$, adică $\{O\}=AC\cap BD$.

• Deoarece $ABCD$ este pătrat, diagonalele sunt perpendiculare: $AC\perp BD$.
• Muchia verticală este perpendiculară pe planul bazei: $B{B}^{\prime }\perp (ABCD)$, iar cum $AC\subset (ABCD)$, rezultă $AC\perp B{B}^{\prime }$.
• Deoarece $AC\perp BD$ și $AC\perp B{B}^{\prime }$, cu $BD\cap B{B}^{\prime }=\{B\}$, deducem că $AC\perp (B{B}^{\prime }{D}^{\prime }D)$, deci $AC\perp (B{B}^{\prime }O)$.
  (1p)

În triunghiul dreptunghic $B{B}^{\prime }O$ (unde $\sphericalangle B^{\prime }BO=90^{\circ }$), construim înălțimea din $B$, $BQ\perp B^{\prime }O$, cu $Q\in B^{\prime }O$.
Deoarece $BQ\subset (B{B}^{\prime }O)$ și $AC\perp (B{B}^{\prime }O)$, rezultă că $AC\perp BQ$.
Cum $BQ\perp B^{\prime }O$ și $BQ\perp AC$, cu $B^{\prime }O\cap AC=\{O\}\subset (A{B}^{\prime }C)$, obținem:
$$BQ\perp (A{B}^{\prime }C)$$
Prin urmare, distanța de la punctul $B$ la planul $(A{B}^{\prime }C)$ este lungimea segmentului $BQ$.
(1p)

Calculăm lungimea lui $BQ$ în triunghiul dreptunghic $B{B}^{\prime }O$:

• $B{B}^{\prime }=12\text{ cm}$
• $BD=12\sqrt{2}\text{ cm}⟹BO=\frac{BD}{2}=6\sqrt{2}\text{ cm}$
• Ipotenuza $B^{\prime }O=\sqrt{B{B}^{\prime 2}+B{O}^2}=\sqrt{12^2+(6\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{144+72}=\sqrt{216}=6\sqrt{6}\text{ cm}$

Înălțimea corespunzătoare ipotenuzei este dată de produsul catetelor împărțit la ipotenuză:
$$BQ=\frac{B{B}^{\prime }\cdot BO}{B^{\prime }O}=\frac{12\cdot 6\sqrt{2}}{6\sqrt{6}}=\frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\text{ cm}$$
Deci distanța de la punctul $B$ la planul $(A{B}^{\prime }C)$ este $d(B,(A{B}^{\prime }C))=4\sqrt{3}\text{ cm}$.
(1p)

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Rezultatul calculului $8-6:2$ este egal cu:

• a) $-5$
• b) $-1$
• c) $1$
• d) $5$

5p 2. Numărul natural care reprezintă $10\%$ din $1000$ este egal cu:

• a) $1$
• b) $10$
• c) $100$
• d) $990$

5p 3. Soluția ecuației $4-x=6$ este:

• a) $-10$
• b) $-2$
• c) $2$
• d) $24$

5p 4. Din setul de numere $3,(21);32,1;3,21;3,2(1)$ cel mai mic număr este:

• a) $3,21$
• b) $3,(21)$
• c) $3,2(1)$
• d) $32,1$

5p 5. Patru elevi Dan, Mihai, Ana și Miruna, calculează media geometrică a numerelor reale $a=6-2\sqrt{5}$ și $b=6+2\sqrt{5}$ și au obținut rezultatele înregistrate în tabelul de mai jos.

Dan	$4$
Mihai	$6$
Ana	$12$
Miruna	$16$

Conform informațiilor din tabel, dintre cei patru elevi, cel care a calculat corect media geometrică este:

• a) Dan
• b) Mihai
• c) Ana
• d) Miruna

5p 6. Răspunsurile primite în urma unui sondaj de opinie privind folosirea unui produs de curățenie în gospodărie sunt înregistrate în diagrama alăturată. Numărul persoanelor care au răspuns la acest chestionar este egal cu:

[Figura: Diagramă circulară cu numărul de răspunsuri: Niciodată: 100; Întotdeauna: 150; Deseori: 130; Ocazional: 120]

• a) $100$
• b) $150$
• c) $400$
• d) $500$

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura alăturată este reprezentat unghiul propriu $AOB$ și punctele $M$, $N$, $P$, $Q$, $R$ și $S$.

[Figura: Unghiul propriu $AOB$ având punctul $N$ pe semidreapta $OA$, punctul $M$ în exterior deasupra laturii $OA$, punctele $S,P,Q$ în interiorul unghiului, punctul $R$ în exterior sub latura $OB$]

Punctele care se află în interiorul unghiului $AOB$ sunt:

• a) $N,S$ și $P$
• b) $M,R$ și $Q$
• c) $S,P$ și $Q$
• d) $A,N$ și $B$

5p 2. În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile adiacente suplementare $AOB$ și $BOC$, iar $\sphericalangle AOB=2\cdot \sphericalangle BOC$. Semidreapta $OD$ este opusă semidreptei $OB$.

[Figura: Unghiurile adiacente suplementare $AOB$ și $BOC$ pe dreapta $AC$, iar semidreapta $OD$ formează dreapta $BD$ cu semidreapta $OB$]

Măsura unghiului $COD$ este egală cu:

• a) $180^{\circ }$
• b) $120^{\circ }$
• c) $60^{\circ }$
• d) $30^{\circ }$

5p 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ care are perimetrul egal cu $48\text{ cm}$. Punctul $M$ aparține segmentului $BC$, astfel încât perimetrul triunghiului $ABM$ este egal cu $24\text{ cm}$ și perimetrul triunghiului $ACM$ este egal cu $36\text{ cm}$.

[Figura: Triunghiul $ABC$ cu punctul $M$ situat pe latura $BC$ și segmentul cevian $AM$ trasat]

Lungimea segmentului $AM$ este egală cu:

• a) $3\text{ cm}$
• b) $6\text{ cm}$
• c) $12\text{ cm}$
• d) $24\text{ cm}$

5p 4. În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$. Dreptele $AC$ și $BD$ se intersectează în punctul $O$.

[Figura: Pătratul $ABCD$ cu diagonalele $AC$ și $BD$ intersectate în punctul $O$]

Măsura unghiului $DOC$ este egală cu:

• a) $30^{\circ }$
• b) $45^{\circ }$
• c) $60^{\circ }$
• d) $90^{\circ }$

5p 5. În figura alăturată, pe cercul de centru $O$, sunt reprezentate punctele $A$, $B$ și $C$. Unghiurile $AOB$, $BOC$ și $AOC$ sunt congruente.

[Figura: Cerc de centru $O$ cu punctele $A,B,C$ pe cerc și razele $OA,OB,OC$ împărțind cercul în trei unghiuri la centru egale]

Măsura arcului mic $AB$ este egală cu:

• a) $60^{\circ }$
• b) $90^{\circ }$
• c) $120^{\circ }$
• d) $180^{\circ }$

5p 6. În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza triunghiul echilateral $ABC$, $AB=2\text{ cm}$ și $B{B}^{\prime }=4\text{ cm}$.

[Figura: Prisma triunghiulară dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$]

Aria laterală a prismei $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ este egală cu:

• a) $8{\text{ cm}}^2$
• b) $18{\text{ cm}}^2$
• c) $24{\text{ cm}}^2$
• d) $32{\text{ cm}}^2$

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrie rezolvările complete. (30 de puncte)

5p 1. Laura cheltuiește o sumă de bani în trei zile. În prima zi cheltuiește $\frac{1}{2}$ din sumă, în a doua zi cheltuiește $\frac{1}{3}$ din suma rămasă, iar în a treia zi cheltuiește restul de $100$ de lei.

• (2p) a) Verifică dacă Laura cheltuiește în prima zi mai mult decât cheltuiește în a doua zi. Justifică răspunsul dat.
• (3p) b) Determină ce sumă a cheltuit Laura în cele trei zile.

5p 2. Se consideră expresia $E(x)=3(x-2)(x+2)-(x-3{)}^2-9(x-1)+3$, unde $x$ este număr real.

• (2p) a) Arată că $E(x)=(x-3)(2x+3)$, pentru orice număr real $x$.
• (3p) b) Determină numărul natural $n$ pentru care $E(n)$ este număr prim.

5p 3. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-6$.

• (2p) a) Calculează $f(2)\cdot f(3)$.
• (3p) b) În sistemul de axe ortogonale $xOy$ se consideră punctul $M(m,0)$ și punctele $A$ și $B$ care sunt punctele de intersecție a reprezentării grafice a funcției $f$ cu axele $Ox$, respectiv $Oy$. Află valorile numărului $m$ pentru care aria triunghiului $ABM$ este egală cu $6$.

5p 4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ cu $\sphericalangle BAC=90^{\circ }$, $\sphericalangle ABC=60^{\circ }$ și $AB=6\text{ cm}$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$, iar punctul $P$ este mijlocul segmentului $AM$.

[Figura: Triunghiul dreptunghic $ABC$ cu unghiul drept în $A$, $M$ mijlocul ipotenuzei $BC$, $P$ mijlocul medianei $AM$]

• (2p) a) Arată că $AM=6\text{ cm}$.
• (3p) b) Determină distanța de la punctul $P$ la dreapta $BC$.

5p 5. În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=8\text{ cm}$, $AD=6\text{ cm}$ și $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$. Punctul $E$ este mijlocul segmentului $OD$, iar punctul $F$ este mijlocul segmentului $CO$.

[Figura: Dreptunghiul $ABCD$ cu diagonalele $AC$ și $BD$ intersectate în $O$, $E$ pe $OD$, $F$ pe $OC$ și segmentul $EF$ trasat]

• (2p) a) Determină lungimea segmentului $EF$.
• (3p) b) Determină aria trapezului $DEFC$.

5p 6. În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=12\text{ cm}$.

[Figura: Cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ având trasate segmentele $A{B}^{\prime }$, $B^{\prime }C$ și diagonala bazei $AC$]

• (2p) a) Determină măsura unghiului $A{B}^{\prime }C$.
• (3p) b) Determină distanța de la punctul $B$ la planul $(A{B}^{\prime }C)$.