Evaluare Națională 2023, matematică: simulare națională

REZOLVARE ȘI BAREM DE EVALUARE

---

SUBIECTUL I

Subiectul I, 1)

• Răspuns corect: d) $170$
• Explicație: Un număr este divizibil cu $10$ dacă și numai dacă ultima sa cifră este $0$. Cum numărul este de forma $\overline{17x}$, rezultă $x=0$, așadar numărul căutat este $170$.
• Punctaj conform barem: 5p

Subiectul I, 2)

• Răspuns corect: a) $10$
• Explicație: Calculăm procentul:
  $$20\%\text{ din }50=\frac{20}{100}\cdot 50=\frac{1}{5}\cdot 50=10$$
• Punctaj conform barem: 5p

Subiectul I, 3)

• Răspuns corect: c) $3$
• Explicație: Numerele întregi din intervalul închis $[-2,3]$ sunt: $-2,-1,0,1,2,3$.
  Suma lor este:
  $$S=(-2)+(-1)+0+1+2+3=[(-2)+2]+[(-1)+1]+0+3=3$$
• Punctaj conform barem: 5p

Subiectul I, 4)

• Răspuns corect: d) $\frac{3}{2}$
• Explicație: Inversul unui număr rațional nenul $\frac{a}{b}$ este $\frac{b}{a}$. Pentru $\frac{2}{3}$, inversul este $\frac{3}{2}$.
• Punctaj conform barem: 5p

Subiectul I, 5)

• Răspuns corect: c) George
• Explicație: Media geometrică a două numere reale pozitive $x$ și $y$ este $m_g=\sqrt{x\cdot y}$.
  $$x\cdot y=(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})=3^2-(2\sqrt{2}{)}^2=9-8=1$$
  $$m_g=\sqrt{1}=1$$
  Elevul care a obținut rezultatul $1$ este George.
• Punctaj conform barem: 5p

Subiectul I, 6)

• Răspuns corect: b) falsă
• Explicație: Comparăm cele două numere introducând factorii sub radical:
  $4=\sqrt{16}$ și $2\sqrt{5}=\sqrt{2^2\cdot 5}=\sqrt{20}$.
  Deoarece $16<20$, avem $4<2\sqrt{5}$. Așadar, afirmația că „$4$ este mai mare decât $2\sqrt{5}$” este falsă.
• Punctaj conform barem: 5p

---

SUBIECTUL al II-lea

Subiectul al II-lea, 1)

• Răspuns corect: d) $20\text{ cm}$
• Explicație:
  • Punctul $C$ este simetricul lui $B$ față de $A$, deci $A$ este mijlocul segmentului $BC$, ceea ce înseamnă că $CA=AB=5\text{ cm}$, deci $BC=10\text{ cm}$.
  • Punctul $D$ este simetricul lui $C$ față de $B$, deci $B$ este mijlocul segmentului $CD$, de unde $BD=BC=10\text{ cm}$.
  • Lungimea segmentului $CD$ este:
    $$CD=BC+BD=10+10=20\text{ cm}$$
• Punctaj conform barem: 5p

Subiectul al II-lea, 2)

• Răspuns corect: c) $105^{\circ }$
• Explicație:
  • Unghiurile $AOC$ și $BOD$ sunt opuse la vârf, deci $\sphericalangle BOD=\sphericalangle AOC=30^{\circ }$.
  • Punctele $A,O,B$ sunt coliniare, prin urmare unghiurile $AOC$ și $BOC$ sunt suplementare:
    $$\sphericalangle BOC=180^{\circ }-30^{\circ }=150^{\circ }$$
  • Semidreapta $OE$ este bisectoarea unghiului $BOC$, deci:
    $$\sphericalangle BOE=\frac{\sphericalangle BOC}{2}=\frac{150^{\circ }}{2}=75^{\circ }$$
  • Unghiul $DOE$ este format din alăturarea unghiurilor adiacente $BOD$ și $BOE$:
    $$\sphericalangle DOE=\sphericalangle BOD+\sphericalangle BOE=30^{\circ }+75^{\circ }=105^{\circ }$$
• Punctaj conform barem: 5p

Subiectul al II-lea, 3)

• Răspuns corect: b) $16\text{ cm}$
• Explicație: Punctele $M,N,P$ fiind mijloacele laturilor $AB,BC$, respectiv $AC$, segmentele $MN,NP,PM$ sunt linii mijlocii în $△ABC$.
  Lungimile lor sunt jumătăți din lungimile laturilor corespunzătoare:
  $$MN=\frac{AC}{2}=\frac{7}{2}=3,5\text{ cm}$$
  $$NP=\frac{AB}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ cm}$$
  $$PM=\frac{BC}{2}=\frac{13}{2}=6,5\text{ cm}$$
  Perimetrul triunghiului $MNP$ este:
  $$P_{MNP}=MN+NP+PM=\frac{AC+AB+BC}{2}=\frac{7+12+13}{2}=\frac{32}{2}=16\text{ cm}$$
• Punctaj conform barem: 5p

Subiectul al II-lea, 4)

• Răspuns corect: c) $100^{\circ }$
• Explicație:
  • În triunghiul dreptunghic $ABC$ cu $\sphericalangle ACB=90^{\circ }$, segmentul $CM$ este mediana corespunzătoare ipotenuzei $AB$, deci $CM=\frac{AB}{2}$.
  • În triunghiul dreptunghic $ADB$ cu $\sphericalangle ADB=90^{\circ }$, segmentul $DM$ este mediana corespunzătoare ipotenuzei $AB$, deci $DM=\frac{AB}{2}$.
  • Rezultă că $CM=DM$, prin urmare triunghiul $CMD$ este isoscel de bază $CD$.
  • Unghiurile de la bază sunt congruente: $\sphericalangle MDC=\sphericalangle DCM=40^{\circ }$.
  • Suma măsurilor unghiurilor în $△CMD$ este $180^{\circ }$, așadar:
    $$\sphericalangle CMD=180^{\circ }-2\cdot 40^{\circ }=180^{\circ }-80^{\circ }=100^{\circ }$$
• Punctaj conform barem: 5p

Subiectul al II-lea, 5)

• Răspuns corect: a) $30^{\circ }$
• Explicație:
  • Segmentul $BC$ este diametru, deci arcul semicercului $BAC$ măsoară $180^{\circ }$.
  • Măsura arcului mic $AB$ este:
    $$m(\text{overparen}AB)=180^{\circ }-m(\text{overparen}AC)=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$$
  • Unghiul $ACB$ este un unghi înscris în cerc care subîntinde arcul mic $AB$, deci măsura sa este jumătate din măsura arcului:
    $$\sphericalangle ACB=\frac{m(\text{overparen}AB)}{2}=\frac{60^{\circ }}{2}=30^{\circ }$$
• Punctaj conform barem: 5p

Subiectul al II-lea, 6)

• Răspuns corect: b) $4\sqrt{2}\text{ cm}$
• Explicație: Secțiunea axială este triunghiul dreptunghic isoscel $VAB$ cu $\sphericalangle AVB=90^{\circ }$ și $VA=VB$.
  Înălțimea $VO$ a conului este mediană și înălțime corespunzătoare ipotenuzei $AB$, deci:
  $$VO=AO=4\text{ cm}$$
  Generatoarea conului este $VA$, ipotenuza în triunghiul dreptunghic $VOA$:
  $$VA=\sqrt{V{O}^2+A{O}^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\text{ cm}$$
• Punctaj conform barem: 5p

---

SUBIECTUL al III-lea

Subiectul al III-lea, 1)

a)

• Dacă în bloc ar fi $16$ apartamente cu patru camere, numărul de camere provenite de la acestea ar fi:
  $$16\cdot 4=64\text{ camere}$$ (1p)
• Întrucât în total în bloc sunt doar $60$ de camere, iar $64>60$, nu este posibil ca în bloc să fie $16$ apartamente cu patru camere. (1p)

b)

• Notăm cu $x$ numărul apartamentelor cu două camere.
  Atunci numărul apartamentelor cu patru camere este $22-x$.
  Ecuația numărului total de camere este:
  $$2x+4(22-x)=60$$ (1p)
• Desfacem parantezele:
  $$2x+88-4x=60⟹88-2x=60⟹2x=28$$ (1p)
• Obținem:
  $$x=14$$
  Așadar, în bloc sunt $14$ apartamente cu două camere. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 2)

a)

• Aducem la numitor comun în prima și a doua paranteză:
  $$\frac{x^2-9}{x^2-16}-1=\frac{x^2-9-(x^2-16)}{x^2-16}=\frac{7}{(x-4)(x+4)}$$
  $$\frac{1}{x+4}+\frac{1}{x-4}-\frac{3}{x^2-16}=\frac{(x-4)+(x+4)-3}{(x-4)(x+4)}=\frac{2x-3}{(x-4)(x+4)}$$ (1p)
• Efectuăm împărțirea prin înmulțirea cu inversa fracției:
  $$E(x)=\frac{7}{(x-4)(x+4)}\cdot \frac{(x-4)(x+4)}{2x-3}=\frac{7}{2x-3}$$
  pentru orice $x\in \mathbb{R}\setminus \left\{-4,4,\frac{3}{2}\right\}$. (1p)

b)

• Pentru $n\in \mathbb{N}$, avem $E(n)=\frac{7}{2n-3}$. (1p)
• Pentru ca $E(n)\in \mathbb{N}$, trebuie ca numitorul $2n-3$ să fie un divizor natural al lui $7$.
  Divizorii pozitivi ai lui $7$ sunt $1$ și $7$, prin urmare:
  $$2n-3=1\text{sau}2n-3=7$$ (1p)
• Rezolvăm cele două ecuații:
  • $2n-3=1⟹2n=4⟹n=2\in \mathbb{N}$
  • $2n-3=7⟹2n=10⟹n=5\in \mathbb{N}$
    Ambele valori convin deoarece verifică condițiile de existență ($n\ne 4$ și $n\ne \frac{3}{2}$).
    Numerele căutate sunt $n\in \{2,5\}$. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 3)

a)

• Folosind proprietățile puterilor, avem:
  $${\left(-\frac{1}{3}\right)}^{32}:{\left(-\frac{1}{3}\right)}^{30}={\left(-\frac{1}{3}\right)}^{32-30}={\left(-\frac{1}{3}\right)}^2$$ (1p)
• Calculăm valoarea expresiei:
  $$a=\frac{1}{9}\cdot 36=4$$ (1p)

b)

• Calculăm numitorii din paranteză și termenul cu exponent negativ:
  $$1+2=3,1+2+3=6$$
  $$(0,5{)}^{-2}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}=2^2=4$$
  Astfel:
  $$b=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)\cdot 4=\left(\frac{2}{6}+\frac{1}{6}\right)\cdot 4=\frac{3}{6}\cdot 4$$ (1p)
• Obținem:
  $$b=\frac{1}{2}\cdot 4=2$$ (1p)
• Media aritmetică a numerelor $a$ și $b$ este:
  $$m_a=\frac{a+b}{2}=\frac{4+2}{2}=\frac{6}{2}=3$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 4)

a)

• Fie $BP\perp AC$, cu $P\in AC$. Triunghiul $BPC$ este dreptunghic în $P$, cu $\sphericalangle BCP=30^{\circ }$.
  Conform teoremei unghiului de $30^{\circ }$, cateta opusă este jumătate din ipotenuză:
  $$BP=\frac{BC}{2}=\frac{10}{2}=5\text{ cm}$$ (1p)
• Aria triunghiului $ABC$ este:
  $${\mathcal{A}}_{△ABC}=\frac{AC\cdot BP}{2}=\frac{20\cdot 5}{2}=50{\text{ cm}}^2$$ (1p)

b)

• Comparăm triunghiurile $CBD$ și $CAB$:
  • $\sphericalangle BCD\equiv \sphericalangle ACB$ (unghi comun)
  • $\sphericalangle CBD\equiv \sphericalangle CAB$ (din ipoteză)
    Conform cazului de asemănare U.U., rezultă $△CBD\sim △CAB$. (1p)
• Scriem raportul de asemănare al laturilor:
  $$\frac{CD}{BC}=\frac{BC}{AC}$$ (1p)
• Înlocuind valorile cunoscute ($BC=10\text{ cm}$, $AC=20\text{ cm}$):
  $$\frac{CD}{10}=\frac{10}{20}⟹CD=\frac{10\cdot 10}{20}=5\text{ cm}$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 5)

a)

• Triunghiul $ABE$ este dreptunghic isoscel cu catetele $AB=BE=10\text{ cm}$ și $\sphericalangle ABE=90^{\circ }$.
  Rezultă că $\sphericalangle BAE=45^{\circ }$. (1p)
• Măsura unghiului $DAE$ este suma măsurilor unghiurilor $DAB$ și $BAE$:
  $$\sphericalangle DAE=\sphericalangle DAB+\sphericalangle BAE=45^{\circ }+45^{\circ }=90^{\circ }$$
  Prin urmare, $DA\perp AE$. (1p)

b)

• Fie $\{N\}=BC\cap AE$.
  În rombul $ABCD$, laturile opuse sunt paralele, deci $AD\parallel BC$, ceea ce înseamnă că $DA\parallel BN$.
  Cum $DA\perp AE$, rezultă că și $BN\perp AE$. (1p)
• În triunghiul dreptunghic isoscel $ABE$, $AE=\sqrt{A{B}^2+B{E}^2}=10\sqrt{2}\text{ cm}$.
  Deoarece $BN\perp AE$, înălțimea $BN$ corespunzătoare bazei este și mediană, prin urmare:
  $$BN=AN=\frac{AE}{2}=\frac{10\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}\text{ cm}$$ (1p)
• Punctele $C,B,N$ sunt coliniare în această ordine pe dreapta $BC$, deci:
  $$CN=BC+BN=10+5\sqrt{2}\text{ cm}$$
  În triunghiul dreptunghic $ACN$ (cu $\sphericalangle ANC=90^{\circ }$):
  $$\mathrm{tg}(\sphericalangle CAE)=\frac{CN}{AN}=\frac{10+5\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}=\frac{10}{5\sqrt{2}}+1=\frac{2}{\sqrt{2}}+1=\sqrt{2}+1$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 6)

a)

• Segmentul $AC$ este diagonala pătratului $ABCD$ cu latura de $6\text{ cm}$, deci:
  $$AC=6\sqrt{2}\text{ cm}$$ (1p)
• Lungimea segmentului $CP$ este:
  $$CP=AC-AP=6\sqrt{2}-2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\text{ cm}$$
  Cum $2\cdot AP=2\cdot 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\text{ cm}$, deducem că $CP=2\cdot AP$. (1p)

b)

• În fața $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$, segmentul $M$ este mijlocul lui $B^{\prime }{C}^{\prime }$, deci $B^{\prime }M=\frac{1}{2}{B}^{\prime }{C}^{\prime }=\frac{1}{2}BC$.
  Deoarece $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$, aplicând teorema fundamentală a asemănării în $△BRC$ tăiat de secanta $BM$, avem $△MR{B}^{\prime }\sim △BRC$, de unde:
  $$\frac{B^{\prime }R}{RC}=\frac{B^{\prime }M}{BC}=\frac{1}{2}$$ (1p)
• Pe de altă parte, din $CP=2\cdot AP$, rezultă raportul pe diagonala bazei:
  $$\frac{AP}{PC}=\frac{1}{2}$$
  Așadar, în triunghiul $AC{B}^{\prime }$, punctele $P\in AC$ și $R\in B^{\prime }C$ determină rapoarte egale pe laturi:
  $$\frac{AP}{PC}=\frac{B^{\prime }R}{RC}=\frac{1}{2}$$
  Conform reciprocei teoremei lui Thales, rezultă că $PR\parallel A{B}^{\prime }$. (1p)
• Deoarece $PR\parallel A{B}^{\prime }$, unghiul dintre dreptele $PR$ și $A{D}^{\prime }$ este egal cu unghiul dintre dreptele $A{B}^{\prime }$ și $A{D}^{\prime }$:
  $$\sphericalangle (PR,A{D}^{\prime })=\sphericalangle (A{B}^{\prime },A{D}^{\prime })=\sphericalangle D^{\prime }A{B}^{\prime }$$
  Segmentele $A{B}^{\prime },A{D}^{\prime }$ și $B^{\prime }{D}^{\prime }$ sunt toate diagonale ale fețelor cubului, deci:
  $$A{B}^{\prime }=A{D}^{\prime }=B^{\prime }{D}^{\prime }=6\sqrt{2}\text{ cm}$$
  Triunghiul $D^{\prime }A{B}^{\prime }$ este echilateral, prin urmare $\sphericalangle D^{\prime }A{B}^{\prime }=60^{\circ }$.
  Măsura unghiului dintre dreptele $PR$ și $A{D}^{\prime }$ este egală cu $60^{\circ }$. (1p)

EVALUAREA NAȚIONALĂ PENTRU ABSOLVENȚII CLASEI a VIII-a

Anul școlar 2022 – 2023
Matematică
Simulare națională (21 martie 2023)

---

• Toate subiectele sunt obligatorii.
• Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de două ore.

---

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Numărul natural scris în baza zece, de forma $\overline{17x}$, divizibil cu $10$, este egal cu:

• a) $17$
• b) $70$
• c) $100$
• d) $170$

5p 2. Numărul care reprezintă $20\%$ din $50$ este egal cu:

• a) $10$
• b) $20$
• c) $25$
• d) $100$

5p 3. Suma numerelor întregi din intervalul $[-2,3]$ este egală cu:

• a) $-9$
• b) $-3$
• c) $3$
• d) $6$

5p 4. Inversul numărului $\frac{2}{3}$ este numărul:

• a) $-\frac{3}{2}$
• b) $-\frac{2}{3}$
• c) $\frac{2}{3}$
• d) $\frac{3}{2}$

5p 5. Patru elevi, Elena, Maria, George și Mihai, au calculat media geometrică a numerelor $x=3-2\sqrt{2}$ și $y=3+2\sqrt{2}$ și au obținut următoarele rezultate:

$$\begin{array}{cccc}\text{Elena}& \text{Maria}& \text{George}& \text{Mihai}\\ \sqrt{17}& \sqrt{2}& 1& 3\end{array}$$

Dintre cei patru elevi, cel care a calculat corect media geometrică este:

• a) Elena
• b) Maria
• c) George
• d) Mihai

5p 6. Afirmația „Numărul $4$ este mai mare decât numărul $2\sqrt{5}$.” este:

• a) adevărată
• b) falsă

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura alăturată este reprezentat segmentul $AB$ cu lungimea de $5\text{ cm}$. Punctul $C$ este simetricul punctului $B$ față de punctul $A$, iar punctul $D$ este simetricul punctului $C$ față de punctul $B$. Lungimea segmentului $CD$ este egală cu:

[Figura: Segment de dreaptă cu punctele coliniare $C$, $A$, $B$, $D$, în această ordine]

• a) $5\text{ cm}$
• b) $10\text{ cm}$
• c) $15\text{ cm}$
• d) $20\text{ cm}$

5p 2. În figura alăturată, unghiurile $AOC$ și $BOD$ sunt opuse la vârf. Măsura unghiului $AOC$ este egală cu $30^{\circ }$, iar semidreapta $OE$ este bisectoarea unghiului $BOC$. Măsura unghiului $DOE$ este egală cu:

[Figura: Două drepte concurente în $O$, $AB$ și $CD$, formând unghiurile opuse la vârf $AOC$ și $BOD$, și semidreapta $OE$ bisectoarea unghiului $BOC$]

• a) $75^{\circ }$
• b) $90^{\circ }$
• c) $105^{\circ }$
• d) $150^{\circ }$

5p 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ cu $AB=12\text{ cm}$, $BC=13\text{ cm}$ și $AC=7\text{ cm}$. Punctele $M$, $N$ și $P$ sunt mijloacele segmentelor $AB$, $BC$, respectiv $AC$. Perimetrul triunghiului $MNP$ este egal cu:

[Figura: Triunghiul $ABC$ cu punctele $M$, $N$, $P$ situate pe laturile $AB$, $BC$, respectiv $AC$, unite formând triunghiul median $MNP$]

• a) $8\text{ cm}$
• b) $16\text{ cm}$
• c) $18\text{ cm}$
• d) $32\text{ cm}$

5p 4. În figura alăturată este reprezentat patrulaterul $ABCD$. Dreapta $AC$ este perpendiculară pe dreapta $BC$ și dreapta $AD$ este perpendiculară pe dreapta $BD$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$ și măsura unghiului $DCM$ este egală cu $40^{\circ }$. Măsura unghiului $CMD$ este egală cu:

[Figura: Patrulaterul $ABCD$ cu diagonalele trasate, $△ACB$ și $△ADB$ dreptunghice cu ipotenuza comună $AB$, $M$ mijlocul segmentului $AB$]

• a) $80^{\circ }$
• b) $90^{\circ }$
• c) $100^{\circ }$
• d) $120^{\circ }$

5p 5. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ și diametru $BC$. Punctul $A$ aparține cercului, astfel încât măsura arcului mic $AC$ este egală cu $120^{\circ }$. Măsura unghiului $ACB$ este egală cu:

[Figura: Cerc de centru $O$ și diametru $BC$, cu punctul $A$ situat pe cerc]

• a) $30^{\circ }$
• b) $60^{\circ }$
• c) $90^{\circ }$
• d) $120^{\circ }$

5p 6. În figura alăturată este reprezentat un con circular drept cu secțiunea axială triunghiul dreptunghic $VAB$ și raza bazei conului $AO=4\text{ cm}$. Generatoarea acestui con are lungimea egală cu:

[Figura: Con circular drept cu vârful $V$, secțiunea axială $VAB$ fiind un triunghi dreptunghic în $V$, iar $O$ este centrul bazei]

• a) $4\text{ cm}$
• b) $4\sqrt{2}\text{ cm}$
• c) $8\text{ cm}$
• d) $8\sqrt{2}\text{ cm}$

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrieți rezolvările complete. (30 de puncte)

5p 1. Într-un bloc de locuințe sunt $22$ de apartamente cu două, respectiv cu patru camere, în total fiind $60$ de camere.

(2p) a) Este posibil ca în acest bloc să fie $16$ apartamente cu patru camere? Justifică răspunsul dat.

(3p) b) Determină numărul de apartamente cu două camere din acest bloc.

5p 2. Se consideră expresia
$$E(x)=\left(\frac{x^2-9}{x^2-16}-1\right):\left(\frac{1}{x+4}+\frac{1}{x-4}-\frac{3}{x^2-16}\right)$$
unde $x$ este număr real, $x\ne -4$, $x\ne 4$ și $x\ne \frac{3}{2}$.

(2p) a) Arată că $E(x)=\frac{7}{2x-3}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -4$, $x\ne 4$ și $x\ne \frac{3}{2}$.

(3p) b) Determină numerele naturale $n$ pentru care $E(n)$ este număr natural.

5p 3. Se consideră numerele
$$a={\left(-\frac{1}{3}\right)}^{32}:{\left(-\frac{1}{3}\right)}^{30}\cdot (-6{)}^2\text{și}b=\left(\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}\right)\cdot (0,5{)}^{-2}$$

(2p) a) Arată că $a=4$.

(3p) b) Calculează media aritmetică a numerelor $a$ și $b$.

5p 4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ cu $BC=10\text{ cm}$, $AC=20\text{ cm}$ și măsura unghiului $ACB$ este egală cu $30^{\circ }$. Punctul $D$ aparține segmentului $AC$, astfel încât unghiul $DBC$ este congruent cu $BAC$.

[Figura: Triunghiul $ABC$ cu segmentul $BD$ trasat, unde $D\in AC$]

(2p) a) Arată că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $50{\text{ cm}}^2$.

(3p) b) Calculează lungimea segmentului $CD$.

5p 5. În figura alăturată sunt reprezentate rombul $ABCD$ cu măsura unghiului $BAD$ egală cu $45^{\circ }$ și triunghiul dreptunghic isoscel $ABE$ cu $AB=BE=10\text{ cm}$. Punctele $C$ și $E$ sunt de o parte și de alta a dreptei $AB$.

[Figura: Rombul $ABCD$ și triunghiul dreptunghic isoscel $ABE$ cu $\sphericalangle ABE=90^{\circ }$, situate de o parte și de alta a dreptei $AB$]

(2p) a) Arată că dreapta $DA$ este perpendiculară pe dreapta $AE$.

(3p) b) Arată că tangenta unghiului $CAE$ este egală cu $\sqrt{2}+1$.

5p 6. În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=6\text{ cm}$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $B^{\prime }{C}^{\prime }$ și dreptele $BM$ și $B^{\prime }C$ se intersectează în punctul $R$. Punctul $P$ aparține segmentului $AC$, astfel încât $AP=2\sqrt{2}\text{ cm}$.

[Figura: Cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $M$ mijlocul muchiei $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $R$ intersecția dreptelor $BM$ și $B^{\prime }C$, și punctul $P$ pe diagonala $AC$]

(2p) a) Arată că $CP=2\cdot AP$.

(3p) b) Determină măsura unghiului dreptelor $PR$ și $A{D}^{\prime }$.