Evaluare Națională 2023, matematică: model oficial

Subiectul I, 1)

Răspuns corect: d) 57

• Efectuăm mai întâi împărțirea: $56:8=7$.
• Apoi efectuăm scăderea: $64-7=57$.

---

Subiectul I, 2)

Răspuns corect: a) 0

• Din proporția $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}$, folosind produsul mezilor egal cu produsul extremilor, obținem:
  $$4a=3b⟹4a-3b=0$$

---

Subiectul I, 3)

Răspuns corect: c) 0

• Numerele întregi din intervalul $[-2022,2022]$ sunt:
  $$-2022,-2021,\dots ,-1,0,1,\dots ,2021,2022$$
• Termenii opuși se reduc doi câte doi (de exemplu, $-2022+2022=0$, $-2021+2021=0$, etc.), iar suma totală este $0$.

---

Subiectul I, 4)

Răspuns corect: b) 7,60

• Calculăm numărul total al elevilor:
  $$N=6+9+12+15+12+6=60$$
• Calculăm suma notelor obținute:
  $$S=5\cdot 6+6\cdot 9+7\cdot 12+8\cdot 15+9\cdot 12+10\cdot 6$$
  $$S=30+54+84+120+108+60=456$$
• Media notelor este:
  $$m=\frac{456}{60}=7,60$$

---

Subiectul I, 5)

Răspuns corect: c) Petrică

• Deoarece $2<3$, avem $\sqrt{2}<\sqrt{3}$, deci $\sqrt{2}-\sqrt{3}<0$.
  Prin urmare, $a=|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-\sqrt{2}$.
• Deoarece $\sqrt{3}+\sqrt{2}>0$, avem $b=|\sqrt{3}+\sqrt{2}|=\sqrt{3}+\sqrt{2}$.
• Produsul este:
  $$a\cdot b=(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})=(\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2=3-2=1$$
• Rezultatul $1$ a fost obținut de Petrică.

---

Subiectul I, 6)

Răspuns corect: b) falsă

• Calculăm durata intervalului de timp dintre $12:56$ și $14:26$:
  De la $12:56$ la $13:56$ este o oră ($60\text{ minute}$), iar de la $13:56$ la $14:26$ sunt $30\text{ minute}$, deci timpul total este:
  $$t=1\text{ h }30\text{ min}=1,5\text{ ore}=\frac{3}{2}\text{ ore}$$
• Distanța parcursă cu viteza medie de $80\text{ km/h}$ este:
  $$d=v\cdot t=80\text{ km/h}\cdot 1,5\text{ h}=120\text{ km}$$
• Deoarece $120\text{ km}\ne 200\text{ km}$, afirmația lui Mihai este falsă.

---

Subiectul al II-lea, 1)

Răspuns corect: a) 8 cm

• Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$, deci $MB=\frac{AB}{2}=\frac{7}{2}=3,5\text{ cm}$.
• Punctul $N$ este mijlocul segmentului $BC$, deci $BN=\frac{BC}{2}=\frac{9}{2}=4,5\text{ cm}$.
• Punctele fiind coliniare în ordinea $A,M,B,N,C$, lungimea segmentului $MN$ este:
  $$MN=MB+BN=3,5+4,5=8\text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 2)

Răspuns corect: b) 60°

• Unghiurile $AOC$ și $BOD$ fiind opuse la vârf, punctele $A,O,D$ sunt coliniare, iar punctele $C,O,B$ sunt coliniare.
• Unghiurile $\widehat{AOB}$ și $\widehat{BOD}$ sunt suplementare (adiacente și formează unghiul alungit $\widehat{AOD}$):
  $$\sphericalangle BOD=180^{\circ }-\sphericalangle AOB=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$$

---

Subiectul al II-lea, 3)

Răspuns corect: b) 3 cm

• În triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, $\cos B=\frac{AB}{BC}$.
• Deoarece $\sphericalangle B=60^{\circ }$, avem $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$.
• Prin urmare, $AB=BC\cdot \cos 60^{\circ }=6\cdot \frac{1}{2}=3\text{ cm}$.
  (Sau: măsura unghiului $C$ este $90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$, iar conform teoremei unghiului de $30^{\circ }$, cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ este jumătate din ipotenuză: $AB=\frac{BC}{2}=3\text{ cm}$).

---

Subiectul al II-lea, 4)

Răspuns corect: b) 90°

• În paralelogramul $ABCD$, laturile opuse sunt paralele și congruente: $AD\parallel BC$ și $AD=BC$.
• În triunghiul $ABD$, avem $AD=BD$, deci triunghiul este isoscel cu baza $AB$.
• Unghiurile de la bază sunt congruente: $\sphericalangle ABD=\sphericalangle DAB=45^{\circ }$.
• Deoarece $AD\parallel BC$, unghiurile alterne interne formate cu secanta $AB$ dau $\sphericalangle ABC=180^{\circ }-\sphericalangle DAB=180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }$.
• Unghiul $\sphericalangle CBD=\sphericalangle ABC-\sphericalangle ABD=135^{\circ }-45^{\circ }=90^{\circ }$.
  (Alternativ: $\sphericalangle ADB=180^{\circ }-2\cdot 45^{\circ }=90^{\circ }$, iar unghiurile alterne interne $\sphericalangle CBD$ și $\sphericalangle ADB$ sunt congruente, deci $\sphericalangle CBD=90^{\circ }$).

---

Subiectul al II-lea, 5)

Răspuns corect: c) 45°

• Fie $O$ centrul cercului circumscris triunghiului $AMB$. Raza cercului este $R=OA=OB=8\text{ cm}$.
• În triunghiul $OAB$, avem $O{A}^2+O{B}^2=8^2+8^2=64+64=128$.
• Deoarece $AB=8\sqrt{2}\text{ cm}$, avem $A{B}^2=(8\sqrt{2}{)}^2=128$.
• Conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul $OAB$ este dreptunghic în $O$, deci măsura unghiului la centru este $\sphericalangle AOB=90^{\circ }$.
• Unghiul $\sphericalangle AMB$ este un unghi înscris în cerc care subîntinde arcul mic $AB$, așadar măsura sa este jumătate din măsura unghiului la centru corespunzător:
  $$\sphericalangle AMB=\frac{\sphericalangle AOB}{2}=\frac{90^{\circ }}{2}=45^{\circ }$$

---

Subiectul al II-lea, 6)

Răspuns corect: b) 4√3 cm

• Secțiunea axială a conului este un triunghi echilateral $VAB$ (sau $CAB$) de latură egală cu generatoarea $G$ a conului ($G=AB=BC=AC$).
• Înălțimea triunghiului echilateral este dată de formula $h=\frac{G\sqrt{3}}{2}$.
• Știm că $h=6\text{ cm}$, deci:
  $$\frac{G\sqrt{3}}{2}=6⟹G\sqrt{3}=12⟹G=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\text{ cm}$$

---

Subiectul al III-lea, 1)

a)

• Fie $x$ lungimea totală a traseului în kilometri.
• În prima zi excursionistul parcurge $30\%\cdot x=\frac{30}{100}x=\frac{3}{10}x$.
• În a doua zi parcurge o treime din distanța parcursă în prima zi:
  $$\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{10}x=\frac{1}{10}x(1p)$$
• O pătrime din lungimea întregului traseu reprezintă $\frac{1}{4}x$.
• Deoarece $\frac{1}{10}x\ne \frac{1}{4}x$ pentru $x>0$, nu este posibil ca distanța parcursă în a doua zi să reprezinte o pătrime din lungimea întregului traseu. $(1p)$

b)

• Scriem ecuația corespunzătoare parcurgerii întregului traseu în cele trei zile:
  $$\frac{30}{100}x+\frac{1}{10}x+72=x(1p)$$
• Aducem termenii la un numitor comun:
  $$\frac{3}{10}x+\frac{1}{10}x+72=x⟺\frac{4}{10}x+72=x$$
  $$4x+720=10x(1p)$$
• Rezolvăm ecuația:
  $$6x=720⟹x=120\text{ km}(1p)$$

---

Subiectul al III-lea, 2)

a)

• Aducem la numitor comun paranteza din expresia $E(x)$:
  $$\frac{2}{x-2}+\frac{x}{x+2}=\frac{2(x+2)+x(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{2x+4+x^2-2x}{(x-2)(x+2)}=\frac{x^2+4}{(x-2)(x+2)}$$
• Descompunem numitorul celei de-a doua fracții:
  $$x^2-x-2=x^2-2x+x-2=x(x-2)+1(x-2)=(x-2)(x+1)$$
• Înlocuim în expresie și transformăm împărțirea în înmulțire:
  $$E(x)=\frac{x^2+4}{(x-2)(x+2)}\cdot \frac{(x-2)(x+1)}{x^2+4}(1p)$$
• Simplificând factorii comuni $x^2+4$ și $x-2$, obținem:
  $$E(x)=\frac{x+1}{x+2},\text{pentru orice }x\in \mathbb{R}\setminus \{-2,-1,2\}(1p)$$

b)

• Scriem expresia $E(a)$ sub forma:
  $$E(a)=\frac{a+1}{a+2}=\frac{a+2-1}{a+2}=1-\frac{1}{a+2}(1p)$$
• Pentru ca $E(a)\in \mathbb{Z}$, având $a\in \mathbb{Z}$, este necesar ca:
  $$\frac{1}{a+2}\in \mathbb{Z}⟹a+2\in D_1=\{-1,1\}(1p)$$
• Avem două cazuri:
  1. $a+2=1⟹a=-1$. Dar conform domeniului de definiție, $a\in \mathbb{Z}\setminus \{-2,-1,2\}$, deci $a=-1$ nu convine.
  2. $a+2=-1⟹a=-3$, care convine deoarece $-3\notin \{-2,-1,2\}$.
• Numărul întreg căutat este $a=-3$. $(1p)$

---

Subiectul al III-lea, 3)

a)

• Înlocuim $f(x)=x+2$ în ecuație:
  $$3(x+2)=-4-2x⟹3x+6=-4-2x(1p)$$
• Trecem termenii cu $x$ în membrul stâng și termenii liberi în membrul drept:
  $$3x+2x=-4-6⟹5x=-10⟹x=-2(1p)$$

b)

• Punctul $A$ este intersecția graficului cu axa $Ox$:
  $$f(x)=0⟹x+2=0⟹x=-2⟹A(-2,0)$$
• Punctul $B$ este intersecția graficului cu axa $Oy$:
  $$f(0)=0+2=2⟹B(0,2)(1p)$$
• Punctul $C(x_C,y_C)$ este simetricul punctului $A$ față de punctul $B$, ceea ce înseamnă că $B$ este mijlocul segmentului $AC$. $(1p)$
• Coordonatele mijlocului unui segment dau:
  $$x_B=\frac{x_A+x_C}{2}⟹0=\frac{-2+x_C}{2}⟹x_C=2$$
  $$y_B=\frac{y_A+y_C}{2}⟹2=\frac{0+y_C}{2}⟹y_C=4$$
• Prin urmare, coordonatele punctului $C$ sunt $C(2,4)$. $(1p)$

---

Subiectul al III-lea, 4)

a)

• În pătratul $ABCD$, măsura unghiului $\sphericalangle DAB=90^{\circ }$ și $AD=AB=4\text{ cm}$.
• În triunghiul echilateral $ABP$, laturile sunt egale cu latura pătratului: $AP=AB=PB=4\text{ cm}$, iar $\sphericalangle PAB=\sphericalangle APB=\sphericalangle PBA=60^{\circ }$.
• Măsura unghiului $\sphericalangle PAD$ este:
  $$\sphericalangle PAD=\sphericalangle DAB+\sphericalangle PAB=90^{\circ }+60^{\circ }=150^{\circ }$$
• În triunghiul $PAD$, avem $AD=AP=4\text{ cm}$, deci triunghiul $PAD$ este isoscel cu vârful în $A$.
  Unghiurile de la bază sunt congruente: $\sphericalangle APD=\sphericalangle ADP$. $(1p)$
• Calculăm măsura unghiului $\sphericalangle APD$:
  $$\sphericalangle APD=\frac{180^{\circ }-150^{\circ }}{2}=15^{\circ }$$
• Măsura unghiului $\sphericalangle DPB$ este:
  $$\sphericalangle DPB=\sphericalangle APB-\sphericalangle APD=60^{\circ }-15^{\circ }=45^{\circ }(1p)$$

b)

• Fie $PQ\perp AB$, cu $Q\in AB$. În triunghiul echilateral $ABP$, înălțimea $PQ$ este și mediană, deci:
  $$AQ=QB=\frac{AB}{2}=2\text{ cm}$$
  $$PQ=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\text{ cm}(1p)$$
• Deoarece $ABCD$ este pătrat, $AD\perp AB$. Având și $PQ\perp AB$, rezultă că $AD\parallel PQ$.
• În triunghiul $MAD$, aplicăm teorema fundamentală a asemănării sau proporționalitatea datorată paralelelor ($PQ\parallel AD$ cu transversalele concurente în $M$):
  $$\Delta DAM\sim \Delta PQM⟹\frac{AD}{PQ}=\frac{AM}{MQ}(1p)$$
• Punctul $M$ se află pe segmentul $AQ$, deci $MQ=AQ-AM=2-AM$.
• Înlocuind valorile cunoscute:
  $$\frac{4}{2\sqrt{3}}=\frac{AM}{2-AM}⟺\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{AM}{2-AM}$$
  $$2(2-AM)=\sqrt{3}\cdot AM⟺4-2AM=\sqrt{3}AM$$
  $$AM(2+\sqrt{3})=4⟹AM=\frac{4}{2+\sqrt{3}}=4(2-\sqrt{3})\text{ cm}(1p)$$

---

Subiectul al III-lea, 5)

a)

• Deoarece $R$ este mijlocul laturii $AD$ și $T$ este mijlocul laturii $BC$ în trapezul $ABCD$, segmentul $RT$ este linie mijlocie în trapez. $(1p)$
• Lungimea liniei mijlocii este media aritmetică a lungimilor bazelor:
  $$RT=\frac{AB+CD}{2}=\frac{6+4}{2}=5\text{ cm}(1p)$$

b)

• Fie $h$ înălțimea trapezului $ABCD$. Distanța dintre bazele $CD$ și $AB$ este $h$.
  Aria trapezului este:
  $${\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{(AB+CD)\cdot h}{2}=RT\cdot h(1p)$$
• Linia mijlocie $RT$ este paralelă cu bazele $AB$ și $CD$ și este situată la distanța $\frac{h}{2}$ de fiecare dintre baze.
• Fie segmentul $DQ\perp AB$, cu $Q\in AB$, și fie $\{P\}=DQ\cap RT$. Punctul $P$ este mijlocul înălțimii $DQ$, așadar $DP=PQ=\frac{h}{2}$.
• Aria patrulaterului $DRST$ se poate calcula ca suma ariilor triunghiurilor $DRT$ și $RST$, ambele având baza $RT$:
  $${\mathcal{A}}_{\Delta DRT}=\frac{RT\cdot DP}{2}=\frac{RT\cdot \frac{h}{2}}{2}(1p)$$
  $${\mathcal{A}}_{\Delta RST}=\frac{RT\cdot PQ}{2}=\frac{RT\cdot \frac{h}{2}}{2}$$
• Adunând cele două arii:
  $${\mathcal{A}}_{DRST}={\mathcal{A}}_{\Delta DRT}+{\mathcal{A}}_{\Delta RST}=\frac{RT\cdot (DP+PQ)}{2}=\frac{RT\cdot h}{2}$$
• Comparând cu aria trapezului:
  $${\mathcal{A}}_{DRST}=\frac{{\mathcal{A}}_{ABCD}}{2}(1p)$$

---

Subiectul al III-lea, 6)

a)

• Muchia cubului este $l=D^{\prime }{C}^{\prime }=6\text{ cm}$. $(1p)$
• Volumul cubului este:
  $$\mathcal{V}=l^3=6^3=216{\text{ cm}}^3(1p)$$

b)

• În triunghiul $AC{B}^{\prime }$, $O$ este mijlocul segmentului $AC$ (diagonalele pătratului se înjumătățesc), iar $O^{\prime }$ este mijlocul segmentului $B^{\prime }C$ (diagonalele feței $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ se înjumătățesc).
• Rezultă că segmentul $O{O}^{\prime }$ este linie mijlocie în triunghiul $A{B}^{\prime }C$, deci $O{O}^{\prime }\parallel A{B}^{\prime }$. $(1p)$
• Vom demonstra că dreapta $A{B}^{\prime }$ este perpendiculară pe planul $(A^{\prime }{D}^{\prime }C)$:
  1. Fețele cubului $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ și $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ sunt pătrate. Dreapta $A^{\prime }{D}^{\prime }$ este perpendiculară pe planul feței $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, deci $A^{\prime }{D}^{\prime }\perp A{B}^{\prime }$.
  2. În fața laterală $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$, diagonalele sunt perpendiculare: $A{B}^{\prime }\perp A^{\prime }B$.
     Dar $A^{\prime }B\parallel D^{\prime }C$ (deoarece $A^{\prime }BC{D}^{\prime }$ este dreptunghi), deci $A{B}^{\prime }\perp D^{\prime }C$.
     (Sau direct: în pătratul $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$, $A{B}^{\prime }\perp A^{\prime }B$, iar $A^{\prime }B\parallel D^{\prime }C$ implică $A{B}^{\prime }\perp D^{\prime }C$). $(1p)$
• Dreapta $A{B}^{\prime }$ este perpendiculară pe două drepte concurente din planul $(A^{\prime }{D}^{\prime }C)$, anume $A^{\prime }{D}^{\prime }$ și $D^{\prime }C$ ($A^{\prime }{D}^{\prime }\cap D^{\prime }C=\{D^{\prime }\}$), prin urmare:
  $$A{B}^{\prime }\perp (A^{\prime }{D}^{\prime }C)$$
• Cum $O{O}^{\prime }\parallel A{B}^{\prime }$ și $A{B}^{\prime }\perp (A^{\prime }{D}^{\prime }C)$, rezultă că:
  $$O{O}^{\prime }\perp (A^{\prime }{D}^{\prime }C)(1p)$$

EVALUAREA NAȚIONALĂ PENTRU ABSOLVENȚII CLASEI a VIII-a

Anul școlar 2022 – 2023

Matematică

Model

• Toate subiectele sunt obligatorii.
• Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de două ore.

---

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Rezultatul calculului $64-56:8$ este egal cu:

• a) $0$
• b) $1$
• c) $56$
• d) $57$

5p 2. Știind că $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}$, atunci rezultatul calculului $4a-3b$ este egal cu:

• a) $0$
• b) $1$
• c) $7$
• d) $12$

5p 3. Suma numerelor întregi din intervalul $[-2022,2022]$ este egală cu:

• a) $-2022$
• b) $-2021$
• c) $0$
• d) $2022$

5p 4. În tabelul de mai jos este prezentată situația notelor obținute de elevii claselor a VIII-a dintr-o școală, la un test de matematică:

Nota	5	6	7	8	9	10
Numărul elevilor	6	9	12	15	12	6

Media notelor obținute de elevii claselor a VIII-a din această școală la testul de matematică este egală cu:

• a) $6,00$
• b) $7,60$
• c) $7,90$
• d) $8,60$

5p 5. Patru elevi, Ioana, Mara, Petrică și Ștefan, au calculat produsul numerelor $a=|\sqrt{2}-\sqrt{3}|$ și $b=|\sqrt{3}+\sqrt{2}|$, iar rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Ioana	Mara	Petrică	Ștefan
$-1$	$5-2\sqrt{6}$	$1$	$5+2\sqrt{6}$

Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de:

• a) Ioana
• b) Mara
• c) Petrică
• d) Ștefan

5p 6. O mașină se deplasează în intervalul orar $12:56-14:26$ cu o viteză medie de $80\text{ km/h}$. Mihai afirmă că, în acest interval de timp, mașina a parcurs o distanță egală cu $200\text{ km}$. Afirmația lui Mihai este:

• a) adevărată
• b) falsă

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura alăturată punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $AB=7\text{ cm}$ și $BC=9\text{ cm}$. Știind că punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$, iar punctul $N$ este mijlocul segmentului $BC$, lungimea segmentului $MN$ este egală cu:

[Figura: Segmentul AC cu punctele coliniare A, M, B, N, C]

• a) $8\text{ cm}$
• b) $11,5\text{ cm}$
• c) $12,5\text{ cm}$
• d) $16\text{ cm}$

5p 2. În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile opuse la vârf $AOC$ și $BOD$. Măsura unghiului $AOB$ este egală cu $120^{\circ }$. Măsura unghiului $BOD$ este egală cu:

[Figura: Dreptele concurente AD și BC care se intersectează în punctul O, formând unghiurile AOC, BOD și AOB]

• a) $30^{\circ }$
• b) $60^{\circ }$
• c) $90^{\circ }$
• d) $120^{\circ }$

5p 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $BC=6\text{ cm}$ și măsura unghiului $B$ este egală cu $60^{\circ }$. Lungimea segmentului $AB$ este egală cu:

[Figura: Triunghiul dreptunghic ABC cu unghiul drept în A și unghiul B de 60 de grade]

• a) $2\sqrt{3}\text{ cm}$
• b) $3\text{ cm}$
• c) $3\sqrt{2}\text{ cm}$
• d) $3\sqrt{3}\text{ cm}$

5p 4. În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$, cu $AD=BD$ și cu măsura unghiului $DAB$ este egală cu $45^{\circ }$. Măsura unghiului $CBD$ este egală cu:

[Figura: Paralelogramul ABCD cu diagonala BD trasată]

• a) $135^{\circ }$
• b) $90^{\circ }$
• c) $60^{\circ }$
• d) $45^{\circ }$

5p 5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $AMB$, cu $AB=8\sqrt{2}\text{ cm}$, înscris într-un cerc care are raza egală cu $8\text{ cm}$. Măsura unghiului $AMB$ este egală cu:

[Figura: Triunghiul AMB înscris într-un cerc]

• a) $15^{\circ }$
• b) $30^{\circ }$
• c) $45^{\circ }$
• d) $60^{\circ }$

5p 6. În figura alăturată este reprezentat un con circular drept care are secțiunea axială un triunghi echilateral cu înălțimea egală cu $6\text{ cm}$. Generatoarea conului are lungimea egală cu:

[Figura: Con circular drept cu vârful C, secțiunea axială triunghiul echilateral ABC și înălțimea CO]

• a) $2\sqrt{3}\text{ cm}$
• b) $4\sqrt{3}\text{ cm}$
• c) $6\text{ cm}$
• d) $12\text{ cm}$

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrieți rezolvările complete. (30 de puncte)

5p 1. Un excursionist a parcurs un traseu în trei zile. În prima zi a parcurs $30\%$ din lungimea traseului, în a doua zi o treime din distanța parcursă în prima zi, iar în a treia zi a parcurs restul de $72\text{ km}$.

(2p) a) Este posibil ca distanța parcursă de excursionist în a doua zi să reprezinte o pătrime din lungimea întregului traseu? Justifică răspunsul dat.

(3p) b) Determină lungimea traseului parcurs de excursionist în cele trei zile.

5p 2. Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{2}{x-2}+\frac{x}{x+2}\right):\frac{x^2+4}{x^2-x-2}$, unde $x\in \mathbb{R}\setminus \{-2,-1,2\}$.

(2p) a) Arată că $E(x)=\frac{x+1}{x+2}$, pentru orice $x\in \mathbb{R}\setminus \{-2,-1,2\}$.

(3p) b) Determină numerele întregi $a$ pentru care $E(a)\in \mathbb{Z}$.

5p 3. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+2$.

(2p) a) Rezolvă ecuația $3\cdot f(x)=-4-2x$.

(3p) b) Știind că $A$ și $B$ sunt punctele de intersecție a reprezentării grafice a funcției $f$ cu axele $Ox$ respectiv $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$, iar punctul $C$ este simetricul punctului $A$ față de punctul $B$, determină coordonatele punctului $C$.

5p 4. În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$ cu $AB=4\text{ cm}$ și triunghiul echilateral $ABP$.

[Figura: Pătratul ABCD și triunghiul echilateral ABP situat de aceeași parte a dreptei AB sau opus lui CD, cu segmentul PD ce intersectează AB în punctul M]

(2p) a) Arată că măsura unghiului $DPB$ este egală cu $45^{\circ }$.

(3p) b) Demonstrează că $AM=4(2-\sqrt{3})\text{ cm}$, unde $\{M\}=AB\cap PD$.

5p 5. În figura alăturată este reprezentat trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AB=6\text{ cm}$ și $CD=4\text{ cm}$. Punctele $R$, $S$ și $T$ sunt mijloacele laturilor $AD$, $AB$, respectiv $BC$.

[Figura: Trapezul ABCD cu linia mijlocie RT și punctul S pe latura AB, cu segmentele RS, ST, RD, TD desenate]

(2p) a) Arată că lungimea segmentului $RT$ este egală cu $5\text{ cm}$.

(3p) b) Arată că aria patrulaterului $DRST$ este egală cu jumătate din aria trapezului $ABCD$.

5p 6. În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $D^{\prime }{C}^{\prime }=6\text{ cm}$.

[Figura: Cubul ABCDA'B'C'D' cu O intersecția diagonalelor AC și BD, iar O' intersecția diagonalelor BC' și B'C]

(2p) a) Arată că volumul cubului $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este egal cu $216{\text{ cm}}^3$.

(3p) b) Demonstrează că dreapta $O{O}^{\prime }$ este perpendiculară pe planul $(A^{\prime }{D}^{\prime }C)$, unde $\{O\}=AC\cap BD$ și $\{O^{\prime }\}=B{C}^{\prime }\cap B^{\prime }C$.