Evaluare Națională 2024, matematică: model oficial

Subiectul I, 1)

Răspuns corect: b)

Rezolvare pas cu pas:
Se efectuează mai întâi operația de înmulțire, apoi cea de adunare:
$$3+2\cdot 5=3+10=13$$

---

Subiectul I, 2)

Răspuns corect: c)

Rezolvare pas cu pas:
Din proporția $\frac{x}{2}=\frac{3}{4}$, înmulțim ambii membri cu $4$ sau folosim produsul mezilor egal cu produsul extremilor:
$$4\cdot x=2\cdot 3=6$$

---

Subiectul I, 3)

Răspuns corect: b)

Rezolvare pas cu pas:
Rezolvăm ecuația de gradul I:
$$2-x=2⟹-x=2-2⟹-x=0⟹x=0$$

---

Subiectul I, 4)

Răspuns corect: d)

Rezolvare pas cu pas:
Toate fracțiile au același numărător ($1$). Dintre mai multe fracții cu același numărător pozitiv, cea mai mică este fracția care are numitorul cel mai mare.
Deoarece $9999>999>99>9$, cel mai mic element este:
$$\frac{1}{9999}$$

---

Subiectul I, 5)

Răspuns corect: a)

Rezolvare pas cu pas:
Calculăm produsul celor două numere:
$$a\cdot b=\sqrt{5}\cdot \sqrt{20}=\sqrt{5\cdot 20}=\sqrt{100}=10$$
Rezultatul $10$ a fost obținut de către Andra.

---

Subiectul I, 6)

Răspuns corect: b)

Rezolvare pas cu pas:
Numerele întregi din intervalul închis $[-3,2]$ sunt:
$$-3,-2,-1,0,1,2$$
Numărul elementelor întregi este $2-(-3)+1=6$.
Alina afirmă că sunt $7$ numere întregi, prin urmare afirmația Alinei este falsă.

---

Subiectul al II-lea, 1)

Răspuns corect: a)

Rezolvare pas cu pas:
Deoarece punctele $A,B,C,D$ sunt coliniare în această ordine și $AB=BC=CD=10\text{ cm}$, avem:
$$AD=AB+BC+CD=10\text{ cm}+10\text{ cm}+10\text{ cm}=30\text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 2)

Răspuns corect: d)

Rezolvare pas cu pas:
$OM$ este bisectoarea unghiului $AOB$, deci:
$$\sphericalangle AOM=\frac{\sphericalangle AOB}{2}=\frac{50^{\circ }}{2}=25^{\circ }$$
Punctele $A,O,D$ sunt coliniare în această ordine, prin urmare unghiul $AOD$ este un unghi alungit, adică $\sphericalangle AOD=180^{\circ }$.
Unghiul $\sphericalangle DOM$ este suplementar cu $\sphericalangle AOM$:
$$\sphericalangle DOM=180^{\circ }-\sphericalangle AOM=180^{\circ }-25^{\circ }=155^{\circ }$$

---

Subiectul al II-lea, 3)

Răspuns corect: b)

Rezolvare pas cu pas:
În triunghiul isoscel $ABC$, cu $AB=AC$, unghiurile de la bază sunt congruente:
$$\sphericalangle ABC=\sphericalangle ACB=\frac{180^{\circ }-\sphericalangle BAC}{2}=\frac{180^{\circ }-50^{\circ }}{2}=\frac{130^{\circ }}{2}=65^{\circ }$$
În triunghiul $BDC$, știm că $BD=BC$, deci triunghiul este isoscel cu baza $CD$. Unghiurile de la baza $CD$ sunt congruente:
$$\sphericalangle BDC=\sphericalangle BCD=\sphericalangle ACB=65^{\circ }$$

---

Subiectul al II-lea, 4)

Răspuns corect: c)

Rezolvare pas cu pas:
Într-un paralelogram laturile opuse sunt egale: $CD=AB=10\text{ cm}$ și $AD=BC=6\text{ cm}$.
Perimetrul paralelogramului $ABCD$ este:
$$P_{ABCD}=2(AB+BC)=2(10+6)=2\cdot 16=32\text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 5)

Răspuns corect: b)

Rezolvare pas cu pas:
Punctele $A$ și $B$ aparțin cercului, deci $OA=OB=R$.
Triunghiul $OAB$ este isoscel cu un unghi de $60^{\circ }$ ($
\sphericalangle AOB = 60^\circ$), deci este triunghi echilateral.
Rezultă că raza cercului este $R=AB=10\text{ cm}$.
Lungimea cercului este dată de formula:
$$L=2\pi R=2\pi \cdot 10=20\pi \text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 6)

Răspuns corect: c)

Rezolvare pas cu pas:
Secțiunea axială $VAB$ este un triunghi dreptunghic în $V$, iar $VA=VB$ (generatoarele conului sunt egale), deci este un triunghi dreptunghic isoscel.
Înălțimea conului $VO$ este și înălțimea corespunzătoare ipotenuzei $AB$ în triunghiul dreptunghic isoscel $VAB$.
Într-un triunghi dreptunghic isoscel, înălțimea din vârful unghiului drept este egală cu jumătate din ipotenuză, adică cu raza bazei:
$$R=OA=VO=2\sqrt{2}\text{ cm}$$
Aria bazei conului este:
$$A_{\text{baza˘}}=\pi R^2=\pi (2\sqrt{2}{)}^2=\pi \cdot 8=8\pi {\text{ cm}}^2$$

---

Subiectul al III-lea, 1)

a) Fie $x$ întreaga sumă de bani.

• În prima zi, Mihai cheltuiește $20\%\cdot x=\frac{20}{100}x=\frac{1}{5}x$.
• Suma rămasă după prima zi este $x-\frac{20}{100}x=\frac{80}{100}x$.
• În a doua zi, el cheltuiește $30\%$ din suma rămasă:
  $$\frac{30}{100}\cdot \frac{80}{100}x=\frac{24}{100}x=\frac{6}{25}x$$
  (1p conform baremului)

Un sfert din întreaga sumă înseamnă:
$$\frac{1}{4}x=\frac{25}{100}x$$
Deoarece $\frac{24}{100}x<\frac{25}{100}x$, obținem că Mihai nu a cheltuit în a doua zi un sfert din întreaga sumă de bani.
(1p conform baremului)

b) Scriem sumele cheltuite în fiecare zi în funcție de $x$:

• Ziua I: $\frac{x}{5}$
• Ziua II: $\frac{6x}{25}$
• Ziua III: $\frac{6x}{25}+20$
• Ziua IV: $44$

Suma cheltuită în cele patru zile este egală cu $x$:
$$\frac{x}{5}+\frac{6x}{25}+\left(\frac{6x}{25}+20\right)+44=x$$
(1p conform baremului)

Aducem la același numitor termenii cu $x$:
$$\frac{5x+6x+6x}{25}+64=x⟹\frac{17x}{25}+64=x$$
$$x-\frac{17x}{25}=64⟹\frac{8x}{25}=64$$
(1p conform baremului)

$$8x=64\cdot 25⟹x=8\cdot 25=200\text{ lei}$$
Suma totală cheltuită de Mihai este de $200$ de lei.
(1p conform baremului)

---

Subiectul al III-lea, 2)

a) Descompunem numitorii în factori:
$$9+3x=3(x+3)$$
$$x^2+3x=x(x+3)$$
Numitorul comun este $3x(x+3)$. Amplificăm prima fracție cu $x$, a doua fracție cu $3x$, iar a treia fracție cu $3$:
$$\frac{x}{9+3x}-\frac{2}{x+3}+\frac{3}{x^2+3x}=\frac{x\cdot x-2\cdot 3x+3\cdot 3}{3x(x+3)}=\frac{x^2-6x+9}{3x(x+3)}$$
(1p conform baremului)

Folosind formula restrângerii pătratului unei diferențe, $x^2-6x+9=(x-3{)}^2$:
$$=\frac{(x-3{)}^2}{3x(x+3)},\text{pentru orice numa˘r real }x\ne -3\text{ și }x\ne 0$$
(1p conform baremului)

b) Calculăm a doua paranteză din expresie:
$$\frac{x}{3}+\frac{3}{x}-2=\frac{x^2+9-6x}{3x}=\frac{(x-3{)}^2}{3x}$$
(1p conform baremului)

Expresia devine:
$$E(x)=\frac{(x-3{)}^2}{3x(x+3)}:\frac{(x-3{)}^2}{3x}=\frac{(x-3{)}^2}{3x(x+3)}\cdot \frac{3x}{(x-3{)}^2}=\frac{1}{x+3}$$
(1p conform baremului)

Pentru un număr natural $n$ (cu $n\ne 3$), avem:
$$5\cdot E(n)=\frac{5}{n+3}$$
Pentru ca $\frac{5}{n+3}\in \mathbb{N}$, trebuie ca numitorul $n+3$ să fie divizor natural al lui $5$.
Divizorii naturali ai lui $5$ sunt $1$ și $5$:

• $n+3=1⟹n=-2\notin \mathbb{N}$
• $n+3=5⟹n=2\in \mathbb{N}$ (și $2\ne 3$, deci $E(2)$ este definit)

Obținem $n=2$.
(1p conform baremului)

---

Subiectul al III-lea, 3)

a) Calculăm $f(-2)$:
$$f(-2)=-2+2=0$$
(1p conform baremului)

Atunci:
$$2023\cdot f(-2)=2023\cdot 0=0$$
(1p conform baremului)

b) Aflăm intersecțiile graficului cu axele:

• $G_f\cap Ox$: $f(x)=0⟹x+2=0⟹x=-2⟹A(-2,0)$
• $G_f\cap Oy$: $x=0⟹f(0)=2⟹B(0,2)$
  (1p conform baremului)

Determinăm coordonatele punctului $M$, mijlocul segmentului $AB$:
$$x_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-2+0}{2}=-1,y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{0+2}{2}=1⟹M(-1,1)$$
Triunghiul $AOB$ este dreptunghic isoscel cu $OA=OB=2$, iar $OM$ este mediană și bisectoare a unghiului $\sphericalangle AOB$, deci $\sphericalangle MOB=45^{\circ }$ (iar panta dreptei $OM$ este $\frac{1-0}{-1-0}=-1$).
(1p conform baremului)

Punctul $N$ are coordonatele $(3,-3)$. Fie $P(3,0)$ proiecția lui $N$ pe axa $Ox$. Triunghiul $OPN$ este dreptunghic isoscel cu catetele $OP=3$ și $PN=3$, de unde $\sphericalangle PON=45^{\circ }$.
Unghiul $\sphericalangle MON=\sphericalangle MOB+\sphericalangle BOP+\sphericalangle PON=45^{\circ }+90^{\circ }+45^{\circ }=180^{\circ }$, de unde rezultă că punctele $N$, $O$ și $M$ sunt coliniare.
(Alternativ, panta dreptei $OM$ este $m_{OM}=\frac{1}{-1}=-1$, iar panta dreptei $ON$ este $m_{ON}=\frac{-3}{3}=-1$, deci $O,M,N$ sunt coliniare).
(1p conform baremului)

---

Subiectul al III-lea, 4)

a) Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $B$. Conform teoremei lui Pitagora:
$$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=12^2+9^2=144+81=225$$
(1p conform baremului)

$$AC=\sqrt{225}=15\text{ cm}$$
(1p conform baremului)

b) Deoarece $QN\parallel AB\parallel CD$ și $PM\parallel BC\parallel AD$, iar unghiurile dreptunghiului au măsura de $90^{\circ }$, patrulaterele $AMEQ$ și $CNEP$ au toate unghiurile drepte, deci sunt dreptunghiuri.
(1p conform baremului)

Punctul $E$ se află pe diagonala $AC$, deci $EC=AC-AE=15-10=5\text{ cm}$.
În triunghiul $ABC$, avem $EM\parallel BC$, deci $△AEM\sim △ACB$:
$$\frac{AM}{AB}=\frac{ME}{BC}=\frac{AE}{AC}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$$
De aici:
$$AM=\frac{2}{3}\cdot 12=8\text{ cm},ME=\frac{2}{3}\cdot 9=6\text{ cm}$$
Laturile dreptunghiului $CNEP$ sunt:
$$PC=CD-DP=AB-AM=12-8=4\text{ cm}$$
$$PE=MQ=AD-ME=BC-ME=9-6=3\text{ cm}$$
(1p conform baremului)

Calculăm ariile celor două dreptunghiuri:
$${\mathcal{A}}_{AMEQ}=AM\cdot ME=8\cdot 6=48{\text{ cm}}^2$$
$${\mathcal{A}}_{CNEP}=PC\cdot PE=4\cdot 3=12{\text{ cm}}^2$$
Deoarece $\frac{{\mathcal{A}}_{AMEQ}}{{\mathcal{A}}_{CNEP}}=\frac{48}{12}=4$, rezultă că aria patrulaterului $AMEQ$ este de patru ori mai mare decât aria patrulaterului $CNEP$.
(1p conform baremului)

---

Subiectul al III-lea, 5)

a) În triunghiul dreptunghic $ABC$, aplicăm teorema lui Pitagora:
$$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=(2\sqrt{2}{)}^2+(2\sqrt{6}{)}^2=8+24=32$$
$$AC=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\text{ cm}$$
(1p conform baremului)

Perimetrul triunghiului $ABC$ este:
$$P_{△ABC}=AB+BC+AC=2\sqrt{2}+2\sqrt{6}+4\sqrt{2}=6\sqrt{2}+2\sqrt{6}=2\sqrt{2}(3+\sqrt{3})\text{ cm}$$
(1p conform baremului)

b) În triunghiul dreptunghic isoscel $AEB$ (cu $\sphericalangle AEB=90^{\circ }$ și $AE=EB$), fie $M$ mijlocul ipotenuzei $AB$.
Atunci $EM\perp AB$ și $EM=\frac{AB}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\text{ cm}$.
Cum $AE=EB$, semidreapta $BE$ este bisectoarea unghiului drept $\sphericalangle ABC$, deci $\sphericalangle EBA=45^{\circ }$.
Dacă ducem $EN\perp BC$, $N\in BC$, patrulaterul $BMEN$ are toate unghiurile drepte și $EM=BM=\sqrt{2}\text{ cm}$, deci $BMEN$ este pătrat cu latura $\sqrt{2}\text{ cm}$.
Rezultă $EN=\sqrt{2}\text{ cm}$.
(1p conform baremului)

Aria triunghiului $AEC$ se poate calcula prin scădere din aria triunghiului $ABC$:
$${\mathcal{A}}_{△ABC}=\frac{AB\cdot BC}{2}=\frac{2\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{6}}{2}=2\sqrt{12}=4\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$$
$${\mathcal{A}}_{△AEB}=\frac{AB\cdot EM}{2}=\frac{2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{2}=2{\text{ cm}}^2$$
$${\mathcal{A}}_{△BEC}=\frac{BC\cdot EN}{2}=\frac{2\sqrt{6}\cdot \sqrt{2}}{2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$$
$${\mathcal{A}}_{△AEC}={\mathcal{A}}_{△ABC}-{\mathcal{A}}_{△AEB}-{\mathcal{A}}_{△BEC}=4\sqrt{3}-2-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}-2=2(\sqrt{3}-1){\text{ cm}}^2$$
(1p conform baremului)

Fie $EP\perp AC$, cu $P\in AC$, adică $EP=d(E,AC)$.
Aria triunghiului $AEC$ este de asemenea:
$${\mathcal{A}}_{△AEC}=\frac{AC\cdot EP}{2}⟹2(\sqrt{3}-1)=\frac{4\sqrt{2}\cdot EP}{2}=2\sqrt{2}\cdot EP$$
$$EP=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\text{ cm}$$
(1p conform baremului)

---

Subiectul al III-lea, 6)

a) Paralelipipedul dreptunghic are dimensiunile $a=AB=4\text{ cm}$, $b=BC=2\text{ cm}$ și $c=A{A}^{\prime }=4\text{ cm}$.
Aria totală este:
$${\mathcal{A}}_t=2(AB\cdot A{A}^{\prime }+BC\cdot A{A}^{\prime }+AB\cdot BC)=2(4\cdot 4+2\cdot 4+4\cdot 2)=2(16+8+8)$$
(1p conform baremului)

$${\mathcal{A}}_t=2\cdot 32=64{\text{ cm}}^2$$
(1p conform baremului)

b) Triunghiurile dreptunghice $B^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ și $B^{\prime }{C}^{\prime }C$ sunt congruente:

• Au cateta comună $B^{\prime }{C}^{\prime }=BC=2\text{ cm}$.
• Catetele $C^{\prime }{D}^{\prime }=AB=4\text{ cm}$ și $C^{\prime }C=A{A}^{\prime }=4\text{ cm}$ sunt egale.
  Rezultă $△B^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }\equiv △B^{\prime }{C}^{\prime }C$, deci ipotenuzele sunt congruente: $B^{\prime }{D}^{\prime }=B^{\prime }C=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\text{ cm}$.
  (1p conform baremului)

În triunghiul dreptunghic $B^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (cu $\sphericalangle B^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }=90^{\circ }$), $C^{\prime }N\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$. Din teorema catetei:
$$B^{\prime }{C}^{\prime 2}=B^{\prime }N\cdot B^{\prime }{D}^{\prime }⟹B^{\prime }N=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime 2}}{B^{\prime }{D}^{\prime }}$$
În triunghiul dreptunghic $B^{\prime }{C}^{\prime }C$ (cu $\sphericalangle B^{\prime }{C}^{\prime }C=90^{\circ }$), $C^{\prime }P\perp C{B}^{\prime }$. Din teorema catetei:
$$B^{\prime }{C}^{\prime 2}=B^{\prime }P\cdot B^{\prime }C⟹B^{\prime }P=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime 2}}{B^{\prime }C}$$
Cum $B^{\prime }{D}^{\prime }=B^{\prime }C$, rezultă că $B^{\prime }N=B^{\prime }P$.
(1p conform baremului)

În triunghiul $B^{\prime }{D}^{\prime }C$, avem raportul egal:
$$\frac{B^{\prime }N}{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{B^{\prime }P}{B^{\prime }C}$$
Conform reciprocei teoremei lui Thales, rezultă că $NP\parallel D^{\prime }C$.
Deoarece $D^{\prime }C\subset (AC{D}^{\prime })$ și dreapta $NP$ nu este inclusă în planul $(AC{D}^{\prime })$, deducem că:
$$NP\parallel (AC{D}^{\prime })$$
(1p conform baremului)

EVALUAREA NAȚIONALĂ PENTRU ABSOLVENȚII CLASEI a VIII-a

Anul școlar 2023 – 2024
Matematică
Model

• Toate subiectele sunt obligatorii.
• Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de două ore.

---

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Rezultatul calculului $3+2\cdot 5$ este egal cu:
a) $25$
b) $13$
c) $10$
d) $1$

5p 2. Dacă $\frac{x}{2}=\frac{3}{4}$, atunci $4\cdot x$ este egal cu:
a) $\frac{3}{2}$
b) $\frac{8}{3}$
c) $6$
d) $12$

5p 3. Soluția ecuației $2-x=2$ este numărul:
a) $-4$
b) $0$
c) $2$
d) $4$

5p 4. Cel mai mic element al mulțimii $A=\left\{\frac{1}{9},\frac{1}{99},\frac{1}{999},\frac{1}{9999}\right\}$ este:
a) $\frac{1}{9}$
b) $\frac{1}{99}$
c) $\frac{1}{999}$
d) $\frac{1}{9999}$

5p 5. Patru elevi, Andra, Marius, Ioana și David, au calculat produsul numerelor $a=\sqrt{5}$ și $b=\sqrt{20}$. Rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Andra	Marius	Ioana	David
$10$	$5$	$2\sqrt{5}$	$\sqrt{10}$

Rezultatul corect a fost obținut de către:
a) Andra
b) Marius
c) Ioana
d) David

5p 6. Alina afirmă că: „În intervalul de numere reale $[-3,2]$ sunt $7$ numere întregi.” Afirmația Alinei este:
a) adevărată
b) falsă

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura alăturată sunt reprezentate punctele coliniare $A$, $B$, $C$ și $D$, în această ordine, astfel încât $AB=BC=CD$, iar lungimea segmentului $CD$ este egală cu $10\text{ cm}$. Lungimea segmentului $AD$ este egală cu:
a) $30\text{ cm}$
b) $20\text{ cm}$
c) $15\text{ cm}$
d) $10\text{ cm}$

[Figura: Segmentul AD conține punctele coliniare A, B, C, D în ordine, cu trei segmente egale AB, BC, CD]

5p 2. În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile opuse la vârf $AOB$ și $COD$, cu punctele $A$, $O$ și $D$ coliniare. Măsura unghiului $AOB$ este egală cu $50^{\circ }$ și $OM$ este bisectoarea unghiului $AOB$. Măsura unghiului $DOM$ este egală cu:
a) $25^{\circ }$
b) $50^{\circ }$
c) $130^{\circ }$
d) $155^{\circ }$

[Figura: Două drepte concurente în O determină unghiurile opuse la vârf AOB și COD, cu A, O, D coliniare; semidreapta OM este bisectoarea unghiului AOB]

5p 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel $ABC$ cu $AB=AC$ și $\sphericalangle BAC=50^{\circ }$. Punctul $D$ aparține segmentului $AC$, astfel încât $BD=BC$. Măsura unghiului $BDC$ este egală cu:
a) $50^{\circ }$
b) $65^{\circ }$
c) $115^{\circ }$
d) $130^{\circ }$

[Figura: Triunghi isoscel ABC cu AB = AC, punctul D pe segmentul AC, segmentul BD trasat astfel încât BD = BC]

5p 4. În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ cu $AB=10\text{ cm}$ și $BC=6\text{ cm}$. Perimetrul paralelogramului $ABCD$ este egal cu:
a) $16\text{ cm}$
b) $24\text{ cm}$
c) $32\text{ cm}$
d) $40\text{ cm}$

[Figura: Paralelogramul ABCD]

5p 5. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$. Punctele $A$ și $B$ aparțin cercului, astfel încât măsura unghiului $AOB$ este de $60^{\circ }$ și $AB=10\text{ cm}$. Lungimea cercului este egală cu:
a) $10\pi \text{ cm}$
b) $20\pi \text{ cm}$
c) $100\pi \text{ cm}$
d) $200\pi \text{ cm}$

[Figura: Cerc de centru O cu raza OA, OB și coarda AB, formând unghiul la centru AOB de 60 de grade]

5p 6. În figura alăturată este reprezentat un con circular drept cu secțiunea axială triunghiul dreptunghic $VAB$. Înălțimea conului are lungimea egală cu $2\sqrt{2}\text{ cm}$. Aria bazei conului este egală cu:
a) $8{\text{ cm}}^2$
b) $16{\text{ cm}}^2$
c) $8\pi {\text{ cm}}^2$
d) $16\pi {\text{ cm}}^2$

[Figura: Con circular drept cu vârful V, baza de diametru AB și centru O, secțiunea axială VAB fiind triunghi dreptunghic isoscel]

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrieți rezolvările complete. (30 de puncte)

1. Mihai a cheltuit o sumă de bani în patru zile. În prima zi a cheltuit $20\%$ din întreaga sumă, în a doua zi $30\%$ din suma rămasă, în a treia zi cu $20$ de lei mai mult decât a doua zi, iar în a patra zi a cheltuit ultimii $44$ de lei.

(2p) a) Verifică dacă Mihai a cheltuit în a doua zi un sfert din întreaga sumă de bani. Justifică răspunsul dat.
(3p) b) Determină suma de bani cheltuită de Mihai, în total, în cele patru zile.

2. Se consideră expresia
$$E(x)=\left(\frac{x}{9+3x}-\frac{2}{x+3}+\frac{3}{x^2+3x}\right):\left(\frac{x}{3}+\frac{3}{x}-2\right),$$
unde $x$ este un număr real, $x\ne -3$, $x\ne 0$ și $x\ne 3$.

(2p) a) Arată că
$$\frac{x}{9+3x}-\frac{2}{x+3}+\frac{3}{x^2+3x}=\frac{(x-3{)}^2}{3x(x+3)},$$
pentru orice număr real $x$, $x\ne -3$ și $x\ne 0$.
(3p) b) Determină numărul natural $n$ pentru care $5\cdot E(n)$ este număr natural.

3. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+2$.

(2p) a) Arată că $2023\cdot f(-2)=0$.
(3p) b) Punctele $A$ și $B$ sunt punctele de intersecție a reprezentării geometrice a graficului funcției $f$ cu axele $Ox$, respectiv $Oy$, ale sistemului de axe ortogonale $xOy$, iar punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$. Arată că punctele $N$, $O$ și $M$ sunt coliniare, unde $N(3,-3)$.

[Figura: Graficul funcției f(x) = x + 2 intersectând axele de coordonate și punctul N în cadranul IV]

4. În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=12\text{ cm}$ și $BC=9\text{ cm}$. Punctul $E$ aparține segmentului $AC$, astfel încât $AE=10\text{ cm}$. Prin $E$ se duc dreptele $QN$ și $PM$ paralele cu dreptele $AB$, respectiv $BC$. Punctele $M$, $N$, $P$ și $Q$ aparțin segmentelor $AB$, $BC$, $CD$ și respectiv $AD$.

(2p) a) Arată că $AC=15\text{ cm}$.
(3p) b) Arată că aria patrulaterului $AMEQ$ este de patru ori mai mare decât aria patrulaterului $CNEP$.

[Figura: Dreptunghiul ABCD cu diagonala AC, punctul E pe AC; dreptele paralele cu laturile formează dreptunghiurile interioare AMEQ, CNEP etc.]

5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, dreptunghic în $B$, cu $AB=2\sqrt{2}\text{ cm}$, $BC=2\sqrt{6}\text{ cm}$ și triunghiul dreptunghic isoscel $AEB$ cu $AE=EB$. Punctele $E$ și $C$ sunt de aceeași parte a dreptei $AB$.

(2p) a) Arată că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $2\sqrt{2}\left(3+\sqrt{3}\right)\text{ cm}$.
(3p) b) Calculează distanța de la punctul $E$ la dreapta $AC$.

[Figura: Triunghiul dreptunghic ABC cu unghiul drept în B; triunghiul AEB dreptunghic isoscel situat în interiorul triunghiului ABC]

6. În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=A{A}^{\prime }=4\text{ cm}$ și $BC=2\text{ cm}$.

(2p) a) Arată că aria totală a paralelipipedului dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este egală cu $64{\text{ cm}}^2$.
(3p) b) Arată că dreapta $NP$ este paralelă cu planul $(AC{D}^{\prime })$, unde punctul $N$ este proiecția punctului $C^{\prime }$ pe dreapta $B^{\prime }{D}^{\prime }$ și punctul $P$ este proiecția punctului $C^{\prime }$ pe dreapta $C{B}^{\prime }$.

[Figura: Paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' cu diagonalele menționate și planul (ACD')]