Evaluare Națională 2024, matematică: subiect de rezervă

Rezolvare și Barem de Corectare

---

Subiectul I

1. Răspuns corect: b)

   • Efectuăm mai întâi operația din paranteză: $4-2=2$.
   • Apoi împărțirea: $14:2=7$.
   • La final scăderea: $14-7=7$.

2. Răspuns corect: a)

   • Din proporția $\frac{6}{a}=\frac{b}{2}$, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor: $a\cdot b=6\cdot 2=12$.
   • Înlocuim în raport: $\frac{a\cdot b}{a\cdot b+1}=\frac{12}{12+1}=\frac{12}{13}$.

3. Răspuns corect: c)

   • Divizorii naturali ai numărului $15$ sunt numerele naturale care îl divid exact pe $15$.
   • Aceștia sunt: $1,3,5,15$, deci mulțimea este $\{1,3,5,15\}$.

4. Răspuns corect: b)

   • Ecuația este $2x^2=8⟺x^2=4$.
   • Soluțiile reale sunt $x=-2$ și $x=2$, prin urmare mulțimea soluțiilor este $\{-2,2\}$.

5. Răspuns corect: c)

   • Scriem numerele sub formă de fracții ordinare cu același numitor sau sub formă zecimală:
     • $a=\frac{2}{3}=0,(6)=0,\mathrm{666...}$
     • $b=0,5=\frac{1}{2}=0,\mathrm{500...}$
     • $c=0,1(3)=\frac{13-1}{90}=\frac{12}{90}=\frac{2}{15}=0,\mathrm{1333...}$
     • $d=\frac{1}{4}=0,25$
   • Comparând numerele zecimale: $0,1(3)<0,25<0,5<0,(6)$, adică $c<d<b<a$.
   • Elevul care a răspuns corect este Marius.

6. Răspuns corect: b)

   • Peste $3$ ani, vârsta fiecăreia dintre cele două persoane crește cu $3$ ani.
   • Suma vârstelor va fi: $28+3+3=34$ de ani.
   • Deoarece $34\ne 31$, afirmația este falsă.

---

Subiectul al II-lea

1. Răspuns corect: c)

   • Lungimile $AB,BC,CD$ sunt trei numere naturale consecutive cu $AB<BC<CD$.
   • Deoarece $BC=7\text{ cm}$, rezultă $AB=6\text{ cm}$ și $CD=8\text{ cm}$.
   • $M$ este mijlocul segmentului $AB$, deci $MB=\frac{AB}{2}=\frac{6}{2}=3\text{ cm}$.
   • Lungimea segmentului $MD$ este: $MD=MB+BC+CD=3+7+8=18\text{ cm}$.

2. Răspuns corect: a)

   • Dreapta $a\parallel b$, iar secanta $AB$ formează unghiuri alterne interne egale: $\sphericalangle DAE=\sphericalangle CBA=67^{\circ }$ (sau $\sphericalangle DAB=\sphericalangle ABC$ etc.). Mai precis, dreptele $a$ și $b$ fiind paralele, unghiul exterior $DAE$ și unghiul interior $\sphericalangle ABC$ (sau unghiul alterne interne cu unghiul format de semidreapta opusă lui $AE$) ne dau $\sphericalangle ABD=67^{\circ }$.
   • În triunghiul dreptunghic $BDC$ (cu $CD\perp AB$, deci $\sphericalangle BDC=90^{\circ }$):
     $$\sphericalangle DCB=90^{\circ }-\sphericalangle DBC=90^{\circ }-67^{\circ }=23^{\circ }.$$

3. Răspuns corect: c)

   • În triunghiul dreptunghic $ABC$ ($
     P = 90^\circ, \sphericalangle C = 75^\circ$):
     $$\sphericalangle ABC=90^{\circ }-75^{\circ }=15^{\circ }.$$
   • Deoarece semidreapta $BC$ este bisectoarea unghiului $ABE$, avem:
     $$\sphericalangle CBE=\sphericalangle ABC=15^{\circ }⟹\sphericalangle ABE=2\cdot 15^{\circ }=30^{\circ }.$$
   • În triunghiul dreptunghic $ABE$, măsura unghiului $AEB$ (care este unghiul $BEC$) este:
     $$\sphericalangle BEC=90^{\circ }-\sphericalangle ABE=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }.$$

4. Răspuns corect: c)

   • Diagonalele dreptunghiului sunt egale și se înjumătățesc: $AC=BD=20\text{ cm}$, deci $OA=OB=10\text{ cm}$.
   • Aria dreptunghiului este egală cu de două ori aria triunghiului $ABC$, sau folosind formula cu diagonale:
     $${\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{AC\cdot BD\cdot \sin (\sphericalangle AOB)}{2}=\frac{20\cdot 20\cdot \sin 30^{\circ }}{2}=\frac{400\cdot \frac{1}{2}}{2}=100{\text{ cm}}^2.$$
     (Alternativ: ${\mathcal{A}}_{ABCD}=4\cdot {\mathcal{A}}_{AOB}=4\cdot \frac{OA\cdot OB\cdot \sin 30^{\circ }}{2}=4\cdot \frac{10\cdot 10\cdot \frac{1}{2}}{2}=100{\text{ cm}}^2$.)

5. Răspuns corect: a)

   • Diametrul $BD=50\text{ cm}$, deci raza cercului este $R=OA=OB=OD=25\text{ cm}$.
   • Diametrul perpendicular pe o coardă trece prin mijlocul acesteia: deoarece $BD\perp AC$, punctul $E$ este mijlocul corzii $AC$, deci $AE=\frac{AC}{2}=\frac{30}{2}=15\text{ cm}$.
   • Triunghiul $OEA$ este dreptunghic în $E$. Aplicăm teorema lui Pitagora:
     $$OE=\sqrt{O{A}^2-A{E}^2}=\sqrt{25^2-15^2}=\sqrt{625-225}=\sqrt{400}=20\text{ cm}.$$

6. Răspuns corect: b)

   • În secțiunea axială $VAB$, înălțimea $VO\perp AB$, unde $O$ este centrul bazei, iar $VA=10\text{ cm}$ este generatoarea $G$.
   • Raza conului $R=OA$ se află cu teorema lui Pitagora în $△VOA$:
     $$R=OA=\sqrt{V{A}^2-V{O}^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6\text{ cm}.$$
   • Volumul conului circular drept este:
     $$V=\frac{\pi R^2\cdot h}{3}=\frac{\pi \cdot 6^2\cdot 8}{3}=\frac{\pi \cdot 36\cdot 8}{3}=96\pi {\text{ cm}}^3.$$

---

Subiectul al III-lea

Subiectul al III-lea, 1)

a)

• Dacă s-ar fi vândut $205$ bilete pentru adulți, suma obținută pe acestea ar fi fost:
  $$205\cdot 25=5125\text{ lei}$$ (1p)
• Restul de bani până la $5150$ de lei ar proveni din biletele pentru copii: $5150-5125=25$ de lei. Deoarece $25$ nu este divizibil cu prețul unui bilet de copil ($20$ lei), presupunerea este falsă, deci nu au fost vândute $205$ bilete pentru adulți. (1p)

b)

• Fie $n$ numărul biletelor pentru copii. Atunci numărul biletelor pentru adulți este $225-n$.
• Ecuația valorii biletelor este:
  $$25(225-n)+20n=5150$$ (1p)
• Desfăcând parantezele obținem:
  $$5625-25n+20n=5150⟺5625-5n=5150$$ (1p)
  $$5n=5625-5150=475⟹n=95$$
• S-au vândut $95$ de bilete pentru copii. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 2)

a)

• Aducem la numitor comun fractiile din paranteză, amplificând prima fracție cu $x+2$ și a doua cu $x-2$:
  $$\frac{2}{x-2}+\frac{x}{x+2}=\frac{2(x+2)+x(x-2)}{(x-2)(x+2)}$$ (1p)
• Efectuăm calculele la numărător:
  $$2x+4+x^2-2x=x^2+4$$
  Obținem $\frac{x^2+4}{(x-2)(x+2)}$, pentru orice $x\in \mathbb{R}\setminus \{-2,2\}$. (1p)

b)

• Observăm că $x^2+4x+4=(x+2{)}^2$.
• Înlocuim în expresia $E(x)$:
  $$E(x)=\frac{x^2+4}{(x-2)(x+2)}:\frac{x^2+4}{(x+2{)}^2}=\frac{x^2+4}{(x-2)(x+2)}\cdot \frac{(x+2{)}^2}{x^2+4}=\frac{x+2}{x-2}$$ (1p)
• Calculăm $N=E(n)-1$:
  $$N=\frac{n+2}{n-2}-1=\frac{n+2-(n-2)}{n-2}=\frac{4}{n-2}$$ (1p)
• Pentru ca $N$ să fie număr natural, trebuie ca $n-2$ să fie un divizor natural strict pozitiv al lui $4$:
  $$n-2\in {\mathcal{D}}_4\cap {\mathbb{N}}^{\ast }=\{1,2,4\}$$
  • $n-2=1⟹n=3$
  • $n-2=2⟹n=4$
  • $n-2=4⟹n=6$
• Valorile cerute sunt $n\in \{3,4,6\}$. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 3)

a)

• Calculăm valorile funcției:
  $$f(1)=1+2=3$$ (1p)
  $$f(4)=4+2=6$$
• Verificăm egalitatea: $2\cdot f(1)=2\cdot 3=6=f(4)$, deci $2\cdot f(1)=f(4)$. (1p)

b)

• Găsim coordonatele punctelor de intersecție cu axele de coordonate:
  • Cu axa $Ox$: $f(x)=0⟺x+2=0⟹x=-2$, deci $A(-2,0)$.
  • Cu axa $Oy$: $f(0)=0+2=2$, deci $B(0,2)$. (1p)
• Triunghiul $AOB$ este dreptunghic isoscel în originea $O(0,0)$ cu $OA=2$ și $OB=2$.
  Lungimea ipotenuzei este $AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$. (1p)
• Punctul $M(4,0)$ se află pe axa $Ox$. Punctele $A(-2,0)$, $O(0,0)$ și $M(4,0)$ sunt coliniare, lungimea segmentului $AM$ fiind $AM=|4-(-2)|=6$.
• Fie $d=d(M,AB)$ lungimea perpendicularei din $M$ pe dreapta $AB$, $MN\perp AB$, $N\in AB$.
  În triunghiul dreptunghic format sau folosind arii: triunghiurile dreptunghice $△ANM$ și $△AOB$ sunt asemenea (au unghiul comun $\sphericalangle A$ și unghiul drept).
  $$\sin (\sphericalangle OAB)=\frac{OB}{AB}=\frac{MN}{AM}⟹MN=\frac{AM\cdot OB}{AB}=\frac{6\cdot 2}{2\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\text{ cm}.$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 4)

a)

• Unghiurile $\sphericalangle ANM$ și $\sphericalangle MNB$ sunt unghiuri adiacente suplementare, având suma măsurilor egală cu $180^{\circ }$.
• $NP$ este bisectoarea unghiului $ANM$, deci $\sphericalangle PNM=\frac{1}{2}\sphericalangle ANM$. (1p)
• $NQ$ este bisectoarea unghiului $MNB$, deci $\sphericalangle MNQ=\frac{1}{2}\sphericalangle MNB$.
• Atunci:
  $$\sphericalangle PNQ=\sphericalangle PNM+\sphericalangle MNQ=\frac{1}{2}(\sphericalangle ANM+\sphericalangle MNB)=\frac{1}{2}\cdot 180^{\circ }=90^{\circ }.$$ (1p)

b)

• Deoarece $MN\parallel AD$ și $AD\perp AB$, rezultă că $MN\perp AB$. Deci $\sphericalangle ANM=90^{\circ }$ și $\sphericalangle MNB=90^{\circ }$.
• Astfel, $\sphericalangle PAN=90^{\circ }$ și $\sphericalangle ANP=45^{\circ }$, ceea ce înseamnă că $△PAN$ este dreptunghic isoscel, cu $AP=AN$.
• În mod analog, în $△NBQ$, $\sphericalangle B=90^{\circ }$ și $\sphericalangle BNQ=45^{\circ }$, deci $△NBQ$ este dreptunghic isoscel, cu $BQ=NB$.
• Deoarece $ABCD$ este pătrat, $AD=AB=AN+NB=AP+BQ$. Dar $AD=AP+PD$, prin urmare $PD=BQ$. (1p)
• Cum $AD\parallel BC$, segmentele $DP$ și $BQ$ sunt paralele și de lungimi egale ($DP\parallel BQ$ și $DP=BQ$), rezultă că patrulaterul $DPBQ$ este paralelogram. (1p)
• În paralelogramul $DPBQ$, diagonalele se înjumătățesc. Deoarece $ABCD$ este pătrat, $O=AC\cap BD$ este mijlocul diagonalei $BD$. Prin urmare, $O$ este și mijlocul diagonalei $PQ$.
• Întrucât $O$ este mijlocul segmentului $PQ$, punctele $P$, $O$ și $Q$ sunt coliniare. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 5)

a)

• Din $AB=2\cdot AD=4\text{ cm}$ rezultă că $AD=2\text{ cm}$.
• Construim înălțimea $CM\perp AB$, unde $M\in AB$. Deoarece $ABCD$ este trapez dreptunghic cu $\sphericalangle A=90^{\circ }$ și $AB\parallel CD$, patrulaterul $ADCM$ este dreptunghi, deci $CM=AD=2\text{ cm}$. (1p)
• În triunghiul dreptunghic $CMB$ (cu $\sphericalangle CMB=90^{\circ }$), măsura unghiului $\sphericalangle MBC=30^{\circ }$. Conform teoremei unghiului de $30^{\circ }$:
  $$CM=\frac{BC}{2}⟹BC=2\cdot CM=2\cdot 2=4\text{ cm}.$$ (1p)

b)

• Deoarece $AB=4\text{ cm}$ și $BC=4\text{ cm}$, triunghiul $ABC$ este isoscel cu $AB=BC$.
  În triunghiul $CMB$, $MB=BC\cdot \cos 30^{\circ }=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\text{ cm}$. Deoarece $\sphericalangle ABC=30^{\circ }$, unghiurile de la baza triunghiului isoscel $ABC$ sunt egale:
  $$\sphericalangle CAB=\sphericalangle ACB=\frac{180^{\circ }-30^{\circ }}{2}=75^{\circ }.$$ (1p)
• Deoarece $ABEF$ este pătrat, $\sphericalangle BAE=45^{\circ }$ și $AB=BE$. Atunci:
  $$\sphericalangle CAE=\sphericalangle CAB+\sphericalangle BAE=75^{\circ }+45^{\circ }=120^{\circ }.$$
  În jurul punctului $B$, avem unghiurile formate de pătrate și trapez: $BE=AB=4\text{ cm}$ și $BG=BC=4\text{ cm}$, deci triunghiul $EBG$ este isoscel cu $BE=BG$.
  Unghiul $\sphericalangle EBG=360^{\circ }-(\sphericalangle ABE+\sphericalangle ABC+\sphericalangle CBG)=360^{\circ }-(90^{\circ }+30^{\circ }+90^{\circ })=150^{\circ }$.
  În triunghiul isoscel $EBG$, unghiul $\sphericalangle BEG=\frac{180^{\circ }-150^{\circ }}{2}=15^{\circ }$.
  Deoarece în pătratul $ABEF$ avem $\sphericalangle AEB=45^{\circ }$, rezultă:
  $$\sphericalangle AEG=\sphericalangle AEB+\sphericalangle BEG=45^{\circ }+15^{\circ }=60^{\circ }.$$
  Observăm că $\sphericalangle CAE+\sphericalangle AEG=120^{\circ }+60^{\circ }=180^{\circ }$, ceea ce înseamnă că dreptele $AC$ și $EG$ sunt paralele ($AC\parallel EG$). (1p)
• Laturile neparalele ale patrulaterului $AEGC$ sunt $AE$ și $CG$:
  • $AE$ este diagonala pătratului $ABEF$ de latură $4\text{ cm}$, deci $AE=4\sqrt{2}\text{ cm}$.
  • $CG$ este diagonala pătratului $BCHG$ de latură $4\text{ cm}$, deci $CG=4\sqrt{2}\text{ cm}$.
    Așadar, $AE=CG$.
    Cum $AC\parallel EG$ și $AE=CG$ (și $AE\nparallel CG$), patrulaterul $AEGC$ este trapez isoscel. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 6)

a)

• Muchia cubului este $AB=8\text{ cm}$.
• Volumul cubului este:
  $$V_{ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}=A{B}^3$$ (1p)
  $$V=8^3=512{\text{ cm}}^3.$$ (1p)

b)

• Fie $P$ mijlocul segmentului $CD$. Segmentul $OP$ unește centrul bazei $O$ cu mijlocul laturii $CD$, deci $OP\parallel AD$ și $OP=\frac{AD}{2}=4\text{ cm}$. De asemenea, $OP\perp CD$. (1p)
• Punctul $M$ este mijlocul lui $A^{\prime }{B}^{\prime }$. Proiecția lui $M$ pe planul bazei $(ABCD)$ este mijlocul lui $AB$, notat cu $M_0$. Avem $M_{0}P\perp CD$ și $M{M}_0\perp (ABCD)$, deci conform teoremei celor trei perpendiculare, $MP\perp CD$.
  Cum $CD\perp MP$ și $CD\perp OP$, rezultă că $CD\perp (MOP)$, iar cum $CD\subset (CMD)$, planele $(MOP)$ și $(CMD)$ sunt perpendiculare, intersecția lor fiind dreapta $MP$.
• În planul $(MOP)$, ducem perpendiculara $ON\perp MP$, cu $N\in MP$. Deoarece $CD\perp (MOP)$ și $ON\subset (MOP)$, rezultă că $ON\perp CD$. Așadar $ON\perp (CMD)$, deci distanța căutată este $d(O,(CMD))=ON$. (1p)
• Calculăm lungimile laturilor din $△MOP$:
  • $OP=4\text{ cm}$;
  • Distanța de la $M$ la dreapta $OP$ este egală cu înălțimea cubului, adică $8\text{ cm}$ (deoarece $M_{0}P=8\text{ cm}$, $M{M}_0=8\text{ cm}$, triunghiul $M{M}_{0}P$ este dreptunghic cu catetele $8$ și $8$, deci $MP=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}\text{ cm}$).
  • Aria triunghiului $MOP$ poate fi calculată în două moduri:
    $${\mathcal{A}}_{△MOP}=\frac{OP\cdot h_M}{2}=\frac{4\cdot 8}{2}=16{\text{ cm}}^2$$
    Pe de altă parte:
    $${\mathcal{A}}_{△MOP}=\frac{MP\cdot ON}{2}=\frac{8\sqrt{2}\cdot ON}{2}=4\sqrt{2}\cdot ON$$
  • Egalând cele două expresii:
    $$4\sqrt{2}\cdot ON=16⟹ON=\frac{16}{4\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\text{ cm}.$$
    Așadar, $d(O,(CMD))=2\sqrt{2}\text{ cm}$. (1p)

Evaluarea Națională pentru Absolvenții Clasei a VIII-a

Anul școlar 2023 – 2024
Matematică
Varianta 2 (Subiect de rezervă)

---

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

1. (5p) Rezultatul calculului $14-14:(4-2)$ este:
   a) $0$
   b) $7$
   c) $14$
   d) $21$

2. (5p) Dacă $\frac{6}{a}=\frac{b}{2}$, $a\ne 0$, atunci raportul $\frac{a\cdot b}{a\cdot b+1}$ este egal cu:
   a) $\frac{12}{13}$
   b) $1$
   c) $\frac{12}{11}$
   d) $12$

3. (5p) Mulțimea divizorilor naturali ai numărului $15$ este:
   a) $\{3,5\}$
   b) $\{0,3,5,15\}$
   c) $\{1,3,5,15\}$
   d) $\{3,5,15\}$

4. (5p) Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $2x^2=8$ este:
   a) $\{-2\}$
   b) $\{-2,2\}$
   c) $\{2\}$
   d) $\{4\}$

5. (5p) Patru elevi, George, Anca, Marius și Alina, ordonează crescător numerele $a=\frac{2}{3}$, $b=0,5$, $c=0,1(3)$ și $d=\frac{1}{4}$. Răspunsurile date de cei patru elevi sunt prezentate în tabelul de mai jos:

   George	Anca	Marius	Alina
   $d<c<b<a$	$c<d<a<b$	$c<d<b<a$	$d<b<a<c$

   Dintre cei patru elevi, cel care a răspuns corect este:
   a) George
   b) Anca
   c) Marius
   d) Alina

6. (5p) În prezent, Ioana și Maria au împreună $28$ de ani. Afirmația „Peste $3$ ani, Ioana și Maria vor avea împreună $31$ de ani.” este:
   a) adevărată
   b) falsă

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

1. (5p) În figura alăturată punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $AB<BC<CD$ și $BC=7\text{ cm}$. Lungimile segmentelor $AB$, $BC$ și $CD$, exprimate în centimetri, sunt trei numere naturale consecutive, iar punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$. Lungimea segmentului $MD$ este egală cu:
   [Figura: Punctele coliniare A, M, B, C, D în această ordine pe o dreaptă]
   a) $10\text{ cm}$
   b) $13\text{ cm}$
   c) $18\text{ cm}$
   d) $21\text{ cm}$

2. (5p) În figura alăturată sunt reprezentate dreptele paralele $a$ și $b$. Punctele $A$ și $E$ aparțin dreptei $a$, iar punctele $B$ și $C$ aparțin dreptei $b$. Dreapta $CD$ este perpendiculară pe dreapta $AB$, punctul $D$ aparține segmentului $AB$, iar măsura unghiului $DAE$ este egală cu $67^{\circ }$. Măsura unghiului $DCB$ este egală cu:
   [Figura: Dreptele paralele a și b, secanta AB intersectează a în A și b în B; punctul E este pe a la dreapta lui A; D este pe segmentul AB; dreapta CD este perpendiculară pe AB, iar C este pe b la stânga lui B]
   a) $23^{\circ }$
   b) $33^{\circ }$
   c) $67^{\circ }$
   d) $113^{\circ }$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu măsura unghiului $C$ egală cu $75^{\circ }$. Punctul $E$ aparține semidreptei $AC$ astfel încât semidreapta $BC$ este bisectoarea unghiului $ABE$. Măsura unghiului $BEC$ este egală cu:
   [Figura: Triunghi dreptunghic ABC cu unghiul A de 90° și C de 75°; punctul E se află pe semidreapta AC, dincolo de C, iar BC este bisectoarea unghiului ABE]
   a) $15^{\circ }$
   b) $30^{\circ }$
   c) $60^{\circ }$
   d) $105^{\circ }$

4. (5p) În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$, cu $AC=20\text{ cm}$ și $O$ punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$. Măsura unghiului $AOB$ este egală cu $30^{\circ }$. Aria dreptunghiului $ABCD$ este egală cu:
   [Figura: Dreptunghiul ABCD cu diagonalele AC și BD intersectate în punctul O]
   a) $20{\text{ cm}}^2$
   b) $25{\text{ cm}}^2$
   c) $100{\text{ cm}}^2$
   d) $200{\text{ cm}}^2$

5. (5p) În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$. Diametrul $DB$ are lungimea egală cu $50\text{ cm}$. Coarda $AC$ are lungimea egală cu $30\text{ cm}$ și este perpendiculară pe diametrul $BD$. Dacă $E$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$, atunci lungimea segmentului $OE$ este egală cu:
   [Figura: Cerc de centru O cu diametrul BD și coarda AC perpendiculară pe BD în punctul E]
   a) $20\text{ cm}$
   b) $15\text{ cm}$
   c) $12\text{ cm}$
   d) $10\text{ cm}$

6. (5p) În figura alăturată este reprezentat un con circular drept cu înălțimea $VO=8\text{ cm}$ și secțiunea axială triunghiul $VAB$, cu $VA=10\text{ cm}$. Volumul conului este egal cu:
   [Figura: Con circular drept cu vârful V, baza de diametru AB, centrul bazei O, generatoarea VA și înălțimea VO]
   a) $60\pi {\text{ cm}}^3$
   b) $96\pi {\text{ cm}}^3$
   c) $120\pi {\text{ cm}}^3$
   d) $360\pi {\text{ cm}}^3$

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrie rezolvările complete. (30 de puncte)

1. Pentru un concert s-au vândut în total $225$ de bilete pentru adulți și copii. Prețul unui bilet pentru adulți a fost de $25$ de lei, iar prețul unui bilet pentru copii a fost de $20$ de lei. Suma obținută din vânzarea biletelor a fost de $5150$ de lei.
   (2p) a) Verifică dacă au fost vândute $205$ bilete pentru adulți. Justifică răspunsul dat.
   (3p) b) Determină numărul biletelor pentru copii care au fost vândute.

2. Se consideră expresia
   $$E(x)=\left(\frac{2}{x-2}+\frac{x}{x+2}\right):\frac{x^2+4}{x^2+4x+4}$$, unde $x$ este număr real, $x\ne -2$ și $x\ne 2$.
   (2p) a) Arată că $\frac{2}{x-2}+\frac{x}{x+2}=\frac{x^2+4}{(x-2)(x+2)}$, pentru orice număr real $x$, $x\ne -2$ și $x\ne 2$.
   (3p) b) Determină numerele naturale $n$, $n\ne 2$, pentru care $N=E(n)-1$ este număr natural.

3. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+2$.
   (2p) a) Arată că $2\cdot f(1)=f(4)$.
   (3p) b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele $Ox$ și $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$ în punctele $A$, respectiv $B$. Determină distanța de la punctul $M(4,0)$ la dreapta $AB$.
   [Figura: Sistemul ortogonal de axe xOy, graficul funcției f intersectează axa Ox în A și Oy în B; punctul M este situat pe axa Ox]

4. În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$. Punctul $M$ aparține laturii $CD$, iar paralela prin $M$ la dreapta $AD$ intersectează latura $AB$ în punctul $N$. Bisectoarea unghiului $ANM$ intersectează latura $AD$ în punctul $P$, iar bisectoarea unghiului $MNB$ intersectează latura $BC$ în punctul $Q$.
   [Figura: Pătratul ABCD; segmentul MN paralel cu AD, cu M pe CD și N pe AB; bisectoarea unghiului ANM întâlnește AD în P; bisectoarea unghiului MNB întâlnește BC în Q]
   (2p) a) Arată că măsura unghiului $PNQ$ este egală cu $90^{\circ }$.
   (3p) b) Demonstrează că punctele $P$, $O$ și $Q$ sunt coliniare, unde $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$.

5. În figura alăturată este reprezentat trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AB=2\cdot AD=4\text{ cm}$, măsura unghiului $BAD$ egală cu $90^{\circ }$ și măsura unghiului $ABC$ egală cu $30^{\circ }$. În exteriorul trapezului se construiesc pătratele $ABEF$ și $BCHG$.
   [Figura: Trapezul dreptunghic ABCD cu unghiul BAD drept, pătratul ABEF construit pe latura AB spre exterior, pătratul BCHG construit pe latura BC spre exterior]
   (2p) a) Arată că $BC=4\text{ cm}$.
   (3p) b) Demonstrează că patrulaterul $AEGC$ este trapez isoscel.

6. În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=8\text{ cm}$ și $O$ punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$.
   [Figura: Cubul ABCDA'B'C'D' cu punctul O intersecția diagonalelor bazei ABCD și M mijlocul muchiei A'B']
   (2p) a) Calculează volumul cubului $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.
   (3p) b) Determină distanța de la punctul $O$ la planul $(CMD)$, unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $A^{\prime }{B}^{\prime }$.