Evaluare Națională 2025, matematică: model oficial

Subiectul I

1)

• Calculăm mai întâi operația din paranteză, respectând ordinea operațiilor:
  $$40+2\cdot 5=40+10=50$$
• Împărțim rezultatul obținut la $5$:
  $$50:5=10$$
• Răspuns corect: b)

2)

• Din proporția $\frac{x}{9}=\frac{2}{3}$, obținem:
  $$x=\frac{9\cdot 2}{3}=\frac{18}{3}=6$$
• Răspuns corect: b)

3)

• Reuniunea a două mulțimi conține toate elementele celor două mulțimi, luate o singură dată:
  $$A\cup B=\{0,1,2,3,4,5\}\cup \{2,4,6,8\}=\{0,1,2,3,4,5,6,8\}$$
• Răspuns corect: d)

4)

• Efectuăm împărțirea $5:6$:
  • $5:6=0$, rest $5$
  • $50:6=8$, rest $2$
  • $20:6=3$, rest $2$
  • Cifra $3$ se repetă la infinit, așadar $\frac{5}{6}=0,8333\cdots =0,8(3)$.
• Răspuns corect: c)

5)

• Calculăm valoarea lui $a$:
  $$a=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$
• Media aritmetică a numerelor $a$ și $b$ este:
  $$m_a=\frac{a+b}{2}=\frac{5+45}{2}=\frac{50}{2}=25$$
• Bogdan a dat răspunsul $25$.
• Răspuns corect: b)

6)

• Comparăm $11$ cu $5\sqrt{5}$:
  $$11=\sqrt{121}$$
  $$5\sqrt{5}=\sqrt{5^2\cdot 5}=\sqrt{25\cdot 5}=\sqrt{125}$$
• Deoarece $121<125$, avem $\sqrt{121}<\sqrt{125}$, adică $11<5\sqrt{5}$.
• Prin urmare, $a=11-5\sqrt{5}<0$, deci numărul $a$ este strict negativ.
• Enunțul „Numărul real $a$ este pozitiv.” este fals.
• Răspuns corect: b)

---

Subiectul al II-lea

1)

• $M$ este mijlocul segmentului $AB$ și $AM=2\text{ cm}⟹AB=2\cdot AM=4\text{ cm}$.
• $AC=2\cdot AB=2\cdot 4=8\text{ cm}$.
• $AD=2\cdot AC=2\cdot 8=16\text{ cm}$.
• Segmentul $MD=AD-AM=16-2=14\text{ cm}$.
• Răspuns corect: c)

2)

• Punctele $A,O,D$ sunt coliniare, deci unghiul $AOD$ este un unghi alungit cu măsura de $180^{\circ }$.
• $\sphericalangle BOC=90^{\circ }$ și $\sphericalangle AOC=30^{\circ }$.
• Din figură, măsura unghiului $AOB=\sphericalangle BOC-\sphericalangle AOC=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$.
• Unghiurile $AOB$ și $BOD$ sunt suplementare (formează unghiul alungit $AOD$):
  $$\sphericalangle BOD=180^{\circ }-\sphericalangle AOB=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$$
• Răspuns corect: a)

3)

• În triunghiul $ABC$, $\sphericalangle A=90^{\circ }$ și $\sphericalangle ACB=60^{\circ }⟹\sphericalangle B=30^{\circ }$.
• $CM$ este bisectoarea unghiului $ACB$, deci $\sphericalangle ACM=\sphericalangle MCB=30^{\circ }$.
• În triunghiul dreptunghic $CAM$ (dreptunghic în $A$):
  • $\sphericalangle ACM=30^{\circ }$, ipotenuza $CM=8\text{ cm}$.
  • Conform teoremei unghiului de $30^{\circ }$, cateta opusă este jumătate din ipotenuză: $AM=\frac{CM}{2}=4\text{ cm}$.
  • Prin Pitagora: $AC=\sqrt{C{M}^2-A{M}^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\text{ cm}$.
• În triunghiul dreptunghic $ABC$:
  $$\mathrm{tg}(\sphericalangle ACB)=\frac{AB}{AC}⟹\mathrm{tg}(60^{\circ })=\frac{AB}{4\sqrt{3}}⟹\sqrt{3}=\frac{AB}{4\sqrt{3}}⟹AB=4\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=12\text{ cm}$$
• Răspuns corect: c)

4)

• Triunghiul $ABC$ este dreptunghic isoscel cu $AC=BC$ și aria egală cu $288{\text{ cm}}^2$.
• ${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{AC\cdot BC}{2}=\frac{A{C}^2}{2}=288⟹A{C}^2=576$.
• Triunghiul $ADC$ este dreptunghic isoscel cu $AD=CD$, având ipotenuza $AC$.
• În triunghiul $ADC$ dreptunghic în $D$: $A{D}^2+C{D}^2=A{C}^2⟹2A{D}^2=A{C}^2=576⟹A{D}^2=288$.
• Aria triunghiului $ADC$ este:
  $${\mathcal{A}}_{ADC}=\frac{AD\cdot CD}{2}=\frac{A{D}^2}{2}=\frac{288}{2}=144{\text{ cm}}^2$$
• Răspuns corect: b)

5)

• Segmentul $AB$ este diametru al cercului, deci $AB$ trece prin centrul $O$.
• Dreptele $AB$ și $CD$ sunt paralele, iar $CD$ este o coardă în cerc.
• Arcele cuprinse între două coarde paralele sunt congruente, deci $\widehat{AC}=\widehat{BD}=40^{\circ }$.
• Diametrul $AB$ împarte cercul într-un semicerc de $180^{\circ }$, deci $\widehat{AC}+\widehat{CD}+\widehat{DB}=180^{\circ }$.
• Rezultă că măsura arcului $\widehat{CD}=180^{\circ }-(40^{\circ }+40^{\circ })=180^{\circ }-80^{\circ }=100^{\circ }$.
• Unghiul $\sphericalangle COD$ este unghi la centru, deci măsura sa este egală cu măsura arcului $\widehat{CD}$:
  $$\sphericalangle COD=100^{\circ }$$
• Răspuns corect: d)

6)

• Tetraedrul regulat are $4$ fețe reprezentate de triunghiuri echilaterale congruente cu latura de lungime $a=4\text{ cm}$.
• Aria unei fețe este:
  $${\mathcal{A}}_{\text{fața˘}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$$
• Aria totală este:
  $${\mathcal{A}}_t=4\cdot {\mathcal{A}}_{\text{fața˘}}=4\cdot 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$$
• Răspuns corect: d)

---

Subiectul al III-lea

1)

• a) Fie $x$ lungimea totală a pistei.

  • În prima zi s-a construit: $\frac{30}{100}x=\frac{3}{10}x$ (1p)
  • Restul rămas după prima zi este $x-\frac{30}{100}x=\frac{70}{100}x$.
  • În a doua zi s-a construit $60\%$ din rest:
    $$\frac{60}{100}\cdot \frac{70}{100}x=\frac{42}{100}x$$
  • Deoarece $\frac{42}{100}x>\frac{30}{100}x$, rezultă că în a doua zi echipa a construit mai mult decât în prima zi. (1p)

• b)

  • În a treia zi s-a construit: $\frac{42}{100}x-7$ (1p)
  • Suma distanțelor parcurse în cele trei zile este egală cu lungimea întregii piste $x$:
    $$\frac{30}{100}x+\frac{42}{100}x+\left(\frac{42}{100}x-7\right)=x$$ (1p)
  • Aducem la numitor comun:
    $$\frac{114}{100}x-7=x⟹\frac{114}{100}x-x=7⟹\frac{14}{100}x=7⟹14x=700⟹x=50\text{ km}$$ (1p)

---

2)

• a) Descompunem termenul din mijloc sau dezvoltăm produsul:
  $$(x-3)(x+4)=x^2+4x-3x-12=x^2+x-12$$ (1p)

  • Egalitatea are loc pentru orice număr real $x$. (1p)

• b)

  • Numitorul comun în paranteză este $(x-3)(x+4)=x^2+x-12$:
    $$\frac{x+4}{x-3}-\frac{x-3}{x+4}+\frac{49}{(x-3)(x+4)}=\frac{(x+4{)}^2-(x-3{)}^2+49}{(x-3)(x+4)}$$
    Calculăm numărătorul:
    $$(x^2+8x+16)-(x^2-6x+9)+49=x^2+8x+16-x^2+6x-9+49=14x+56=14(x+4)$$ (1p)
  • Expresia devine:
    $$E(x)=\frac{14(x+4)}{(x-3)(x+4)}:\frac{7}{x-3}=\frac{14}{x-3}\cdot \frac{x-3}{7}=\frac{14}{7}=2$$, pentru orice $x\in \mathbb{R}\setminus \{-4,3\}$. (1p)
  • Deoarece $E(x)=2$ pentru orice valoare admisibilă, termenii sumei sunt:
    $$E(2)=2,E(4)=2,E(6)=2,\dots ,E(16)=2$$
  • Șirul numerelor pare de la $2$ la $16$ conține $\frac{16-2}{2}+1=8$ termeni.
  • Numărul $N$ este:
    $$N=\sqrt{\underset{8\text{ termeni}}{\underbrace{2+2+\cdots +2}}}=\sqrt{8\cdot 2}=\sqrt{16}=4\in \mathbb{N}$$ (1p)

---

3)

• a) Calculăm $f(3)$:
  $$f(3)=2\cdot 3-6=6-6=0$$ (1p)

  • Atunci:
    $$f(3)\cdot f(2025)=0\cdot f(2025)=0$$ (1p)

• b)

  • Intersecția cu axa $Ox$: $f(x)=0⟹2x-6=0⟹x=3$, deci $A(3,0)$.
  • Intersecția cu axa $Oy$: $f(0)=2\cdot 0-6=-6$, deci $B(0,-6)$. (1p)
  • Punctul $M$ este simetricul lui $A$ față de originea $O(0,0)$. Deoarece $A$ se află pe axa $Ox$ la distanța de $3$ unități față de $O$, simetricul său $M$ are coordonatele $M(-3,0)$.
  • Lungimea segmentului $AM$ este $AM=2\cdot OA=2\cdot 3=6$ unități. (1p)
  • Triunghiul $ABM$ are baza $AM$ pe axa $Ox$, iar înălțimea corespunzătoare acestei baze este lungimea segmentului $OB$, unde $B$ este pe axa $Oy$, deci $h=OB=|-6|=6$.
  • Aria triunghiului $ABM$ este:
    $${\mathcal{A}}_{ABM}=\frac{AM\cdot OB}{2}=\frac{6\cdot 6}{2}=18$$ (1p)

---

4)

• a) Perimetrul dreptunghiului $ABCD$ este:
  $${\mathcal{P}}_{ABCD}=2\cdot (AB+BC)$$ (1p)
  $${\mathcal{P}}_{ABCD}=2\cdot (12+6)=2\cdot 18=36\text{ cm}$$ (1p)

• b)

  • În dreptunghiul $ABCD$, măsura unghiului $\sphericalangle BCD=90^{\circ }$. Deoarece $CE$ este bisectoarea lui $\sphericalangle BCD$, avem $\sphericalangle BCE=45^{\circ }$.
  • Triunghiul $BCE$ este dreptunghic în $B$ cu $\sphericalangle BCE=45^{\circ }$, deci este dreptunghic isoscel $⟹BE=BC=6\text{ cm}$.
  • Cum $AB=12\text{ cm}$ și $BE=6\text{ cm}$, obținem $AE=AB-BE=12-6=6\text{ cm}=BE$, adică $E$ este mijlocul laturii $AB$. (1p)
  • Fie $O$ intersecția diagonalelor $AC$ și $BD$. Într-un dreptunghi diagonalele se înjumătățesc, deci $O$ este mijlocul segmentului $AC$.
  • În triunghiul $ABC$, $BO$ este mediană (deoarece $O$ este mijlocul lui $AC$), iar $CE$ este mediană (deoarece $E$ este mijlocul lui $AB$).
  • Punctul $F$, fiind intersecția dreptelor $CE$ și $BD$ (adică $BO$), este centrul de greutate al triunghiului $ABC$. (1p)
  • Dreapta $AF$ este a treia mediană a triunghiului $ABC$. Dacă notăm $AF\cap BC=\{M\}$, atunci $M$ este mijlocul segmentului $BC$, deci $BM=\frac{BC}{2}=3\text{ cm}$.
  • În triunghiul dreptunghic $ABM$:
    $$AM=\sqrt{A{B}^2+B{M}^2}=\sqrt{12^2+3^2}=\sqrt{144+9}=\sqrt{153}=3\sqrt{17}\text{ cm}$$
  • Deoarece $F$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$, punctul $F$ se află la două treimi de vârf pe mediana $AM$:
    $$AF=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}\cdot 3\sqrt{17}=2\sqrt{17}\text{ cm}$$ (1p)

---

5)

• a) Triunghiul $ABC$ este echilateral cu latura de $6\text{ cm}$, deci $BC=AC=6\text{ cm}$ și $\sphericalangle ACB=60^{\circ }$.

  • Punctul $C$ este mijlocul segmentului $BM$, deci $CM=BC=6\text{ cm}$.
  • Unghiurile $\sphericalangle ACB$ și $\sphericalangle MCN$ sunt unghiuri opuse la vârf, deci $\sphericalangle MCN=\sphericalangle ACB=60^{\circ }$. (1p)
  • În triunghiul dreptunghic $MNC$ (dreptunghic în $N$), unghiul $\sphericalangle CMN=90^{\circ }-\sphericalangle MCN=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$.
  • Conform teoremei unghiului de $30^{\circ }$, cateta $NC$ opusă unghiului de $30^{\circ }$ este jumătate din ipotenuza $CM$:
    $$NC=\frac{CM}{2}=\frac{6}{2}=3\text{ cm}$$ (1p)

• b)

  • Fie $Q$ intersecția dintre $AP$ și $BC$. Deoarece dreapta $BC$ este mediatoarea segmentului $AP$, rezultă că $AP\perp BC$, iar $Q$ este mijlocul lui $AP$.
  • În triunghiul echilateral $ABC$, înălțimea din $A$ pe $BC$ este și bisectoare, deci $\sphericalangle ACQ=60^{\circ }$.
  • Punctul $C$ aparține mediatoarei segmentului $AP$, deci $CP=CA=6\text{ cm}$.
  • Triunghiul $ACP$ este isoscel cu baza $AP$, iar $CQ$ este înălțime, deci și bisectoare pentru $\sphericalangle ACP$, ceea ce înseamnă că $\sphericalangle PCQ=\sphericalangle ACQ=60^{\circ }$. (1p)
  • Punctele $B,Q,C,M$ sunt coliniare în această ordine. Unghiul $\sphericalangle BCM$ este unghi alungit ($180^{\circ }$).
  • Calculăm $\sphericalangle NCP$:
    $$\sphericalangle NCP=180^{\circ }-\sphericalangle PCQ-\sphericalangle ACQ=180^{\circ }-60^{\circ }-60^{\circ }=60^{\circ }$$
  • Observăm că $\sphericalangle NCP=\sphericalangle NCM=60^{\circ }$.
  • Comparăm triunghiurile $CPN$ și $CMN$:
    • $CP=CM=6\text{ cm}$
    • $\sphericalangle PCN=\sphericalangle MCN=60^{\circ }$
    • Latura $CN$ este comună.
    • Rezultă conform cazului L.U.L. că $\Delta CPN\equiv \Delta CMN$. (1p)
  • Din congruența triunghiurilor deducem că $\sphericalangle CNP=\sphericalangle CNM=90^{\circ }$.
  • Măsura unghiului $\sphericalangle MNP$ este:
    $$\sphericalangle MNP=\sphericalangle CNM+\sphericalangle CNP=90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }$$
  • Unghiul $\sphericalangle MNP$ fiind unghi alungit, rezultă că punctele $M,N$ și $P$ sunt coliniare. (1p)

---

6)

• a) Muchia cubului este $AB=6\text{ cm}$.

  • Volumul cubului este:
    $${\mathcal{V}}_{ABCDEFGH}=A{B}^3$$ (1p)
    $${\mathcal{V}}_{ABCDEFGH}=6^3=216{\text{ cm}}^3$$ (1p)

• b)

  • În pătratul $ADHE$, $M$ este mijlocul lui $AE$ și $N$ este mijlocul lui $DH$, deci $MN\parallel AD$. Cum $AD\parallel BC$, avem $MN\parallel BC$. De asemenea, $MN=AD=BC=6\text{ cm}$.
  • Fie $Q$ mijlocul muchiei $GC$. În fața $CDHG$, $N$ este mijlocul lui $DH$ și $Q$ este mijlocul lui $GC$, deci $NQ\parallel CD\parallel AB$ și $NQ=6\text{ cm}$.
  • Patrulaterul $HNQC$ are $HQ\parallel NC$ și $HQ=NC$ (deoarece $\Delta HDQ\equiv \Delta NCD$).
  • Cum $HQ\parallel NC$ și $NC\subset (CMN)$, rezultă că $HQ\parallel (CMN)$.
  • Prin urmare, distanța de la $H$ la planul $(CMN)$ este egală cu distanța de la orice punct al dreptei $HQ$ la acest plan:
    $$d(H,(CMN))=d(Q,(CMN))$$ (1p)
  • Deoarece $BC\perp (CDHG)$ și $MN\parallel BC$, rezultă că $MN\perp (CDHG)$.
  • Fie $R\in NC$ astfel încât $QR\perp NC$.
  • Deoarece $QR\subset (CDHG)$ și $MN\perp (CDHG)$, avem $QR\perp MN$.
  • Având $QR\perp NC$ și $QR\perp MN$, cu $NC\cap MN=\{N\}$, rezultă că $QR\perp (CMN)$, deci:
    $$d(Q,(CMN))=QR$$ (1p)
  • Calculăm $QR$ în triunghiul dreptunghic $NQC$:
    • În fața $CDHG$, $NQ=6\text{ cm}$, $QC=\frac{GC}{2}=3\text{ cm}$, iar $\sphericalangle NQC=90^{\circ }$ (deoarece $NQ\parallel CD$ și $CD\perp GC$).
    • Ipotenuza $NC=\sqrt{N{Q}^2+Q{C}^2}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\text{ cm}$.
    • Segmentul $QR$ este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei în triunghiul dreptunghic $NQC$:
      $$QR=\frac{NQ\cdot QC}{NC}=\frac{6\cdot 3}{3\sqrt{5}}=\frac{6}{\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}\text{ cm}$$
  • Așadar, distanța de la punctul $H$ la planul $(CMN)$ este $\frac{6\sqrt{5}}{5}\text{ cm}$. (1p)

Evaluarea Națională pentru absolvenții clasei a VIII-a

Anul școlar 2024 – 2025
Matematică
Model

---

• Toate subiectele sunt obligatorii.
• Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de două ore.

---

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Rezultatul calculului $(40+2\cdot 5):5$ este:

• a) $6$
• b) $10$
• c) $38$
• d) $42$

5p 2. Dacă $\frac{x}{9}=\frac{2}{3}$, atunci numărul $x$ este egal cu:

• a) $\frac{27}{2}$
• b) $6$
• c) $2$
• d) $\frac{1}{6}$

5p 3. Se consideră mulțimile $A=\{0,1,2,3,4,5\}$ și $B=\{2,4,6,8\}$. Reuniunea mulțimilor $A$ și $B$ este mulțimea:

• a) $\{2,4\}$
• b) $\{0,1,3,5\}$
• c) $\{1,2,3,4,5,6,8\}$
• d) $\{0,1,2,3,4,5,6,8\}$

5p 4. Scrierea sub formă de fracție zecimală a fracției $\frac{5}{6}$ este:

• a) $0,8$
• b) $0,83$
• c) $0,8(3)$
• d) $0,(83)$

5p 5. Patru elevi, Alina, Bogdan, Corina și Dan, au calculat media aritmetică a numerelor $a=\sqrt{3^2+4^2}$ și $b=45$. Răspunsurile date de cei patru elevi sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Alina	Bogdan	Corina	Dan
15	25	26	50

Rezultatul corect a fost obținut de către:

• a) Alina
• b) Bogdan
• c) Corina
• d) Dan

5p 6. Se consideră numărul real $a=11-5\sqrt{5}$. Enunțul „Numărul real $a$ este pozitiv.” este:

• a) adevărat
• b) fals

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura alăturată punctele $A,B,C$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $AC=2\cdot AB$ și $AD=2\cdot AC$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$ și $AM=2\text{ cm}$. Lungimea segmentului $MD$ este egală cu:

[Figura: Punctele coliniare A, M, B, C, D în această ordine]

• a) $4\text{ cm}$
• b) $6\text{ cm}$
• c) $14\text{ cm}$
• d) $16\text{ cm}$

5p 2. În figura alăturată punctele $A,O$ și $D$ sunt coliniare, unghiul $BOC$ este drept, iar măsura unghiului $AOC$ este egală cu $30^{\circ }$. Măsura unghiului $BOD$ este egală cu:

[Figura: Punctele coliniare A, O, D; semidreapta OC în semiplanul superior cu unghiul AOC = 30°, semidreapta OB în semiplanul inferior astfel încât măsura unghiului BOC = 90°]

• a) $120^{\circ }$
• b) $130^{\circ }$
• c) $150^{\circ }$
• d) $180^{\circ }$

5p 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu măsura unghiului $ACB$ egală cu $60^{\circ }$. Semidreapta $CM$ este bisectoarea unghiului $ACB$ și $CM=8\text{ cm}$. Lungimea laturii $AB$ este egală cu:

[Figura: Triunghiul dreptunghic ABC cu unghiul A drept, M pe cateta AB, CM este bisectoarea unghiului C]

• a) $4\sqrt{3}\text{ cm}$
• b) $8\text{ cm}$
• c) $12\text{ cm}$
• d) $8\sqrt{3}\text{ cm}$

5p 4. În figura alăturată este reprezentat patrulaterul $ABCD$. Triunghiurile $ADC$ și $ABC$ sunt dreptunghice isoscele, cu $AD=CD$ și $AC=BC$. Aria triunghiului $ABC$ este egală cu $288{\text{ cm}}^2$. Aria triunghiului $ADC$ este egală cu:

[Figura: Patrulaterul ABCD format din triunghiul dreptunghic isoscel ADC cu unghiul D drept și triunghiul dreptunghic isoscel ABC cu unghiul C drept]

• a) $72{\text{ cm}}^2$
• b) $144{\text{ cm}}^2$
• c) $288{\text{ cm}}^2$
• d) $576{\text{ cm}}^2$

5p 5. În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$. Punctele $A,B,C$ și $D$ aparțin cercului, punctul $O$ aparține segmentului $AB$ și dreptele $AB$ și $CD$ sunt paralele. Dacă măsura arcului mic $BD$ este egală cu $40^{\circ }$, atunci măsura unghiului $COD$ este egală cu:

[Figura: Cerc de centru O, diametrul AB, coarda CD paralelă cu AB, arcul BD având 40°]

• a) $40^{\circ }$
• b) $60^{\circ }$
• c) $80^{\circ }$
• d) $100^{\circ }$

5p 6. În figura alăturată este reprezentat tetraedrul regulat $ABCD$. Dacă $AB=4\text{ cm}$, atunci aria totală a tetraedrului $ABCD$ este egală cu:

[Figura: Tetraedrul regulat ABCD]

• a) $4\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$
• b) $8\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$
• c) $24{\text{ cm}}^2$
• d) $16\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrie rezolvările complete. (30 de puncte)

5p 1. O echipă de muncitori a construit o pistă pentru biciclete în 3 zile. În prima zi a construit $30\%$ din lungimea pistei, în a doua zi $60\%$ din ce a rămas și în ultima zi cu $7\text{ km}$ mai puțin decât în a doua zi.

• (2p) a) Verifică dacă în a doua zi echipa a construit mai mult decât în prima zi. Justifică răspunsul dat.
• (3p) b) Determină lungimea pistei construite de echipă în cele trei zile.

5p 2. Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{x+4}{x-3}-\frac{x-3}{x+4}+\frac{49}{x^2+x-12}\right):\frac{7}{x-3}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -4$ și $x\ne 3$.

• (2p) a) Arată că $x^2+x-12=(x-3)(x+4)$, pentru orice număr real $x$.
• (3p) b) Arată că numărul $N=\sqrt{E(2)+E(4)+E(6)+\cdots +E(16)}$ este natural.

5p 3. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-6$.

• (2p) a) Arată că $f(3)\cdot f(2025)=0$.
• (3p) b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele $Ox$ și $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$ în punctele $A$, respectiv $B$. Determină aria triunghiului $ABM$, unde punctul $M$ este simetricul punctului $A$ față de punctul $O$.

5p 4. În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$, cu $AB=12\text{ cm}$ și $BC=6\text{ cm}$. Bisectoarea unghiului $BCD$ intersectează latura $AB$ în punctul $E$ și diagonala $BD$ în punctul $F$.

[Figura: Dreptunghiul ABCD, diagonala BD, bisectoarea CE care intersectează BD în F și latura AB în E, segmentul AF]

• (2p) a) Arată că perimetrul dreptunghiului $ABCD$ este egal cu $36\text{ cm}$.
• (3p) b) Calculează lungimea segmentului $AF$.

5p 5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $ABC$ cu $AB=6\text{ cm}$. Punctele $B,C$ și $M$ sunt coliniare și punctul $C$ este mijlocul segmentului $BM$. Punctul $N$ este proiecția punctului $M$ pe dreapta $AC$, iar dreapta $BC$ este mediatoarea segmentului $AP$.

[Figura: Triunghiul echilateral ABC, prelungirea laturii BC cu segmentul CM = BC, perpendiculara MN pe AC cu N pe dreapta AC, punctul P simetricul lui A față de dreapta BC]

• (2p) a) Arată că lungimea segmentului $NC$ este egală cu $3\text{ cm}$.
• (3p) b) Demonstrează că punctele $M,N$ și $P$ sunt coliniare.

5p 6. În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDEFGH$ cu $AB=6\text{ cm}$. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele muchiilor $AE$ și $DH$.

[Figura: Cubul ABCDEFGH, M mijlocul lui AE, N mijlocul lui DH]

• (2p) a) Arată că volumul cubului $ABCDEFGH$ este egal cu $216{\text{ cm}}^3$.
• (3p) b) Calculează distanța de la punctul $H$ la planul $(CMN)$.