Evaluare Națională 2025, matematică: subiect de rezervă

REZOLVARE COMPLETĂ ȘI DETALIATĂ

---

SUBIECTUL I

Subiectul I, 1)

• Răspuns corect: d)
• Explicație: Numerele întregi de două cifre sunt de la $-99$ până la $99$. Cel mai mare dintre acestea este $99$.

Subiectul I, 2)

• Răspuns corect: c)
• Explicație: Din egalitatea de rapoarte $\frac{x-1}{7}=\frac{y}{2}$, prin înmulțire pe diagonală (produsul mezilor egal cu produsul extremilor), obținem:
  $$2(x-1)=7y⟹2x-2=7y⟹2x-7y=2$$

Subiectul I, 3)

• Răspuns corect: d)
• Explicație: Diferența dintre temperatura înregistrată marți și temperatura înregistrată luni este:
  $$2^{\circ }\text{C}-(-4^{\circ }\text{C})=2^{\circ }\text{C}+4^{\circ }\text{C}=6^{\circ }\text{C}$$

Subiectul I, 4)

• Răspuns corect: a)
• Explicație: Toate fracțiile au același numărător pozitiv ($7$). Dintre două fracții pozitive cu același numărător, cea mai mică este cea care are numitorul cel mai mare. Deoarece $5>4>3>2$, avem:
  $$\frac{7}{5}<\frac{7}{4}<\frac{7}{3}<\frac{7}{2}$$
  Deci cel mai mic număr este $\frac{7}{5}$.

Subiectul I, 5)

• Răspuns corect: d)
• Explicație: Folosim formula $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$:
  $$a\cdot b=(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)=(\sqrt{5}{)}^2-2^2=5-4=1$$
  Tudor a obținut rezultatul $1$, deci Tudor a răspuns corect.

Subiectul I, 6)

• Răspuns corect: a)
• Explicație: Analizând valorile din diagramă:
  • Ianuarie: $1500$
  • Februarie: $2000$
  • Martie: $500$
  • Aprilie: $2500$
  • Mai: $1500$
    Cea mai mare valoare este $2500$, înregistrată în luna aprilie. Afirmația este adevărată.

---

SUBIECTUL al II-lea

Subiectul II, 1)

• Răspuns corect: a)
• Explicație:
  • Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$, deci $MB=\frac{AB}{2}=\frac{4}{2}=2\text{ cm}$.
  • Punctul $N$ este mijlocul segmentului $BC$, deci $BN=\frac{BC}{2}=\frac{14}{2}=7\text{ cm}$.
  • Deoarece punctele $A,M,B,N,C$ sunt coliniare în această ordine, segmentul $MN$ este format din $MB+BN=2\text{ cm}+7\text{ cm}=9\text{ cm}$.

Subiectul II, 2)

• Răspuns corect: c)
• Explicație: Unghiurile $AOB$, $BOC$ și $COA$ sunt unghiuri în jurul punctului $O$, iar suma măsurilor lor este $360^{\circ }$. Fiind congruente:
  $$\sphericalangle AOB=\frac{360^{\circ }}{3}=120^{\circ }$$

Subiectul II, 3)

• Răspuns corect: d)
• Explicație:
  • În triunghiul isoscel $ABC$, cu $AC=BC$, unghiurile de la bază sunt congruente: $\sphericalangle CAB=\sphericalangle CBA$.
  • Măsura lor este $\sphericalangle CBA=\frac{180^{\circ }-40^{\circ }}{2}=\frac{140^{\circ }}{2}=70^{\circ }$.
  • Punctele $A,B,D$ fiind coliniare, unghiul $\sphericalangle CBD$ este suplementar cu $\sphericalangle CBA$:
    $$\sphericalangle CBD=180^{\circ }-\sphericalangle CBA=180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$$

Subiectul II, 4)

• Răspuns corect: d)
• Explicație:
  • În triunghiul dreptunghic isoscel $ADB$ (cu $\sphericalangle ADB=90^{\circ }$ și $AD=BD=4\sqrt{2}\text{ cm}$), ipotenuza este:
    $$AB=\sqrt{A{D}^2+B{D}^2}=\sqrt{(4\sqrt{2}{)}^2+(4\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{32+32}=\sqrt{64}=8\text{ cm}$$
  • Într-un paralelogram laturile opuse sunt congruente, deci $CD=AB=8\text{ cm}$.

Subiectul II, 5)

• Răspuns corect: c)
• Explicație:
  • Raza cercului circumscris unui triunghi echilateral de latură $l$ este dată de formula $R=\frac{l\sqrt{3}}{3}$.
  • Avem $10=\frac{l\sqrt{3}}{3}⟹l\sqrt{3}=30⟹l=\frac{30}{\sqrt{3}}=10\sqrt{3}\text{ cm}$.

Subiectul II, 6)

• Răspuns corect: b)
• Explicație:
  • Volumul sferei de rază $R$ este $V=\frac{4}{3}\pi R^3$.
  • Pentru $R=3\text{ cm}$:
    $$V=\frac{4}{3}\pi \cdot 3^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 27=36\pi {\text{ cm}}^3$$

---

SUBIECTUL al III-lea

Subiectul III, 1)

a)

• Fie $x$ suma de bani pe care o are Alin și $y$ suma de bani pe care o are Maria ($x,y\in \mathbb{N}$).
• Dacă Alin cheltuiește $10$ lei, îi rămân $x-10$ lei, iar această sumă este de două ori mai mică decât suma Mariei, adică:
  $$y=2(x-10)$$ (1p)
• Dacă suma totală ar fi $S=140$ lei, atunci:
  $$x+y=140⟹x+2(x-10)=140⟹3x-20=140⟹3x=160⟹x=\frac{160}{3}$$
• Cum $\frac{160}{3}\notin \mathbb{N}$, obținem o contradicție cu ipoteza că sumele sunt exprimate prin numere naturale. Așadar, nu este posibil ca suma $S$ să fie egală cu $140$ de lei. (1p)

b)

• Dacă Maria îi dă $15$ lei lui Alin, Maria va avea $y-15$ lei, iar Alin va avea $x+15$ lei.
• Din enunț, sumele devin egale: $x+15=y-15⟹y-x=30$. (1p)
• Folosind relația din prima condiție, $y=2x-20$:
  $$(2x-20)-x=30⟹x-20=30⟹x=50\text{ lei}$$
  Atunci $y=50+30=80\text{ lei}$. (1p)
• Suma totală este:
  $$S=x+y=50+80=130\text{ lei}$$ (1p)

---

Subiectul III, 2)

a)

• Descompunem numitorul primei fracții: $x^2-4=(x-2)(x+2)$.
• Aducem fracțiile la numitor comun, amplificând a doua fracție cu $x-2$:
  $$\frac{1}{x^2-4}+\frac{1}{x+2}=\frac{1}{(x-2)(x+2)}+\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}$$ (1p)
  $$=\frac{1+x-2}{(x+2)(x-2)}=\frac{x-1}{(x+2)(x-2)}$$, pentru orice $x\in \mathbb{R}\setminus \{-2,2\}$. (1p)

b)

• Descompunem numitorul $x^3-4x=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)$.
• Expresia $E(x)$ devine:
  $$E(x)=\frac{x-1}{(x-2)(x+2)}:\frac{1}{x(x-2)(x+2)}=\frac{x-1}{(x-2)(x+2)}\cdot x(x-2)(x+2)=x(x-1)$$ (1p)
• Calculăm:
  $$E(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1-1)=(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-2)=2-2\sqrt{2}-\sqrt{2}+2=4-3\sqrt{2}$$ (1p)
  $$E(\sqrt{2}+1)=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1-1)=(\sqrt{2}+1)\sqrt{2}=2+\sqrt{2}$$
• Numărul $N$ este:
  $$N=E(\sqrt{2}-1)+3\cdot E(\sqrt{2}+1)=(4-3\sqrt{2})+3(2+\sqrt{2})=4-3\sqrt{2}+6+3\sqrt{2}=10$$
  Deoarece $10\in \mathbb{N}$, numărul $N$ este natural. (1p)

---

Subiectul III, 3)

a)

• Calculăm valorile funcției:
  $$f(1)=2-1=1$$ (1p)
  $$f(0)=2-0=2$$
• Obținem:
  $$f(1)\cdot f(0)=1\cdot 2=2$$ (1p)

b)

• Punctul $A$ este intersecția cu axa $Ox$: $f(x)=0⟹2-x=0⟹x=2$, deci $A(2,0)$.
• Punctul $B$ este intersecția cu axa $Oy$: $x=0⟹f(0)=2$, deci $B(0,2)$. (1p)
• În sistemul de axe $xOy$:
  • $OA=2$ și $OB=2$, triunghiul $△AOB$ este dreptunghic isoscel în $O$.
  • Deci $\sphericalangle OBA=45^{\circ }$ și $\sphericalangle OAB=45^{\circ }$. (1p)
• Punctul $C$ are coordonatele $(0,-4)$, situat pe axa $Oy$.
  • Lungimea segmentului $BC$ este $y_B-y_C=2-(-4)=6$.
  • Fie $T\in AB$ astfel încât $CT\perp AB$. Distanța căutată este lungimea segmentului $CT$.
  • Unghiul $\sphericalangle CBT$ este opun la vârf cu $\sphericalangle OBA$ dacă privim dreptele, sau mai direct: punctele $C,O,B$ sunt coliniare (pe axa $Oy$), deci $\sphericalangle CBT=\sphericalangle ABO=45^{\circ }$.
  • În triunghiul dreptunghic $△BTC$ (cu $\sphericalangle BTC=90^{\circ }$ și $\sphericalangle CBT=45^{\circ }$), triunghiul este dreptunghic isoscel, cu ipotenuza $BC=6$.
  • Rezultă $CT=\frac{BC}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\text{ cm}$.
  • Deci $d(C,AB)=3\sqrt{2}$. (1p)

---

Subiectul III, 4)

a)

• Triunghiul $ABC$ este echilateral cu latura $AB=6\text{ cm}$.
• Înălțimea (și mediana) corespunzătoare laturii $BC$ are lungimea $h=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\text{ cm}$.
• Centrul de greutate $G$ se află pe mediană la $\frac{2}{3}$ de vârf: $AG=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot 3\sqrt{3}=2\sqrt{3}\text{ cm}$.
• Punctul $M$ este simetricul lui $A$ față de $G$, deci $G$ este mijlocul segmentului $AM$, de unde $AG=GM$, adică $AM=2AG=4\sqrt{3}\text{ cm}$. (1p)
• Centrul de greutate al unui triunghi echilateral coincide cu centrul cercului circumscris, deci $CG=AG=2\sqrt{3}\text{ cm}$.
• În triunghiul $ACM$, segmentul $CG$ este mediană corespunzătoare laturii $AM$, iar lungimea sa este:
  $$CG=2\sqrt{3}=\frac{AM}{2}$$
• Conform reciprocei teoremei medianei, triunghiul $ACM$ este dreptunghic în $C$, deci $\sphericalangle ACM=90^{\circ }$. (1p)

b)

• În triunghiul dreptunghic $ACM$ ($\sphericalangle ACM=90^{\circ }$):
  • $AC=6\text{ cm}$ și $AM=4\sqrt{3}\text{ cm}$.
  • Prin teorema lui Pitagora, $CM=\sqrt{A{M}^2-A{C}^2}=\sqrt{(4\sqrt{3}{)}^2-6^2}=\sqrt{48-36}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\text{ cm}$.
  • Observăm că $CM=\frac{AM}{2}$, deci unghiul opus catetei $CM$ are măsura de $30^{\circ }$, adică $\sphericalangle CAM=30^{\circ }$. Rezultă $\sphericalangle AMC=60^{\circ }$.
• $MT$ este bisectoarea unghiului $\sphericalangle AMC$, deci $\sphericalangle CMT=\sphericalangle TMA=30^{\circ }$.
• În triunghiul $TMC$, avem $\sphericalangle MTC=180^{\circ }-90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$.
• Deoarece $\sphericalangle BAC=60^{\circ }$ și $\sphericalangle MTC=60^{\circ }$, unghiurile corespondente sunt egale, deci $TM\parallel AB$.
• Cum $\sphericalangle ABM=90^{\circ }$ (prin simetrie, triunghiul $ABM$ este congruent cu triunghiul $ACM$ și este dreptunghic în $B$), patrulaterul $ABMT$ este un trapez dreptunghic (cu bazele $AB\parallel TM$ și latura perpendiculară $BM$). (1p)
• În triunghiul dreptunghic $TCM$ (cu $\sphericalangle C=90^{\circ }$ și $\sphericalangle CMT=30^{\circ }$):
  $$TC=CM\cdot \mathrm{tg}(30^{\circ })=2\sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=2\text{ cm}$$
  Atunci $TM=2\cdot TC=4\text{ cm}$ (sau prin Pitagora).
  Segmentul $BM=CM=2\sqrt{3}\text{ cm}$. (1p)
• Aria trapezului dreptunghic $ABMT$ este:
  $${\mathcal{A}}_{ABMT}=\frac{(AB+TM)\cdot BM}{2}=\frac{(6+4)\cdot 2\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$$ (1p)

---

Subiectul III, 5)

a)

• În pătratul $ABCD$, laturile sunt egale: $AB=AD=8\text{ cm}$ și toate unghiurile sunt drepte ($90^{\circ }$).
• În triunghiul dreptunghic $ABT$ ($\sphericalangle A=90^{\circ }$):
  $$\sphericalangle ABT=30^{\circ }⟹\sphericalangle ATB=60^{\circ }$$
• În triunghiul dreptunghic $AMB$ ($\sphericalangle AMB=90^{\circ }$, deoarece $AM\perp BT$):
  $$\sphericalangle ABM=30^{\circ }⟹\sphericalangle MAB=60^{\circ }$$
• Deoarece $\sphericalangle DAB=90^{\circ }$, obținem:
  $$\sphericalangle SAD=90^{\circ }-\sphericalangle MAB=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$$ (1p)
• Comparăm triunghiurile dreptunghice $△TBA$ (în $A$) și $△SAD$ (în $D$):
  • $\sphericalangle TAB=\sphericalangle SDA=90^{\circ }$
  • $AB=AD=8\text{ cm}$ (catete congruente)
  • $\sphericalangle ABT=\sphericalangle DAS=30^{\circ }$ (unghiuri ascuțite congruente)
• Conform cazului de congruență Catetă-Unghi alăturat (C.U.), $△TBA\equiv △SAD$.
• Rezultă că $AT=DS$. (1p)

b)

• În triunghiul dreptunghic $AMB$ ($\sphericalangle AMB=90^{\circ }$, $\sphericalangle ABM=30^{\circ }$):
  $$AM=\frac{AB}{2}=\frac{8}{2}=4\text{ cm}$$ (1p)
• Fie $MQ\perp AD$, cu $Q\in AD$. În triunghiul dreptunghic $AQM$ ($\sphericalangle AQM=90^{\circ }$):
  • $\sphericalangle MAQ=\sphericalangle SAD=30^{\circ }$.
  • Cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ este $MQ=\frac{AM}{2}=\frac{4}{2}=2\text{ cm}$.
  • Cateta alăturată este $AQ=AM\cdot \cos (30^{\circ })=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\text{ cm}$.
• Deoarece $AD=8\text{ cm}$, lungimea segmentului $DQ$ este:
  $$DQ=AD-AQ=8-2\sqrt{3}=2(4-\sqrt{3})\text{ cm}$$ (1p)
• În triunghiul dreptunghic $MQD$, ipotenuza este $DM$, iar $DQ$ este catetă. Într-un triunghi dreptunghic ipotenuza este strict mai mare decât oricare catetă, deci:
  $$DM>DQ⟹DM>2(4-\sqrt{3})\text{ cm}$$ (1p)

---

Subiectul III, 6)

a)

• În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, fețele sunt pătrate cu latura de $4\text{ cm}$.
• Baza $ABCD$ este un pătrat cu $AB=BC=4\text{ cm}$.
• Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$, deci $MB=\frac{AB}{2}=\frac{4}{2}=2\text{ cm}$. (1p)
• Triunghiul $CBM$ este dreptunghic în $B$. Aplicăm teorema lui Pitagora:
  $$CM=\sqrt{M{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\text{ cm}$$ (1p)

b)

• Fie $S$ mijlocul muchiei $A^{\prime }{D}^{\prime }$.
• Deoarece $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este pătrat de latură $4\text{ cm}$, diagonalele sale se înjumătățesc în $O$. Punctul $O$ este mijlocul lui $B^{\prime }{D}^{\prime }$.
• În triunghiul $A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }$, segmentul $SO$ unește mijloacele laturilor $A^{\prime }{D}^{\prime }$ și $B^{\prime }{D}^{\prime }$, deci $SO$ este linie mijlocie:
  $$SO\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }\text{și}SO=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{2}=2\text{ cm}$$
• Dar $M$ este mijlocul lui $AB$, deci $MB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$ și $MB=\frac{AB}{2}=2\text{ cm}$.
• Rezultă $SO\parallel MB$ și $SO=MB$, ceea ce înseamnă că patrulaterul $SOBM$ este paralelogram.
• Prin urmare, $BO\parallel MS$, de unde măsura unghiului dintre dreptele $BO$ și $MP$ este egală cu măsura unghiului dintre $MS$ și $MP$:
  $$\sphericalangle (BO,MP)=\sphericalangle (MS,MP)=\sphericalangle SMP$$ (1p)
• Calculăm lungimile laturilor triunghiului $SMP$:
  • $M$ este mijlocul lui $AB$, $S$ este mijlocul lui $A^{\prime }{D}^{\prime }$, $P$ este mijlocul lui $C{C}^{\prime }$.
  • În mod similar, $S{M}^2=A{A}^{\prime 2}+A{M}^2+A^{\prime }{S}^2$ (sau prin triunghiul dreptunghic corespunzător):
    $$SM=\sqrt{4^2+2^2+2^2}=\sqrt{16+4+4}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\text{ cm}$$
  • Pentru $MP$: $M$ este mijlocul lui $AB$, $P$ este mijlocul lui $C{C}^{\prime }$:
    $$MP=\sqrt{B{C}^2+M{B}^2+C{P}^2}=\sqrt{4^2+2^2+2^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\text{ cm}$$
  • Pentru $SP$: $S$ este mijlocul lui $A^{\prime }{D}^{\prime }$, $P$ este mijlocul lui $C{C}^{\prime }$:
    $$SP=\sqrt{C^{\prime }{D}^{\prime 2}+D^{\prime }{S}^2+C^{\prime }{P}^2}=\sqrt{4^2+2^2+2^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\text{ cm}$$
  • Astfel, $SM=MP=PS=2\sqrt{6}\text{ cm}$. (1p)
• Triunghiul $SMP$ este echilateral, deci toate unghiurile sale au măsura de $60^{\circ }$.
• Rezultă că $\sphericalangle (MS,MP)=\sphericalangle SMP=60^{\circ }$, deci măsura unghiului dreptelor $BO$ și $MP$ este de $60^{\circ }$. (1p)

EVALUAREA NAȚIONALĂ PENTRU ABSOLVENȚII CLASEI a VIII-a

Anul școlar 2024 – 2025
Matematică
Varianta 2

---

• Toate subiectele sunt obligatorii.
• Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de două ore.

---

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Cel mai mare număr întreg de două cifre este:

• a) $-99$
• b) $-10$
• c) $10$
• d) $99$

5p 2. Știind că \frac{x - 1}{7} = rac{y}{2}, rezultatul calculului $2x-7y$ este egal cu:

• a) $0$
• b) $1$
• c) $2$
• d) $5$

5p 3. Luni, temperatura înregistrată la ora 9 la o stație meteo a fost de $-4^{\circ }\text{C}$, iar marți, la aceeași oră, au fost înregistrate $2^{\circ }\text{C}$. Temperatura înregistrată marți este mai mare decât temperatura înregistrată luni cu:

• a) $-6^{\circ }\text{C}$
• b) $-2^{\circ }\text{C}$
• c) $2^{\circ }\text{C}$
• d) $6^{\circ }\text{C}$

5p 4. Dintre numerele $\frac{7}{2}$, $\frac{7}{3}$, $\frac{7}{4}$ și $\frac{7}{5}$, cel mai mic este:

• a) $\frac{7}{5}$
• b) $\frac{7}{4}$
• c) $\frac{7}{3}$
• d) $\frac{7}{2}$

5p 5. Patru elevi, Elena, Sofia, Petrică și Tudor, calculează produsul numerelor $a=\sqrt{5}-2$ și $b=\sqrt{5}+2$, iar rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Elena	Sofia	Petrică	Tudor
$9$	$7$	$3$	$1$

Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de:

• a) Elena
• b) Sofia
• c) Petrică
• d) Tudor

5p 6. În diagrama de mai jos sunt prezentate informații despre numărul de cărți vândute într-o librărie în primele cinci luni ale anului 2025.

[Figura: Diagramă cu bare reprezentând numărul de cărți vândute: Ianuarie (1500), Februarie (2000), Martie (500), Aprilie (2500), Mai (1500)]

Afirmația: „Conform informațiilor din diagramă, cele mai multe cărți au fost vândute în luna aprilie.” este:

• a) adevărată
• b) falsă

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura alăturată, punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $AB=4\text{ cm}$ și $BC=14\text{ cm}$. Știind că punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$, iar punctul $N$ este mijlocul segmentului $BC$, lungimea segmentului $MN$ este egală cu:

[Figura: Punctele $A$, $M$, $B$, $N$, $C$ coliniare în această ordine pe o dreaptă]

• a) $9\text{ cm}$
• b) $7\text{ cm}$
• c) $4\text{ cm}$
• d) $2\text{ cm}$

5p 2. În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile congruente $AOB$, $BOC$ și $COA$. Măsura unghiului $AOB$ este egală cu:

[Figura: Trei semidrepte $OA$, $OB$, $OC$ ce formează trei unghiuri congruente în jurul punctului $O$]

• a) $60^{\circ }$
• b) $90^{\circ }$
• c) $120^{\circ }$
• d) $150^{\circ }$

5p 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel $ABC$, cu $AC=BC$ și măsura unghiului $ACB$ este de $40^{\circ }$. Punctele $A$, $B$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine. Măsura unghiului $CBD$ este egală cu:

[Figura: Triunghiul isoscel $ABC$ cu $AC=BC$, $\sphericalangle ACB=40^{\circ }$, și punctul $D$ situat pe prelungirea laturii $AB$ dincolo de $B$]

• a) $40^{\circ }$
• b) $70^{\circ }$
• c) $100^{\circ }$
• d) $110^{\circ }$

5p 4. În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$, cu $AD=BD=4\sqrt{2}\text{ cm}$. Măsura unghiului $ADB$ este egală cu $90^{\circ }$. Lungimea segmentului $CD$ este egală cu:

[Figura: Paralelogramul $ABCD$, cu segmentul $BD$ trasat astfel încât $\sphericalangle ADB=90^{\circ }$]

• a) $4\text{ cm}$
• b) $4\sqrt{2}\text{ cm}$
• c) $4\sqrt{3}\text{ cm}$
• d) $8\text{ cm}$

5p 5. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ și raza de $10\text{ cm}$. Triunghiul echilateral $ABC$ este înscris în acest cerc. Lungimea laturii triunghiului echilateral $ABC$ este egală cu:

[Figura: Triunghiul echilateral $ABC$ înscris într-un cerc de centru $O$]

• a) $10\sqrt{2}\text{ cm}$
• b) $15\text{ cm}$
• c) $10\sqrt{3}\text{ cm}$
• d) $20\text{ cm}$

5p 6. În figura alăturată este reprezentată o sferă cu raza de $3\text{ cm}$. Volumul sferei este egal cu:

[Figura: O sferă cu raza marcată de $3\text{ cm}$]

• a) $108\pi {\text{ cm}}^3$
• b) $36\pi {\text{ cm}}^3$
• c) $27\pi {\text{ cm}}^3$
• d) $12\pi {\text{ cm}}^3$

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrieți rezolvările complete. (30 de puncte)

1. Doi copii, Alin și Maria, au împreună o sumă de bani $S$. Sumele de bani ale fiecărui copil sunt exprimate prin numere naturale. Dacă Alin ar cheltui $10$ lei, atunci lui Alin i-ar rămâne de două ori mai puțini bani decât are Maria.

• (2p) a) Este posibil ca suma $S$ să fie egală cu $140$ de lei? Justifică răspunsul dat.
• (3p) b) Determină suma $S$, știind că, dacă Maria i-ar da $15$ lei lui Alin, atunci cei doi copii ar avea sume egale de bani.

2. Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{1}{x^2-4}+\frac{1}{x+2}\right):\frac{1}{x^3-4x}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$, $x\ne -2$ și $x\ne 2$.

• (2p) a) Arată că $\frac{1}{x^2-4}+\frac{1}{x+2}=\frac{x-1}{(x+2)(x-2)}$, pentru orice număr real $x$, $x\ne -2$ și $x\ne 2$.
• (3p) b) Arată că numărul $N=E(\sqrt{2}-1)+3\cdot E(\sqrt{2}+1)$ este natural.

3. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2-x$.

• (2p) a) Arată că $f(1)\cdot f(0)=2$.
• (3p) b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele $Ox$ și $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$ în punctele $A$, respectiv $B$. Determină distanța de la punctul $C(0,-4)$ la dreapta $AB$.

4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $ABC$, cu $AB=6\text{ cm}$. Punctul $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$ și punctul $M$ este simetricul punctului $A$ față de punctul $G$.

[Figura: Triunghiul echilateral $ABC$, cu centrul de greutate $G$, punctul $M$ simetricul lui $A$ față de $G$, și punctul $T$ situat pe $AC$]

• (2p) a) Arată că măsura unghiului $ACM$ este egală cu $90^{\circ }$.
• (3p) b) Bisectoarea unghiului $AMC$ intersectează dreapta $AC$ în punctul $T$. Arată că aria patrulaterului $ABMT$ este egală cu $10\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$.

5. În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$, cu $AB=8\text{ cm}$. Punctul $T$ aparține laturii $AD$, astfel încât măsura unghiului $ABT$ este egală cu $30^{\circ }$. Perpendiculara din punctul $A$ pe dreapta $BT$ intersectează dreptele $BT$ și $DC$ în punctele $M$, respectiv $S$.

[Figura: Pătratul $ABCD$, punctul $T$ pe $AD$, dreapta $BT$, segmentul $AS\perp BT$ cu $M\in BT$ și $S\in DC$]

• (2p) a) Demonstrează că segmentele $AT$ și $DS$ sunt congruente.
• (3p) b) Arată că $DM>2(4-\sqrt{3})\text{ cm}$.

6. În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cu $AB=4\text{ cm}$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$ și punctul $P$ este mijlocul segmentului $C{C}^{\prime }$.

[Figura: Cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $M$ mijlocul lui $AB$, $P$ mijlocul lui $C{C}^{\prime }$, și $O$ intersecția diagonalelor $A^{\prime }{C}^{\prime }$ și $B^{\prime }{D}^{\prime }$]

• (2p) a) Arată că lungimea segmentului $CM$ este egală cu $2\sqrt{5}\text{ cm}$.
• (3p) b) Arată că măsura unghiului dreptelor $BO$ și $MP$ este egală cu $60^{\circ }$, unde $A^{\prime }{C}^{\prime }\cap B^{\prime }{D}^{\prime }=\{O\}$.