Evaluare Națională 2023, matematică: examen oficial (sesiunea iunie)

Subiectul I, 1)

• Răspuns corect: b)
• Rezolvare:
  Efectuăm mai întâi operația din paranteză:
  $$3+4=7$$
  Apoi scăderea:
  $$15-7=8$$

---

Subiectul I, 2)

• Răspuns corect: c)
• Rezolvare:
  Din egalitatea rapoartelor $\frac{x}{y}=\frac{5}{2}$, folosind produsul mezilor egal cu produsul extremilor, obținem:
  $$2x=5y⟺2x-5y=0$$
  Înlocuind în calculul cerut:
  $$2x-5y+10=0+10=10$$

---

Subiectul I, 3)

• Răspuns corect: a)
• Rezolvare:
  Opusul numărului $3$ este $-3$.
  Produsul dintre numărul $3$ și opusul său este:
  $$3\cdot (-3)=-9$$

---

Subiectul I, 4)

• Răspuns corect: c)
• Rezolvare:
  Calculăm fracția dintr-un număr prin înmulțire:
  $$\frac{2}{3}\cdot 12=\frac{2\cdot 12}{3}=2\cdot 4=8$$

---

Subiectul I, 5)

• Răspuns corect: d)
• Rezolvare:
  Numerele întregi din intervalul deschis $(-2,5)$ sunt $\{-1,0,1,2,3,4\}$.
  Cel mai mare număr întreg din acest interval este $4$.
  Elevul care a dat acest răspuns este Vlad.

---

Subiectul I, 6)

• Răspuns corect: b)
• Rezolvare:
  Din citirea diagramei cu bare, bara corespunzătoare notei 7 are înălțimea egală cu $8$, ceea ce înseamnă că nota 7 a fost obținută de $8$ elevi, nu de $10$ elevi.
  Prin urmare, afirmația este falsă.

---

Subiectul al II-lea, 1)

• Răspuns corect: c)
• Rezolvare:
  Punctele $A,B,C,D$ sunt coliniare în această ordine și $AB=BC=CD$.
  Segmentul $AC=AB+BC=2\cdot AB=10\text{ cm}⟹AB=BC=CD=5\text{ cm}$.
  Lungimea segmentului $AD$ este:
  $$AD=AB+BC+CD=5+5+5=15\text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 2)

• Răspuns corect: c)
• Rezolvare:
  Punctele $A,O,B$ sunt coliniare în această ordine, deci $\sphericalangle AOB=180^{\circ }$.
  Dreapta $ON\perp AB$, deci $\sphericalangle AON=90^{\circ }$.
  Deoarece semidreapta $OM$ este situată în interiorul unghiului $\sphericalangle AON$, avem:
  $$\sphericalangle MON=\sphericalangle AON-\sphericalangle MOA=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$$

---

Subiectul al II-lea, 3)

• Răspuns corect: c)
• Rezolvare:
  Triunghiurile $ABC$ și $AMC$ au aceeași înălțime coborâtă din vârful $A$ pe dreapta $BC$.
  Raportul ariilor lor este egal cu raportul bazelor corespunzătoare:
  $$\frac{{\mathcal{A}}_{AMC}}{{\mathcal{A}}_{ABC}}=\frac{MC}{BC}$$
  Punctul $M$ se află pe segmentul $BC$ și $BC=3\cdot BM$, deci $MC=BC-BM=3\cdot BM-BM=2\cdot BM$.
  Astfel, $\frac{MC}{BC}=\frac{2\cdot BM}{3\cdot BM}=\frac{2}{3}$.
  Aria triunghiului $AMC$ este:
  $${\mathcal{A}}_{AMC}=\frac{2}{3}\cdot {\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{2}{3}\cdot 15=10{\text{ cm}}^2$$

---

Subiectul al II-lea, 4)

• Răspuns corect: b)
• Rezolvare:
  Perimetrul pătratului este $\mathcal{P}=4\cdot AB=40\text{ cm}⟹AB=10\text{ cm}$.
  Diagonala pătratului are lungimea:
  $$AC=AB\sqrt{2}=10\sqrt{2}\text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 5)

• Răspuns corect: b)
• Rezolvare:
  Cercul are în total $360^{\circ }$ și este împărțit în $8$ arce congruente:
  $$\widehat{AB}=\widehat{BC}=\widehat{CD}=\widehat{DE}=\widehat{EF}=\widehat{FG}=\widehat{GH}=\widehat{HA}$$
  Măsura arcului mic $BC$ este:
  $$\widehat{BC}=\frac{360^{\circ }}{8}=45^{\circ }$$

---

Subiectul al II-lea, 6)

• Răspuns corect: c)
• Rezolvare:
  Segmentul $B{D}^{\prime }$ este diagonala cubului de muchie $AB=5\text{ cm}$.
  Formula lungimii diagonalei cubului este $d=l\sqrt{3}$:
  $$B{D}^{\prime }=5\sqrt{3}\text{ cm}$$

---

Subiectul al III-lea, 1)

• a)
  Peste $2$ ani, vârsta Mariei va fi $14+2=16$ ani, iar vârsta tatălui ei va fi $40+2=42$ de ani. (1p)
  Suma vârstelor va fi $16+42=58$ de ani. Cum $58\ne 60$, deducem că nu este posibil ca peste $2$ ani suma dintre vârsta Mariei și vârsta tatălui ei să fie egală cu $60$ de ani. (1p)

• b)
  Fie $x$ numărul de ani care vor trece până când vârsta Mariei va fi jumătate din vârsta tatălui ei.
  Peste $x$ ani, Maria va avea $14+x$ ani, iar tatăl va avea $40+x$ ani.
  Ecuația este:
  $$14+x=\frac{1}{2}(40+x)$$ (1p)
  Înmulțim ecuația cu $2$:
  $$28+2x=40+x$$ (1p)
  $$2x-x=40-28⟹x=12$$
  Deci, peste $12$ ani vârsta Mariei va fi jumătate din vârsta tatălui ei. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 2)

• a)
  Aducem la același numitor comun în membrul stâng:
  Numitorul comun este $(x+1)(x+2)$. Amplificăm a doua fracție cu $x+1$:
  $$\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{x+2}=\frac{1+(x+1)}{(x+1)(x+2)}=\frac{x+2}{(x+1)(x+2)}$$ (1p)
  Simplificând prin factorul nenul $x+2$ (deoarece $x\ne -2$):
  $$=\frac{1}{x+1}$$ pentru orice $x\in \mathbb{R}\setminus \{-2,-1\}$. (1p)

• b)
  Folosind rezultatul de la punctul a), rescriem expresia $E(x)$:
  $$E(x)=\frac{1}{x+1}:\frac{x+3}{5(x+1)}=\frac{1}{x+1}\cdot \frac{5(x+1)}{x+3}=\frac{5}{x+3}$$ (1p)
  Ecuația devine:
  $$\frac{5}{x+3}=\frac{x-3}{8}$$
  Produsul extremilor este egal cu produsul mezilor:
  $$(x+3)(x-3)=5\cdot 8⟹x^2-9=40⟹x^2=49$$ (1p)
  Obținem soluțiile:
  $$x_1=-7\text{și}{x}_2=7$$
  Ambele valori sunt diferite de $-3,-2,-1$, deci sunt soluții valide.
  Suma soluțiilor ecuației este:
  $$S=-7+7=0$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 3)

• a)
  Calculăm valorile funcției:
  $$f(4)=-4+5=1$$ (1p)
  $$f(6)=-6+5=-1$$
  Atunci:
  $$f(4)+f(6)=1+(-1)=0$$ (1p)

• b)
  Determinăm coordonatele punctelor de intersecție ale graficului cu axele:

  • Cu axa $Ox$: $f(x)=0⟹-x+5=0⟹x=5$, deci $A(5,0)$.
  • Cu axa $Oy$: $f(0)=5$, deci $B(0,5)$. (1p)

  În triunghiul dreptunghic $AOB$ (dreptunghic în $O$), avem $OA=5$ și $OB=5$. Lungimea ipotenuzei este:
  $$AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$$ (1p)

  Punctul $P$ are coordonatele $(0,-3)$, deci se află pe axa $Oy$, iar segmentul $PB$ se află pe axa $Oy$.
  Lungimea $PB=y_B-y_P=5-(-3)=8$.
  În triunghiul $PAB$, înălțimea corespunzătoare bazei $PB$ este $OA=5$ (deoarece $OA\perp PB$ pe axele de coordonate).
  Aria triunghiului $PAB$ este:
  $${\mathcal{A}}_{PAB}=\frac{PB\cdot OA}{2}=\frac{8\cdot 5}{2}=20$$
  Pe de altă parte, exprimând aria în funcție de baza $AB$ și înălțimea $d(P,AB)$:
  $${\mathcal{A}}_{PAB}=\frac{AB\cdot d(P,AB)}{2}⟹20=\frac{5\sqrt{2}\cdot d(P,AB)}{2}$$
  $$d(P,AB)=\frac{40}{5\sqrt{2}}=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 4)

• a)
  Semidreapta $BD$ este bisectoarea unghiului $ABC$, iar $\sphericalangle ABD=15^{\circ }$, deci:
  $$\sphericalangle ABC=2\cdot \sphericalangle ABD=2\cdot 15^{\circ }=30^{\circ }$$ (1p)
  $ABCD$ este trapez cu $AB\parallel CD$, deci unghiurile alăturate laturii neparalele $BC$ sunt suplementare:
  $$\sphericalangle BCD=180^{\circ }-\sphericalangle ABC=180^{\circ }-30^{\circ }=150^{\circ }$$ (1p)

• b)
  Deoarece $CD\parallel AB$ și secanta $BD$ le intersectează, unghiurile alterne interne sunt congruente:
  $$\sphericalangle CDB=\sphericalangle ABD=15^{\circ }$$
  Cum $\sphericalangle CBD=15^{\circ }$, deducem că $\sphericalangle CDB=\sphericalangle CBD=15^{\circ }$, deci triunghiul $BCD$ este isoscel cu $CD=BC=10\text{ cm}$. (1p)

  Fie $CE\perp AB$, cu $E\in AB$. Deoarece $ABCD$ este trapez dreptunghic (cu $AD\perp AB$ și $AD\perp CD$), patrulaterul $AECD$ are toate unghiurile drepte, deci este dreptunghi. Rezultă:
  $$AD=CE\text{și}AE=CD=10\text{ cm}$$
  În triunghiul dreptunghic $CEB$ (dreptunghic în $E$), unghiul $\sphericalangle CBE=30^{\circ }$ și ipotenuza $BC=10\text{ cm}$:
  $$CE=\frac{BC}{2}=\frac{10}{2}=5\text{ cm}⟹AD=5\text{ cm}$$
  Conform teoremei lui Pitagora în $△CEB$:
  $$BE=\sqrt{B{C}^2-C{E}^2}=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}\text{ cm}$$
  Lungimea bazei mari este:
  $$AB=AE+BE=10+5\sqrt{3}\text{ cm}$$
  Calculăm diferența:
  $$AB-AD=(10+5\sqrt{3})-5=5+5\sqrt{3}\text{ cm}$$ (1p)

  Trebuie să arătăm că $5+5\sqrt{3}<14$:
  $$5+5\sqrt{3}<14⟺5\sqrt{3}<9⟺\sqrt{75}<\sqrt{81}$$
  Deoarece $75<81$ este adevărat, rezultă că $AB-AD<14\text{ cm}$. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 5)

• a)
  În triunghiul dreptunghic $ABC$ (dreptunghic în $B$), aplicăm teorema lui Pitagora:
  $$B{C}^2=A{C}^2-A{B}^2=30^2-(9\sqrt{10}{)}^2=900-810=90$$
  $$BC=\sqrt{90}=3\sqrt{10}\text{ cm}$$ (1p)
  Aria dreptunghiului $ABCD$ este:
  $${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot BC=9\sqrt{10}\cdot 3\sqrt{10}=27\cdot 10=270{\text{ cm}}^2$$ (1p)

• b)
  În triunghiurile $△MCE$ și $△MDA$ avem:

  • $MC=MD$ ($M$ este mijlocul segmentului $CD$);
  • $\sphericalangle CME\equiv \sphericalangle DMA$ (opuse la vârf);
  • $\sphericalangle MCE=\sphericalangle MDA=90^{\circ }$.
    Rezultă $△MCE\equiv △MDA$ (cazul C.U.), de unde $ME=MA$, deci $M$ este mijlocul segmentului $AE$. (1p)

  În triunghiul $ACE$:

  • $CM$ este mediană ($M$ este mijlocul lui $AE$);
  • În dreptunghiul $ABCD$, diagonalele se înjumătățesc, deci $O$ este mijlocul segmentului $AC$, ceea ce înseamnă că $EO$ este mediană în $△ACE$.
    Intersecția medianelor $CM$ și $EO$ este punctul $P$, deci $P$ este centrul de greutate al triunghiului $ACE$. Rezultă:
    $$\frac{MP}{MC}=\frac{1}{3}$$

  În triunghiul $ACD$:

  • $AM$ este mediană ($M$ este mijlocul lui $CD$);
  • $DO$ este mediană ($O$ este mijlocul lui $AC$).
    Punctul de intersecție a dreptelor $AM$ și $BD$ este $S$, adică intersecția medianelor $AM$ și $DO$, deci $S$ este centrul de greutate al triunghiului $ACD$. Rezultă:
    $$\frac{MS}{MA}=\frac{1}{3}$$ (1p)

  În triunghiul $AMC$, avem rapoartele:
  $$\frac{MP}{MC}=\frac{MS}{MA}=\frac{1}{3}$$
  Conform reciprocei teoremei lui Thales (sau asemănării $△MSP\sim △MAC$ datorită unghiului comun $\sphericalangle SMP$), segmentele sunt paralele și:
  $$\frac{SP}{AC}=\frac{1}{3}⟹SP=\frac{1}{3}\cdot AC=\frac{1}{3}\cdot 30=10\text{ cm}$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 6)

• a)
  Deoarece $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este cub, fețele opuse sunt pătrate paralele și egale, deci $A{B}^{\prime }\parallel D{C}^{\prime }$.
  Unghiul dintre dreptele $A{B}^{\prime }$ și $B{C}^{\prime }$ este:
  $$\sphericalangle (A{B}^{\prime },B{C}^{\prime })=\sphericalangle (D{C}^{\prime },B{C}^{\prime })=\sphericalangle B{C}^{\prime }D$$ (1p)
  Segmentele $B{C}^{\prime }$, $D{C}^{\prime }$ și $BD$ sunt diagonale ale fețelor cubului:
  $$B{C}^{\prime }=D{C}^{\prime }=BD=10\sqrt{2}\text{ cm}$$
  Prin urmare, triunghiul $B{C}^{\prime }D$ este echilateral, iar măsura fiecărui unghi este de $60^{\circ }$.
  Astfel, $\sphericalangle (A{B}^{\prime },B{C}^{\prime })=60^{\circ }$. (1p)

• b)
  Fie $AC\cap BD=\{O\}$. În pătratul $ABCD$, diagonalele sunt perpendiculare, deci $BD\perp AC$.
  Muchia $C{C}^{\prime }\perp (ABC)$ și $BD\subset (ABC)$, deci $BD\perp C{C}^{\prime }$.
  Cum $BD\perp AC$, $BD\perp C{C}^{\prime }$ și $AC\cap C{C}^{\prime }=\{C\}$, rezultă că:
  $$BD\perp (AC{C}^{\prime })⟹BD\perp (C^{\prime }CO)$$ (1p)
  Construim $CP\perp C^{\prime }O$, cu $P\in C^{\prime }O$.
  Deoarece $CP\subset (C^{\prime }CO)$ și $BD\perp (C^{\prime }CO)$, rezultă că $CP\perp BD$.
  Cum $CP\perp C^{\prime }O$, $CP\perp BD$ și $C^{\prime }O\cap BD=\{O\}$ în planul $(BD{C}^{\prime })$, deducem că:
  $$CP\perp (BD{C}^{\prime })$$ (1p)
  Deci distanța de la punctul $C$ la planul $(BD{C}^{\prime })$ este lungimea segmentului $CP$.

  În triunghiul dreptunghic $C^{\prime }CO$ (dreptunghic în $C$):
  $$C{C}^{\prime }=10\text{ cm}$$
  $O$ este mijlocul diagonalei $AC=10\sqrt{2}\text{ cm}$, deci $CO=\frac{AC}{2}=5\sqrt{2}\text{ cm}$.
  Ipotenuza $C^{\prime }O$ este:
  $$C^{\prime }O=\sqrt{C{C}^{\prime 2}+C{O}^2}=\sqrt{10^2+(5\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{100+50}=\sqrt{150}=5\sqrt{6}\text{ cm}$$
  Înălțimea $CP$ corespunzătoare ipotenuzei este:
  $$CP=\frac{CO\cdot C{C}^{\prime }}{C^{\prime }O}=\frac{5\sqrt{2}\cdot 10}{5\sqrt{6}}=\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{10}{\sqrt{3}}=\frac{10\sqrt{3}}{3}\text{ cm}$$ (1p)

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Rezultatul calculului $15-(3+4)$ este egal cu:

• a) $3$
• b) $8$
• c) $16$
• d) $22$

5p 2. Știind că $\frac{x}{y}=\frac{5}{2}$, $y\ne 0$, rezultatul calculului $2x-5y+10$ este egal cu:

• a) $0$
• b) $7$
• c) $10$
• d) $17$

5p 3. Produsul dintre numărul $3$ și opusul numărului $3$ este egal cu:

• a) $-9$
• b) $-6$
• c) $0$
• d) $1$

5p 4. Numărul care reprezintă $\frac{2}{3}$ din $12$ este egal cu:

• a) $2$
• b) $4$
• c) $8$
• d) $12$

5p 5. Profesorul întreabă care este cel mai mare număr întreg din intervalul $(-2,5)$. Răspunsurile date de elevii Andreea, Marina, David și Vlad sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Andreea	Marina	David	Vlad
$-3$	$-2$	$5$	$4$

Dintre cei patru elevi, cel care a răspuns corect la întrebarea profesorului este:

• a) Andreea
• b) Marina
• c) David
• d) Vlad

5p 6. În diagrama de mai jos sunt prezentate rezultatele obținute la un test la matematică, de către elevii unei clase a VIII-a.

[Figura: Diagramă cu bare verticale reprezentând numărul de elevi corespunzător fiecărei note: Nota 4: 2 elevi, Nota 5: 2 elevi, Nota 6: 6 elevi, Nota 7: 8 elevi, Nota 8: 5 elevi, Nota 9: 4 elevi, Nota 10: 2 elevi]

Afirmația: „Conform informațiilor din diagramă, la acest test, nota 7 a fost obținută de 10 elevi.” este:

• a) adevărată
• b) falsă

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura alăturată sunt reprezentate punctele coliniare $A$, $B$, $C$ și $D$, în această ordine, astfel încât $AB=BC=CD$, iar lungimea segmentului $AC$ este egală cu $10\text{ cm}$. Lungimea segmentului $AD$ este egală cu:

[Figura: Punctele coliniare A, B, C, D în această ordine, cu segmentele AB, BC, CD congruente]

• a) $5\text{ cm}$
• b) $10\text{ cm}$
• c) $15\text{ cm}$
• d) $20\text{ cm}$

5p 2. În figura alăturată sunt reprezentate punctele coliniare $A$, $O$ și $B$, în această ordine. Punctele $M$ și $N$ sunt de aceeași parte a dreptei $AB$, astfel încât măsura unghiului $MOA$ este egală cu $30^{\circ }$ și dreapta $ON$ este perpendiculară pe dreapta $AB$. Măsura unghiului $MON$ este egală cu:

[Figura: Dreapta AB cu punctul O situat între A și B, semidreptele OM și ON de aceeași parte a dreptei AB, cu unghiul AON drept și unghiul MOA de 30 de grade]

• a) $30^{\circ }$
• b) $45^{\circ }$
• c) $60^{\circ }$
• d) $90^{\circ }$

5p 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ cu aria de $15{\text{ cm}}^2$. Punctul $M$ se află pe segmentul $BC$, astfel încât $BC=3\cdot BM$. Aria triunghiului $AMC$ este egală cu:

[Figura: Triunghiul ABC cu punctul M pe segmentul BC]

• a) $5{\text{ cm}}^2$
• b) $7,5{\text{ cm}}^2$
• c) $10{\text{ cm}}^2$
• d) $12,5{\text{ cm}}^2$

5p 4. În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$ cu perimetrul egal cu $40\text{ cm}$. Lungimea segmentului $AC$ este egală cu:

[Figura: Pătratul ABCD cu diagonala AC reprezentată]

• a) $10\text{ cm}$
• b) $10\sqrt{2}\text{ cm}$
• c) $10\sqrt{3}\text{ cm}$
• d) $20\text{ cm}$

5p 5. În figura alăturată, punctele distincte $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$ și $H$ sunt reprezentate pe cercul de centru $O$, astfel încât arcele mici $AB$, $BC$, $CD$, $DE$, $EF$, $FG$, $GH$ și $HA$ sunt congruente. Măsura arcului mic $BC$ este egală cu:

[Figura: Cercul de centru O cu 8 puncte A, B, C, D, E, F, G, H repartizate uniform pe cerc]

• a) $30^{\circ }$
• b) $45^{\circ }$
• c) $60^{\circ }$
• d) $75^{\circ }$

5p 6. În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=5\text{ cm}$. Lungimea segmentului $B{D}^{\prime }$ este egală cu:

[Figura: Cubul ABCDA'B'C'D' cu diagonala BD' trasată]

• a) $5\text{ cm}$
• b) $5\sqrt{2}\text{ cm}$
• c) $5\sqrt{3}\text{ cm}$
• d) $10\text{ cm}$

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrieți rezolvările complete. (30 de puncte)

5p 1. Maria are $14$ ani și tatăl ei are $40$ de ani.

• (2p) a) Este posibil ca, peste $2$ ani, suma dintre vârsta Mariei și vârsta tatălui ei să fie egală cu $60$ de ani? Justifică răspunsul dat.
• (3p) b) Determină peste câți ani vârsta Mariei va fi jumătate din vârsta tatălui ei.

5p 2. Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{x+2}\right):\frac{x+3}{5(x+1)}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -3$, $x\ne -2$ și $x\ne -1$.

• (2p) a) Arată că $\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{x+2}=\frac{1}{x+1}$, pentru orice număr real $x$, $x\ne -2$ și $x\ne -1$.
• (3p) b) Determină suma soluțiilor ecuației $E(x)=\frac{x-3}{8}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -3$, $x\ne -2$ și $x\ne -1$.

5p 3. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x+5$.

[Figura: Graficul funcției f în sistemul de axe xOy intersectează axele în A și B, iar punctul P(0, -3) se află pe axa Oy sub origine]

• (2p) a) Arată că $f(4)+f(6)=0$.
• (3p) b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele $Ox$ și $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$ în punctele $A$, respectiv $B$. Calculează distanța de la punctul $P(0,-3)$ la dreapta $AB$.

5p 4. În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic $ABCD$ cu $AB\parallel CD$ și $BC=10\text{ cm}$. Semidreapta $BD$ este bisectoarea unghiului $ABC$ și măsura unghiului $ABD$ este egală cu $15^{\circ }$.

[Figura: Trapezul dreptunghic ABCD cu unghiurile A și D drepte, semidreapta BD bisectoarea unghiului B]

• (2p) a) Determină măsura unghiului $BCD$.
• (3p) b) Arată că $AB-AD<14\text{ cm}$.

5p 5. În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=9\sqrt{10}\text{ cm}$ și $AC=30\text{ cm}$. Dreptele $AC$ și $BD$ se intersectează în punctul $O$, iar punctul $M$ este mijlocul segmentului $CD$. Dreptele $BC$ și $AM$ se intersectează în punctul $E$, iar dreptele $OE$ și $CD$ se intersectează în punctul $P$.

[Figura: Dreptunghiul ABCD cu centrul O, mijlocul M al laturii CD, prelungirile laturilor BC și AM care se întâlnesc în E, intersecția P dintre OE și CD, și punctul S de intersecție dintre AM și BD]

• (2p) a) Arată că aria dreptunghiului $ABCD$ este egală cu $270{\text{ cm}}^2$.
• (3p) b) Arată că lungimea segmentului $SP$ este egală cu $10\text{ cm}$, unde $S$ este punctul de intersecție a dreptelor $AM$ și $BD$.

5p 6. În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=10\text{ cm}$.

[Figura: Cubul ABCDA'B'C'D' cu segmentele AB' și BC', respectiv triunghiul BDC' pus în evidență]

• (2p) a) Arată că măsura unghiului dreptelor $A{B}^{\prime }$ și $B{C}^{\prime }$ este egală cu $60^{\circ }$.
• (3p) b) Calculează distanța de la punctul $C$ la planul $(BD{C}^{\prime })$.