Evaluare Națională 2026, matematică: simulare națională

Subiectul I, 1)

Răspuns corect: b)

Efectuăm mai întâi împărțirea, respectând ordinea operațiilor:
$$12-8:4=12-2=10$$

---

Subiectul I, 2)

Răspuns corect: c)

Calculăm $50\%$ din numărul total de elevi:
$$\frac{50}{100}\cdot 26=\frac{1}{2}\cdot 26=13$$
În clasă sunt $13$ băieți.

---

Subiectul I, 3)

Răspuns corect: c)

Scriem fracțiile sub formă zecimală:
$$\frac{2}{3}=0,(6),\frac{9}{4}=2,25$$
Intervalul este $\left(0,(6);2,25\right]$. Numerele naturale din acest interval sunt $1$ și $2$.
Cel mai mare număr natural din interval este $2$.

---

Subiectul I, 4)

Răspuns corect: c)

Știm că $2x=\frac{3}{2}$. Înmulțim ambii membri cu $2$:
$$4x=2\cdot (2x)=2\cdot \frac{3}{2}=3$$

---

Subiectul I, 5)

Răspuns corect: d)

Folosim formula diferenței de pătrate $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$:
$$a\cdot b=(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})=3^2-(2\sqrt{2}{)}^2=9-8=1$$
Rezultatul corect ($1$) a fost obținut de Maria.

---

Subiectul I, 6)

Răspuns corect: a)

Fie $p$ prețul unui pix și $c$ prețul unui caiet. Din enunț:
$$2p+c=20$$
Înmulțind egalitatea cu $2$, obținem:
$$2\cdot (2p+c)=2\cdot 20⟺4p+2c=40$$
Astfel, $4$ pixuri și $2$ caiete costă $40$ de lei, deci enunțul este adevărat.

---

Subiectul al II-lea, 1)

Răspuns corect: b)

Conform datelor din problemă:

• $BC=4\text{ cm}$
• $BC=\frac{AB}{2}⟹AB=2\cdot BC=2\cdot 4=8\text{ cm}$
• $CD=\frac{BC}{2}=\frac{4}{2}=2\text{ cm}$

Punctele fiind coliniare în ordinea $A,B,C,D$, lungimea segmentului $AD$ este:
$$AD=AB+BC+CD=8+4+2=14\text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 2)

Răspuns corect: d)

Unghiurile $AOC$ și $COB$ sunt adiacente suplementare, deci $\sphericalangle AOC+\sphericalangle COB=180^{\circ }$.
Semidreapta $OM$ este bisectoarea unghiului $AOC$, deci $\sphericalangle AOM=\sphericalangle MOC=x$.
Atunci $\sphericalangle AOC=2x$, iar $\sphericalangle BOC=180^{\circ }-2x$.

Unghiul $MOB$ se scrie ca suma unghiurilor adiacente $MOC$ și $COB$:
$$\sphericalangle MOB=\sphericalangle MOC+\sphericalangle BOC=x+(180^{\circ }-2x)=180^{\circ }-x$$
Știind că $\sphericalangle MOB=145^{\circ }$, avem:
$$180^{\circ }-x=145^{\circ }⟹x=35^{\circ }$$
Prin urmare:
$$\sphericalangle BOC=180^{\circ }-2\cdot 35^{\circ }=180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$$

---

Subiectul al II-lea, 3)

Răspuns corect: b)

În triunghiul isoscel $ABC$ cu $AB=AC$ și $\sphericalangle BAC=36^{\circ }$, unghiurile de la bază sunt egale:
$$\sphericalangle ABC=\sphericalangle ACB=\frac{180^{\circ }-36^{\circ }}{2}=\frac{144^{\circ }}{2}=72^{\circ }$$
Deoarece $AM=BM$, triunghiul $AMB$ este isoscel cu baza $AB$, deci:
$$\sphericalangle ABM=\sphericalangle BAM=36^{\circ }$$
Măsura unghiului $MBC$ este:
$$\sphericalangle MBC=\sphericalangle ABC-\sphericalangle ABM=72^{\circ }-36^{\circ }=36^{\circ }$$

---

Subiectul al II-lea, 4)

Răspuns corect: c)

În triunghiul $ABP$, baza poate fi considerată latura $AB=4\text{ cm}$.
Înălțimea corespunzătoare acestei baze este distanța de la punctul $P$ la dreapta $AB$.
Deoarece punctul $P$ aparține dreptei $CD$, iar $CD\parallel AB$, distanța de la orice punct de pe dreapta $CD$ la dreapta $AB$ este egală cu distanța dintre cele două drepte paralele, adică lungimea laturii $AD=4\text{ cm}$.

Aria triunghiului $ABP$ este:
$${\mathcal{A}}_{ABP}=\frac{AB\cdot AD}{2}=\frac{4\cdot 4}{2}=8{\text{ cm}}^2$$

---

Subiectul al II-lea, 5)

Răspuns corect: b)

Segmentul $AB$ este diametru în cercul de centru $O$, deci $OA=OB=OD=R$.
Unghiul la centru $\sphericalangle BOC=60^{\circ }$ are măsura egală cu măsura arcului mic $BC$, deci $\text{overparen}BC=60^{\circ }$.
Deoarece dreptele $AB$ și $CD$ sunt paralele, arcele cuprinse între ele sunt congruente, adică $\text{overparen}AD=\text{overparen}BC=60^{\circ }$.
Unghiul la centru corespunzător este $\sphericalangle AOD=\text{overparen}AD=60^{\circ }$.
Triunghiul $OAD$ este isoscel cu $OA=OD$ și are un unghi de $60^{\circ }$, deci este triunghi echilateral.
Rezultă că $\sphericalangle BAD=\sphericalangle OAD=60^{\circ }$.

---

Subiectul al II-lea, 6)

Răspuns corect: c)

În prisma dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, muchia laterală $B{B}^{\prime }$ este perpendiculară pe planul bazei superioare $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$, deci $B{B}^{\prime }\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$.
Triunghiul $B{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ este dreptunghic în $B^{\prime }$.
Avem $B{B}^{\prime }=A{A}^{\prime }=3\text{ cm}$ și $B^{\prime }{C}^{\prime }=BC=4\text{ cm}$.
Conform teoremei lui Pitagora în $△B{B}^{\prime }{C}^{\prime }$:
$$B{C}^{\prime }=\sqrt{B{B}^{\prime 2}+B^{\prime }{C}^{\prime 2}}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\text{ cm}$$

---

Subiectul al III-lea, 1)

a)
Fie $e$ numărul de elevi și $b$ numărul de bănci din clasă.
Dacă elevii se așază câte doi în bancă, ar mai trebui adusă o bancă în care să stea doi elevi, ceea ce înseamnă că toate cele $b+1$ bănci ar fi ocupate complet de câte 2 elevi:
$$e=2(b+1)(1p)$$
Deoarece $e=2(b+1)$, $e$ este un număr par.
Cum $25$ este un număr impar, nu este posibil ca în clasă să fie $25$ de elevi. $(1p)$

b)
Dacă elevii se așază câte 4 în bancă, $5$ bănci rămân libere, într-una stau $2$ elevi, iar în restul de $b-5-1=b-6$ bănci stau câte $4$ elevi:
$$e=4(b-6)+2(1p)$$
Egalăm cele două expresii ale numărului de elevi $e$:
$$2(b+1)=4(b-6)+2$$
$$2b+2=4b-24+2$$
$$2b+2=4b-22⟹2b=24(1p)$$
$$b=12(1p)$$
Numărul băncilor din clasă este $12$.

---

Subiectul al III-lea, 2)

a)
Descompunem trinomul grupând termenii:
$$x^2-3x+2=x^2-x-2x+2(1p)$$
$$=x(x-1)-2(x-1)=(x-2)(x-1),\text{ pentru orice numa˘r real }x(1p)$$

b)
Aducem la același numitor expresia din paranteză:
$$\frac{1}{x^2-3x+2}+\frac{1}{1-x}=\frac{1}{(x-2)(x-1)}-\frac{1}{x-1}=\frac{1-(x-2)}{(x-2)(x-1)}=\frac{3-x}{(x-2)(x-1)}$$
De asemenea, $x^2-6x+9=(x-3{)}^2$.
Expresia devine:
$$E(x)=\frac{3-x}{(x-2)(x-1)}:\frac{(x-3{)}^2}{x-1}=\frac{-(x-3)}{(x-2)(x-1)}\cdot \frac{x-1}{(x-3{)}^2}=-\frac{1}{(x-2)(x-3)}(1p)$$

Calculăm termenii sumei $T$:

• $E(4)=-\frac{1}{(4-2)(4-3)}=-\frac{1}{2\cdot 1}=-\frac{1}{1\cdot 2}$
• $E(5)=-\frac{1}{(5-2)(5-3)}=-\frac{1}{3\cdot 2}=-\frac{1}{2\cdot 3}$
• $E(6)=-\frac{1}{(6-2)(6-3)}=-\frac{1}{4\cdot 3}=-\frac{1}{3\cdot 4}$
• $E(7)=-\frac{1}{(7-2)(7-3)}=-\frac{1}{5\cdot 4}=-\frac{1}{4\cdot 5}$

Suma este o sumă telescopică:
$$T=-\left(\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 5}\right)=-\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)=-\left(1-\frac{1}{5}\right)=-\frac{4}{5}$$
Comparăm $-\frac{4}{5}$ cu $-\frac{\sqrt{2}}{2}$:
$$-\frac{4}{5}=-\frac{8}{10}=-\frac{\sqrt{64}}{10},-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{5\sqrt{2}}{10}=-\frac{\sqrt{50}}{10}$$
Cum $-\frac{\sqrt{64}}{10}<-\frac{\sqrt{50}}{10}$, rezultă că $T<-\frac{\sqrt{2}}{2}$. $(1p)$

---

Subiectul al III-lea, 3)

a)
Fie $C(10,0)$ proiecția punctului $B$ pe axa $Ox$.
În triunghiul dreptunghic $ACB$ (dreptunghic în $C$):
$$AC=x_C-x_A=10-2=8,BC=y_B-y_C=4-0=4(1p)$$
Aplicând teorema lui Pitagora:
$$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2=8^2+4^2=64+16=80⟹AB=\sqrt{80}=4\sqrt{5}(1p)$$

b)
Punctul $M$ este situat pe axa $Ox$, deci are coordonatele $M(m,0)$.
Lungimea segmentului $AM$ este:
$$AM=|m-2|(1p)$$
Triunghiul $BMC$ este dreptunghic în $C(10,0)$, cu $CM=|10-m|$ și $BC=4$:
$$B{M}^2=B{C}^2+C{M}^2=16+(10-m{)}^2$$
Condiția $AM=BM$ este echivalentă cu $A{M}^2=B{M}^2$:
$$(m-2{)}^2=16+(10-m{)}^2(1p)$$
$$m^2-4m+4=16+100-20m+m^2$$
$$16m=112⟹m=7(1p)$$
Coordonatele punctului căutat sunt $M(7,0)$.

---

Subiectul al III-lea, 4)

a)
În pătratul $ABCD$ cu latura $AB=4\text{ cm}$, diagonala este:
$$BD=AB\sqrt{2}=4\sqrt{2}\text{ cm}(1p)$$
Punctul $O$ este centrul pătratului și al cercului circumscris, deci raza cercului este:
$$R=OB=\frac{BD}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\text{ cm}$$
Deoarece $M$ aparține cercului, distanța de la centru la $M$ este egală cu raza:
$$MO=R=2\sqrt{2}\text{ cm}(1p)$$

b)
În cercul de centru $O$, arcul $AD$ are măsura de $90^{\circ }$. Punctul $M$ fiind mijlocul arcului mic $AD$, raza $OM$ este axă de simetrie și bisectoare a unghiului la centru $\sphericalangle AOD$.
Fie $Q$ intersecția dreptelor $OM$ și $AD$. În triunghiul isoscel $OAD$ ($OA=OD$), bisectoarea $OQ$ este și mediană și înălțime, deci $Q$ este mijlocul laturii $AD$, $OQ\perp AD$ și $AQ=QD=2\text{ cm}$.
În triunghiul dreptunghic $OAQ$:
$$OQ=\sqrt{O{A}^2-A{Q}^2}=\sqrt{(2\sqrt{2}{)}^2-2^2}=\sqrt{8-4}=2\text{ cm}$$
Atunci $MQ=MO-OQ=2\sqrt{2}-2=2(\sqrt{2}-1)\text{ cm}$. $(1p)$

Deoarece $MQ\perp AD$ și $AB\perp AD$, avem $MQ\parallel AB$.
Punctul $P$ se află pe segmentul $AD$, între $A$ și $Q$. Aplicând teorema fundamentală a asemănării în $△PAB$ cu $MQ\parallel AB$, obținem $△PMQ\sim △PBA$, de unde:
$$\frac{MQ}{BA}=\frac{PQ}{PA}⟹\frac{BA+MQ}{BA}=\frac{PA+PQ}{PA}$$
Cum $PA+PQ=AQ=2\text{ cm}$ și $BA+MQ=4+2\sqrt{2}-2=2+2\sqrt{2}$, avem:
$$\frac{2+2\sqrt{2}}{4}=\frac{2}{PA}⟹\frac{1+\sqrt{2}}{2}=\frac{2}{PA}(1p)$$
În triunghiul $BAP$, dreptunghic în $A$, tangenta unghiului $BPA$ este:
$$\mathrm{tg}(\sphericalangle BPA)=\frac{BA}{PA}=\frac{4}{PA}=2\cdot \frac{2}{PA}=2\cdot \frac{1+\sqrt{2}}{2}=1+\sqrt{2}(1p)$$

---

Subiectul al III-lea, 5)

a)
În triunghiul echilateral $ABC$, laturile sunt $AB=BC=AC=8\text{ cm}$.
$M$ este mijlocul laturii $AC$, deci:
$$MC=\frac{AC}{2}=\frac{8}{2}=4\text{ cm}(1p)$$
Triunghiul $MPC$ este dreptunghic în $P$ ($MP\perp BC$). În acest triunghi, $\sphericalangle C=60^{\circ }$, deci $\sphericalangle PMC=30^{\circ }$.
Conform teoremei unghiului de $30^{\circ }$:
$$PC=\frac{MC}{2}=\frac{4}{2}=2\text{ cm}(1p)$$

b)
Calculăm $BP=BC-PC=8-2=6\text{ cm}$.
În triunghiul dreptunghic $BQP$ ($PQ\perp AB$), măsura unghiului $\sphericalangle B$ este de $60^{\circ }$:
$$PQ=BP\cdot \sin 60^{\circ }=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\text{ cm}(1p)$$

În triunghiul dreptunghic $MPC$, avem:
$$MP=MC\cdot \sin 60^{\circ }=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\text{ cm}$$
Deoarece $MP\perp BC$, avem $\sphericalangle MPB=90^{\circ }$. În triunghiul $BQP$, $\sphericalangle BPQ=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$, deci:
$$\sphericalangle MPQ=\sphericalangle MPB-\sphericalangle BPQ=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$$
Fie $QT\perp MP$, cu $T\in MP$. În triunghiul dreptunghic $PTQ$:
$$QT=QP\cdot \sin (\sphericalangle MPQ)=3\sqrt{3}\cdot \sin 60^{\circ }=3\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9}{2}\text{ cm}(1p)$$

Aria triunghiului $MPQ$ este:
$${\mathcal{A}}_{MPQ}=\frac{MP\cdot QT}{2}=\frac{2\sqrt{3}\cdot \frac{9}{2}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{2}{\text{ cm}}^2(1p)$$

---

Subiectul al III-lea, 6)

a)
În triunghiul echilateral $ABD$, $BM$ este mediană, deci și înălțime:
$$BM=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\text{ cm}$$
Similar, în triunghiul echilateral $ACD$, $CM$ este mediană:
$$CM=\frac{AC\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\text{ cm}$$
Deoarece $P$ este simetricul lui $B$ față de $M$, punctul $M$ este mijlocul segmentului $BP$, deci $BP=2BM=6\sqrt{3}\text{ cm}$.
În triunghiul $PCB$, mediana $CM$ corespunzătoare laturii $BP$ are lungimea:
$$CM=3\sqrt{3}=\frac{BP}{2}$$
Conform reciprocei teoremei medianei, triunghiul $PCB$ este dreptunghic în $C$. $(1p)$
Aplicăm teorema lui Pitagora în $△PCB$:
$$PC=\sqrt{B{P}^2-B{C}^2}=\sqrt{(6\sqrt{3}{)}^2-6^2}=\sqrt{108-36}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\text{ cm}(1p)$$

b)
Fie $E$ mijlocul muchiei $BD$.
În triunghiul $PDB$, punctele $M$ și $E$ sunt mijloacele laturilor $BP$, respectiv $BD$, deci segmentul $ME$ este linie mijlocie.
Rezultă $ME\parallel DP$, ceea ce înseamnă că $\sphericalangle (DP,CM)=\sphericalangle (ME,CM)$. $(1p)$

În patrulaterul $ABDP$, diagonalele $AD$ și $BP$ au același mijloc $M$, deci $ABDP$ este paralelogram, de unde $DP=AB=6\text{ cm}$.
Lungimea liniei mijlocii este:
$$ME=\frac{DP}{2}=\frac{6}{2}=3\text{ cm}$$
În triunghiul echilateral $BCD$, $CE$ este mediană, deci $CE=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\text{ cm}$.
Cum $CM=CE=3\sqrt{3}\text{ cm}$, triunghiul $MCE$ este isoscel de bază $ME$. $(1p)$

Fie $F$ mijlocul bazei $ME$. Atunci $CF\perp ME$ și $MF=\frac{ME}{2}=\frac{3}{2}\text{ cm}$.
În triunghiul dreptunghic $CFM$:
$$CF=\sqrt{C{M}^2-M{F}^2}=\sqrt{(3\sqrt{3}{)}^2-{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}=\sqrt{27-\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{99}{4}}=\frac{3\sqrt{11}}{2}\text{ cm}$$
Sinusul unghiului dintre $DP$ și $CM$ este:
$$\sin (\sphericalangle CMF)=\frac{CF}{CM}=\frac{\frac{3\sqrt{11}}{2}}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{33}}{6}(1p)$$

EVALUAREA NAȚIONALĂ PENTRU ABSOLVENȚII CLASEI A VIII-A

Anul școlar 2025-2026
Disciplina: Matematică
Simulare

• Toate subiectele sunt obligatorii.
• Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de două ore.

---

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Rezultatul calculului $12-8:4$ este egal cu:
a) $16$
b) $10$
c) $5$
d) $1$

5p 2. Din cei $26$ de elevi ai unei clase, $50\%$ sunt băieți. Numărul băieților din acea clasă este egal cu:
a) $5$
b) $12$
c) $13$
d) $20$

5p 3. Cel mai mare număr natural din intervalul $\left(\frac{2}{3},\frac{9}{4}\right]$ este egal cu:
a) $0$
b) $1$
c) $2$
d) $9$

5p 4. Dacă $2x=\frac{3}{2}$, atunci $4x$ este egal cu:
a) $\frac{3}{4}$
b) $\frac{8}{3}$
c) $3$
d) $6$

5p 5. Patru elevi, Alin, Mihai, Ioana și Maria, au calculat produsul numerelor $a=3+2\sqrt{2}$ și $b=3-2\sqrt{2}$. Rezultatele obținute de cei patru elevi sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Alin	Mihai	Ioana	Maria
$17$	$6$	$5$	$1$

Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de:
a) Alin
b) Mihai
c) Ioana
d) Maria

5p 6. Două pixuri și un caiet costă $20$ de lei. Enunțul: „Patru pixuri și două caiete, de același tip, costă $40$ de lei.” este:
a) adevărat
b) fals

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât lungimea segmentului $BC$ este jumătate din lungimea segmentului $AB$ și lungimea segmentului $CD$ este jumătate din lungimea segmentului $BC$. Dacă $BC=4\text{ cm}$, atunci lungimea segmentului $AD$ este egală cu:
[Figura: Segmentul AD cu punctele A, B, C, D coliniare în această ordine]
a) $20\text{ cm}$
b) $14\text{ cm}$
c) $12\text{ cm}$
d) $7\text{ cm}$

5p 2. În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile adiacente suplementare $AOC$ și $COB$. Semidreapta $OM$ este bisectoarea unghiului $AOC$, iar măsura unghiului $MOB$ este egală cu $145^{\circ }$. Măsura unghiului $BOC$ este egală cu:
[Figura: Unghiurile adiacente suplementare AOC și COB, cu semidreapta OM bisectoarea unghiului AOC]
a) $35^{\circ }$
b) $70^{\circ }$
c) $105^{\circ }$
d) $110^{\circ }$

5p 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel $ABC$, cu $AB=AC$ și măsura unghiului $BAC$ este egală cu $36^{\circ }$. Punctul $M$ aparține laturii $AC$, astfel încât $AM=BM$. Măsura unghiului $MBC$ este egală cu:
[Figura: Triunghiul isoscel ABC cu punctul M situat pe AC astfel încât AM = BM]
a) $18^{\circ }$
b) $36^{\circ }$
c) $54^{\circ }$
d) $72^{\circ }$

5p 4. În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$, cu $AB=4\text{ cm}$. Punctul $M$ este mijlocul laturii $BC$. Dreptele $AM$ și $DC$ se intersectează în punctul $P$. Aria triunghiului $ABP$ este egală cu:
[Figura: Pătratul ABCD cu M mijlocul lui BC, dreptele AM și DC se intersectează în P, formând triunghiul ABP]
a) $3{\text{ cm}}^2$
b) $4{\text{ cm}}^2$
c) $8{\text{ cm}}^2$
d) $16{\text{ cm}}^2$

5p 5. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ și diametru $AB$. Punctele $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât dreptele $AB$ și $CD$ sunt paralele și măsura unghiului $BOC$ este egală cu $60^{\circ }$. Măsura unghiului $BAD$ este egală cu:
[Figura: Cercul de centru O cu diametrul AB și coarda CD paralelă cu AB, măsura unghiului BOC fiind de 60 de grade]
a) $30^{\circ }$
b) $60^{\circ }$
c) $90^{\circ }$
d) $120^{\circ }$

5p 6. În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, cu baza triunghiul echilateral $ABC$, cu $A{A}^{\prime }=3\text{ cm}$ și $AB=4\text{ cm}$. Lungimea segmentului $B{C}^{\prime }$ este egală cu:
[Figura: Prismă triunghiulară dreaptă ABCA'B'C' cu segmentul BC' trasat]
a) $3\text{ cm}$
b) $4\text{ cm}$
c) $5\text{ cm}$
d) $7\text{ cm}$

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrie rezolvările complete. (30 de puncte)

5p 1. Pentru a putea așeza elevii unei clase câte doi în fiecare bancă, în această sală de clasă, ar mai trebui adusă încă o bancă în care să fie așezați doi elevi.
(2p) a) Verifică dacă în această clasă pot fi $25$ de elevi. Justifică răspunsul dat.
(3p) b) Dacă elevii acestei clase se așază câte $4$ în bancă, atunci într-una dintre bănci stau doar $2$ elevi, iar $5$ bănci rămân libere. Determină numărul băncilor din această clasă.

5p 2. Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{1}{x^2-3x+2}+\frac{1}{1-x}\right):\frac{x^2-6x+9}{x-1}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 1$, $x\ne 2$ și $x\ne 3$.
(2p) a) Arată că $x^2-3x+2=(x-2)(x-1)$, pentru orice număr real $x$.
(3p) b) Arată că numărul $T=E(4)+E(5)+E(6)+E(7)$ este mai mic decât $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

5p 3. În sistemul de axe ortogonale $xOy$ se consideră punctele $A(2,0)$ și $B(10,4)$.
(2p) a) Arată că $AB=4\sqrt{5}$.
(3p) b) Determină coordonatele punctului $M$, situat pe axa $Ox$, aflat la distanțe egale față de punctele $A$ și $B$.

5p 4. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$. Punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât $ABCD$ este pătrat, cu $AB=4\text{ cm}$. Punctul $M$ este mijlocul arcului mic $AD$, iar dreptele $AD$ și $BM$ se intersectează în punctul $P$.
[Figura: Pătratul ABCD înscris în cercul de centru O, punctul M este mijlocul arcului mic AD, iar BM intersectează AD în P]
(2p) a) Arată că $MO=2\sqrt{2}\text{ cm}$.
(3p) b) Demonstrează că tangenta unghiului $BPA$ este egală cu $1+\sqrt{2}$.

5p 5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $ABC$, cu $AB=8\text{ cm}$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$, punctul $P$ este proiecția punctului $M$ pe dreapta $BC$ și punctul $Q$ este proiecția punctului $P$ pe dreapta $AB$.
[Figura: Triunghiul echilateral ABC cu M mijlocul laturii AC, segmentul MP perpendicular pe BC și PQ perpendicular pe AB]
(2p) a) Arată că $PC=2\text{ cm}$.
(3p) b) Determină aria triunghiului $MPQ$.

5p 6. În figura alăturată este reprezentat tetraedrul regulat $ABCD$, cu $AB=6\text{ cm}$. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $AD$ și punctul $P$ este simetricul punctului $B$ față de punctul $M$.
[Figura: Tetraedrul regulat ABCD, M mijlocul lui AD, P simetricul lui B față de M]
(2p) a) Arată că $CP=6\sqrt{2}\text{ cm}$.
(3p) b) Arată că sinusul unghiului dreptelor $DP$ și $CM$ este egal cu $\frac{\sqrt{33}}{6}$.