Evaluare Națională 2025, matematică: sesiunea specială

Subiectul I

1. Calculăm conform ordinii operațiilor (înmulțirea are prioritate):
$$25-5\cdot 3=25-15=10$$
Răspuns corect: b) (5p)

---

2. $50\%$ dintr-un număr înseamnă jumătatea numărului:
$$\frac{50}{100}\cdot 400=\frac{1}{2}\cdot 400=200$$
Răspuns corect: d) (5p)

---

3. Intervalul este $(-3,5]$, ceea ce înseamnă că $-3$ nu aparține intervalului, capătul fiind deschis.
Numerele întregi din acest interval sunt $\{-2,-1,0,1,2,3,4,5\}$.
Cel mai mic număr întreg este $-2$.
Răspuns corect: b) (5p)

---

4. Rezolvăm inecuația:
$$3x-1\ge 5⟺3x\ge 6⟺x\ge 2$$
Mulțimea soluțiilor este intervalul $[2,+\infty )$.
Răspuns corect: c) (5p)

---

5. Folosim formula diferenței de pătrate $(u+v)(u-v)=u^2-v^2$:
$$a\cdot b=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2=3-2=1$$
Rezultatul 1 a fost obținut de Petrică.
Răspuns corect: c) (5p)

---

6. Durata deplasării este:
$$t=14:00-12:00=2\text{ ore}$$
Distanța parcursă cu viteza medie de $80\text{ km/h}$ este:
$$d=v\cdot t=80\text{ km/h}\cdot 2\text{ h}=160\text{ km}$$
Afirmația lui Mihai este adevărată.
Răspuns corect: a) (5p)

---

Subiectul al II-lea

1. Punctele fiind coliniare în ordinea $A,M,B,N,C$:
$$AC=AB+BC$$
Deoarece $M$ este mijlocul lui $AB$, $MB=\frac{AB}{2}$.
Deoarece $N$ este mijlocul lui $BC$, $BN=\frac{BC}{2}$.
Atunci:
$$MN=MB+BN=\frac{AB}{2}+\frac{BC}{2}=\frac{AB+BC}{2}=\frac{AC}{2}=\frac{16}{2}=8\text{ cm}$$
Răspuns corect: b) (5p)

---

2. Dreptele $AB$ și $CD$ sunt perpendiculare în $O$, deci $\sphericalangle BOC=90^{\circ }$ și $\sphericalangle AOC=90^{\circ }$.
$OM$ fiind bisectoarea unghiului $\sphericalangle BOC$:
$$\sphericalangle COM=\frac{90^{\circ }}{2}=45^{\circ }$$
Unghiul $\sphericalangle AOM$ este suma unghiurilor adiacente $\sphericalangle AOC$ și $\sphericalangle COM$:
$$\sphericalangle AOM=\sphericalangle AOC+\sphericalangle COM=90^{\circ }+45^{\circ }=135^{\circ }$$
Răspuns corect: c) (5p)

---

3. Triunghiul $ABC$ este echilateral cu latura de lungime $4\text{ cm}$, deci $AB=AC=BC=4\text{ cm}$ și $\sphericalangle A=60^{\circ }$.
Punctul $P$ este mijlocul lui $AB$, prin urmare:
$$AP=\frac{AB}{2}=\frac{4}{2}=2\text{ cm}$$
Distanța de la $P$ la $AC$ este lungimea perpendicularei $P{P}^{\prime }\perp AC$, cu $P^{\prime }\in AC$.
În triunghiul dreptunghic $A{P}^{\prime }P$ (cu $\sphericalangle A{P}^{\prime }P=90^{\circ }$):
$$P{P}^{\prime }=AP\cdot \sin (\sphericalangle A)=2\cdot \sin 60^{\circ }=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\text{ cm}$$
Răspuns corect: b) (5p)

---

4. Diagonala $AC$ împarte paralelogramul $ABCD$ în două triunghiuri de arii egale:
$${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{1}{2}{\mathcal{A}}_{ABCD}$$
În triunghiul $ABC$, $O$ este mijlocul lui $AC$, deci $BO$ este mediană, împărțind triunghiul în două triunghiuri de arii egale:
$${\mathcal{A}}_{BOC}=\frac{1}{2}{\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{1}{4}{\mathcal{A}}_{ABCD}$$
În triunghiul $BOC$, $S$ este mijlocul lui $BC$, deci $OS$ este mediană:
$${\mathcal{A}}_{COS}=\frac{1}{2}{\mathcal{A}}_{BOC}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}{\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{1}{8}{\mathcal{A}}_{ABCD}$$
Raportul cerut este:
$$\frac{{\mathcal{A}}_{COS}}{{\mathcal{A}}_{ABCD}}=\frac{1}{8}$$
Răspuns corect: a) (5p)

---

5. Raza cercului este $R=\frac{AB}{2}=\frac{50}{2}=25\text{ cm}$, sau folosim formula directă cu diametrul $d=50\text{ cm}$:
$$L=2\pi R=\pi \cdot d=50\pi \text{ cm}$$
Răspuns corect: c) (5p)

---

6. Baza prismei drepte este un triunghi echilateral cu latura $l=AB=6\text{ cm}$, iar înălțimea este $h=A{A}^{\prime }=6\text{ cm}$.
Perimetrul bazei este:
$$P_b=3\cdot l=3\cdot 6=18\text{ cm}$$
Aria laterală este:
$${\mathcal{A}}_l=P_b\cdot h=18\cdot 6=108{\text{ cm}}^2$$
Răspuns corect: b) (5p)

---

Subiectul al III-lea

1. a) Notăm cu $A$ numărul alunelor din coșul lui Alin și cu $I$ numărul alunelor din coșul Ioanei.
Dacă Alin primește 4 alune de la Ioana, Alin va avea $A+4$ alune, iar Ioana va avea $I-4$ alune.
Conform ipotezei:
$$I-4=3(A+4)$$
Dacă Ioana ar avea în coș $I=45$ de alune, ecuația devine:
$$45-4=3(A+4)⟹41=3(A+4)⟹A+4=\frac{41}{3}$$ (1p)
Deoarece $\frac{41}{3}\notin \mathbb{N}$, numărul $A=\frac{41}{3}-4=\frac{29}{3}$ nu este număr natural, ceea ce este imposibil (numărul alunelor trebuie să fie număr natural).
Deci nu este posibil ca Ioana să aibă în coș exact 45 de alune. (1p)

b) Din prima condiție:
$$3(A+4)=I-4⟺3A+12=I-4⟺I=3A+16$$ (1p)
Dacă Ioana primește 2 alune de la Alin, Alin rămâne cu $A-2$ alune, iar Ioana are $I+2$ alune. Alin ar avea de 6 ori mai puține alune decât Ioana:
$$I+2=6(A-2)⟺I+2=6A-12⟺I=6A-14$$ (1p)
Egalând cele două expresii ale lui $I$:
$$6A-14=3A+16⟺3A=30⟺A=10$$
Aflăm numărul de alune din coșul Ioanei:
$$I=3\cdot 10+16=46$$
Deci Ioana are în coș $46$ de alune. (1p)

---

2. a) Desfacem parantezele membrului drept sau descompunem membrul stâng:
$$x^2+2x-3=x^2-x+3x-3$$ (1p)
$$=x(x-1)+3(x-1)=(x-1)(x+3)$$, pentru orice număr real $x$. (1p)

b) Aducem la numitor comun în paranteză, folosind $x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$:
$$\frac{x+3}{x-1}+\frac{4x}{x^2+2x-3}=\frac{(x+3{)}^2+4x}{(x-1)(x+3)}=\frac{x^2+6x+9+4x}{(x-1)(x+3)}=\frac{x^2+10x+9}{(x-1)(x+3)}$$
Descompunem numărătorul: $x^2+10x+9=(x+1)(x+9)$.
Atunci expresia devine:
$$E(x)=\frac{(x+1)(x+9)}{(x-1)(x+3)}:\frac{x+9}{x-1}=\frac{(x+1)(x+9)}{(x-1)(x+3)}\cdot \frac{x-1}{x+9}=\frac{x+1}{x+3}$$ (1p)
Calculăm valorile expresiei:
$$E(3)=\frac{3+1}{3+3}=\frac{4}{6}$$
$$E(4)=\frac{4+1}{4+3}=\frac{5}{7}$$
$$E(5)=\frac{5+1}{5+3}=\frac{6}{8}$$
$$E(6)=\frac{6+1}{6+3}=\frac{7}{9}$$
Produsul acestora este:
$$E(3)\cdot E(4)\cdot E(5)\cdot E(6)=\frac{4}{6}\cdot \frac{5}{7}\cdot \frac{6}{8}\cdot \frac{7}{9}=\frac{4\cdot 5}{8\cdot 9}=\frac{20}{72}=\frac{5}{18}$$ (1p)
Calculăm $T$:
$$T=\sqrt{90\cdot \frac{5}{18}}=\sqrt{5\cdot 5}=\sqrt{25}=5$$
Deoarece $5\in \mathbb{N}$, numărul $T$ este natural. (1p)

---

3. a) Calculăm valoarea funcției în punctul $x=4$:
$$f(4)=\frac{1}{2}\cdot 4-2=2-2=0$$ (1p)
Atunci:
$$f(4)\cdot f(6)=0\cdot f(6)=0$$ (1p)

b) Determinăm coordonatele punctelor de intersecție ale graficului cu axele de coordonate:

• Intersecția cu axa $Ox$: $f(x)=0⟺\frac{1}{2}x-2=0⟺x=4$, deci $A(4,0)$.
• Intersecția cu axa $Oy$: $f(0)=-2$, deci $B(0,-2)$. (1p)

Punctul $C$ are coordonatele $C(0,3)$.
Calculăm lungimile laturilor triunghiului $ABC$:

• $AC=\sqrt{(4-0{)}^2+(0-3{)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$
• Punctele $B$ și $C$ se află ambele pe axa $Oy$, deci $BC=|y_C-y_B|=|3-(-2)|=5$
• $AB=\sqrt{(4-0{)}^2+(0-(-2){)}^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ (1p)

Deoarece $AC=BC=5$, triunghiul $ACB$ este isoscel de bază $AB$.
Fie $M$ mijlocul laturii $AB$. Mediana din $C$ este segmentul $CM$.
Într-un triunghi isoscel, mediana corespunzătoare bazei este și înălțime, deci $CM\perp AB$.
În triunghiul dreptunghic $AMC$, aplicând teorema lui Pitagora:
$$AM=\frac{AB}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$$
$$CM=\sqrt{A{C}^2-A{M}^2}=\sqrt{5^2-(\sqrt{5}{)}^2}=\sqrt{25-5}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$$
Deci lungimea medianei din $C$ este egală cu $2\sqrt{5}$. (1p)

---

4. a) În triunghiul $AHC$, punctul $M$ este proiecția punctului $H$ pe dreapta $AC$, ceea ce înseamnă că segmentul $HM$ este înălțime în triunghiul $AHC$ corespunzătoare bazei $AC$ ($HM\perp AC$). (1p)
Aria triunghiului este:
$${\mathcal{A}}_{AHC}=\frac{AC\cdot HM}{2}=\frac{9\cdot 2}{2}=9{\text{ cm}}^2$$ (1p)

b) Punctul $H$ fiind ortocentrul triunghiului $ABC$, dreapta $AH$ conține înălțimea din $A$, deci $AD\perp BC$, unde $D\in BC$.
Comparăm triunghiurile dreptunghice $△AHM$ și $△ACD$:

• $\sphericalangle AMH=\sphericalangle ADC=90^{\circ }$
• $\sphericalangle HAM=\sphericalangle CAD$ (unghi comun)
  Rezultă că $△AHM\sim △ACD$ (cazul de asemănare U.U.). (1p)

Din asemănarea triunghiurilor obținem raportul laturilor omoloage:
$$\frac{AH}{AC}=\frac{HM}{CD}$$
Știind că $AH=2\cdot CD$, $AC=9\text{ cm}$ și $HM=2\text{ cm}$, înlocuim:
$$\frac{2\cdot CD}{9}=\frac{2}{CD}$$ (1p)
$$2\cdot C{D}^2=18⟺C{D}^2=9⟺CD=3\text{ cm}$$ (1p)

---

5. a) $ABCD$ fiind pătrat, triunghiul $ABC$ este dreptunghic isoscel în $B$, deci:
$$\sphericalangle ACB=45^{\circ }$$ (1p)
Triunghiul $BCQ$ este dreptunghic isoscel cu $QB=QC$, deci $\sphericalangle BQC=90^{\circ }$, iar unghiurile ascuțite sunt:
$$\sphericalangle BCQ=\sphericalangle QBC=45^{\circ }$$
Punctul $Q$ fiind în exteriorul pătratului, unghiul $\sphericalangle ACQ$ este format din alăturarea celor două unghiuri:
$$\sphericalangle ACQ=\sphericalangle ACB+\sphericalangle BCQ=45^{\circ }+45^{\circ }=90^{\circ }$$ (1p)

b) Fie $O$ punctul de intersecție a diagonalelor pătratului $ABCD$. Diagonalele pătratului sunt perpendiculare, deci $AC\perp BD$, adică $\sphericalangle DOC=90^{\circ }$.
Din punctul a) avem $\sphericalangle ACQ=90^{\circ }$, deci $CQ\perp AC$.
Cum $DO\perp AC$ și $CQ\perp AC$, rezultă că $DO\parallel CQ$. (1p)

Triunghiurile dreptunghice isoscele $OCB$ și $QCB$ au aceeași ipotenuză comună $BC$, deci $△OCB\equiv △QCB$.
Rezultă că $CO=CQ$.
În pătrat, jumătățile diagonalelor sunt congruente, deci $DO=CO$.
Prin urmare, $DO=CQ$.
Având $DO\parallel CQ$ și $DO=CQ$, rezultă că patrulaterul $DOQC$ este paralelogram. (1p)

În paralelogramul $DOQC$, diagonalele $DQ$ și $OC$ se taie în părți egale la mijlocul lor. Deoarece $T$ este intersecția dreptelor $AC$ și $DQ$, rezultă că $T$ este mijlocul segmentului $OC$, adică:
$$OT=TC=\frac{CO}{2}$$
Calculăm lungimea segmentului $AT$:
$$AT=AO+OT=CO+\frac{CO}{2}=\frac{3\cdot CO}{2}=3\cdot \frac{CO}{2}=3\cdot TC$$ (1p)

---

6. a) Volumul cubului cu muchia $AB=6\text{ cm}$ este:
$$V=A{B}^3$$ (1p)
$$V=6^3=216{\text{ cm}}^3$$ (1p)

b) Punctul $P$ este intersecția dreptei $AN$ cu planul $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$. Deoarece $A,N\in (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, dreapta $AN$ este situată în planul feței $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$. Planul $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ intersectează planul $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ după dreapta $A^{\prime }{B}^{\prime }$. Deci $P\in A^{\prime }{B}^{\prime }$.
În triunghiul dreptunghic $ABN$ și triunghiul dreptunghic $P{B}^{\prime }N$:

• $N$ este mijlocul lui $B{B}^{\prime }$, deci $BN=B^{\prime }N$
• $\sphericalangle ABN=\sphericalangle P{B}^{\prime }N=90^{\circ }$
• $\sphericalangle ANB=\sphericalangle PN{B}^{\prime }$ (unghiuri opuse la vârf)
  Rezultă $△ABN\equiv △P{B}^{\prime }N$ (cazul C.U.), de unde $P{B}^{\prime }=AB=6\text{ cm}$. (1p)

Analog, punctul $Q$ este intersecția dreptei $D^{\prime }M$ cu planul $(ABC)$. Dreapta $D^{\prime }M$ este situată în planul feței $(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$, iar planul $(ABC)$ intersectează $(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$ după dreapta $CD$, deci $Q\in CD$.
Deoarece $M$ este mijlocul lui $C{C}^{\prime }$, triunghiurile dreptunghice $△D^{\prime }{C}^{\prime }M$ și $△QCM$ sunt congruente (C.U.), de unde $QC=D^{\prime }{C}^{\prime }=6\text{ cm}$. (1p)

Analizăm poziția relativă a segmentelor $P{B}^{\prime }$ și $QC$:

• $P{B}^{\prime }$ este pe dreapta $A^{\prime }{B}^{\prime }$, iar $QC$ este pe dreapta $CD$.
• Deoarece $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$ și $AB\parallel CD$, avem $P{B}^{\prime }\parallel QC$.
• De asemenea, $P{B}^{\prime }=6\text{ cm}$ și $QC=6\text{ cm}$, deci $P{B}^{\prime }=QC$.

Patrulaterul $CQP{B}^{\prime }$ are două laturi opuse paralele și egale ($P{B}^{\prime }\parallel QC$ și $P{B}^{\prime }=QC$), prin urmare $CQP{B}^{\prime }$ este paralelogram.
Rezultă că:
$$PQ=B^{\prime }C$$
În triunghiul dreptunghic $B^{\prime }BC$:
$$B^{\prime }C=\sqrt{B{B}^{\prime 2}+B{C}^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}\text{ cm}$$
Deci lungimea segmentului $PQ$ este egală cu $6\sqrt{2}\text{ cm}$. (1p)

Evaluarea Națională pentru absolvenții clasei a VIII-a

Anul școlar 2024 – 2025
Matematică
Varianta 3

---

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Rezultatul calculului $25-5imes3$ este egal cu:
a) $0$
b) $10$
c) $60$
d) $90$

5p 2. Din cei $400$ de pomi fructiferi ai unei livezi, $50\%$ sunt pruni. Numărul prunilor din livadă este egal cu:
a) $40$
b) $50$
c) $100$
d) $200$

5p 3. Cel mai mic număr întreg din intervalul $(-3,5]$ este egal cu:
a) $-3$
b) $-2$
c) $0$
d) $5$

5p 4. Mulțimea soluțiilor reale ale inecuației $3x-1\ge 5$ este:
a) $(-\infty ,2]$
b) $\left(-\infty ,\frac{4}{3}\right]$
c) $[2,+\infty )$
d) $\left[\frac{4}{3},+\infty \right)$

5p 5. Patru elevi, Ioana, Mara, Petrică și Ștefan, calculează produsul numerelor $a=\sqrt{3}+\sqrt{2}$ și $b=\sqrt{3}-\sqrt{2}$, iar rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Ioana	Mara	Petrică	Ștefan
7	5	1	-1

Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de:
a) Ioana
b) Mara
c) Petrică
d) Ștefan

5p 6. O mașină se deplasează în intervalul orar 12:00–14:00 cu o viteză medie de $80\text{ km/h}$. Mihai afirmă că: „În acest interval de timp, mașina a parcurs o distanță egală cu $160\text{ km}$.”. Afirmația lui Mihai este:
a) adevărată
b) falsă

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura alăturată punctele $A$, $B$ și $C$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $AC=16\text{ cm}$. Știind că punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$, iar punctul $N$ este mijlocul segmentului $BC$, lungimea segmentului $MN$ este egală cu:
[Figura: Punctele coliniare A, M, B, N, C pe o dreaptă, în această ordine]
a) $4\text{ cm}$
b) $8\text{ cm}$
c) $12\text{ cm}$
d) $16\text{ cm}$

5p 2. În figura alăturată sunt reprezentate dreptele perpendiculare $AB$ și $CD$. Punctul $O$ este intersecția celor două drepte și semidreapta $OM$ este bisectoarea unghiului $BOC$. Măsura unghiului $AOM$ este egală cu:
[Figura: Dreptele perpendiculare AB și CD intersectate în O, și semidreapta OM situată în interiorul unghiului BOC]
a) $45^{\circ }$
b) $125^{\circ }$
c) $135^{\circ }$
d) $180^{\circ }$

5p 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $ABC$, cu $BC=4\text{ cm}$. Punctul $P$ este mijlocul segmentului $AB$. Distanța de la punctul $P$ la dreapta $AC$ este egală cu:
[Figura: Triunghiul echilateral ABC cu punctul P situat pe latura AB]
a) $1\text{ cm}$
b) $\sqrt{3}\text{ cm}$
c) $2\text{ cm}$
d) $\sqrt{5}\text{ cm}$

5p 4. În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$. Punctul $O$ este mijlocul diagonalei $AC$, iar punctul $S$ este mijlocul laturii $BC$. Raportul dintre aria triunghiului $COS$ și aria paralelogramului $ABCD$ este egal cu:
[Figura: Paralelogramul ABCD cu diagonala AC, mijlocul O al lui AC și mijlocul S al laturii BC]
a) $\frac{1}{8}$
b) $\frac{1}{4}$
c) $4$
d) $8$

5p 5. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ și diametru $AB=50\text{ cm}$. Lungimea acestui cerc este egală cu:
[Figura: Cerc de centru O și diametru AB]
a) $2500\pi \text{ cm}$
b) $100\pi \text{ cm}$
c) $50\pi \text{ cm}$
d) $25\pi \text{ cm}$

5p 6. În figura alăturată este reprezentată o prismă dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, cu baza triunghiul echilateral $ABC$. Dacă $AB=A{A}^{\prime }=6\text{ cm}$, atunci aria laterală a prismei este egală cu:
[Figura: Prismă dreaptă triunghiulară regulată ABCA'B'C']
a) $216{\text{ cm}}^2$
b) $108{\text{ cm}}^2$
c) $54\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$
d) $18\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrieți rezolvările complete. (30 de puncte)

5p 1. Doi copii, Alin și Ioana, au fiecare câte un coș cu alune. Dacă Alin ar primi de la Ioana 4 alune, atunci Ioana ar avea de 3 ori mai multe alune decât Alin.
(2p) a) Este posibil ca Ioana să aibă în coș exact 45 de alune? Justifică răspunsul dat.
(3p) b) Dacă Ioana ar primi de la Alin două alune, atunci Alin ar avea de 6 ori mai puține alune decât Ioana. Determină numărul alunelor din coșul Ioanei.

5p 2. Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{x+3}{x-1}+\frac{4x}{x^2+2x-3}\right):\frac{x+9}{x-1}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -9$, $x\ne -3$ și $x\ne 1$.
(2p) a) Arată că $x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$, pentru orice număr real $x$.
(3p) b) Arată că numărul $T=\sqrt{90\cdot E(3)\cdot E(4)\cdot E(5)\cdot E(6)}$ este natural.

5p 3. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{2}x-2$.
(2p) a) Arată că $f(4)\cdot f(6)=0$.
(3p) b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele $Ox$ și $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$ în punctele $A$, respectiv $B$. Calculează lungimea medianei din $C$ a triunghiului $ABC$, unde $C(0,3)$.

5p 4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, cu $AC=9\text{ cm}$. Punctul $H$ este ortocentrul triunghiului $ABC$, punctul $M$ este proiecția punctului $H$ pe dreapta $AC$ și $HM=2\text{ cm}$.
[Figura: Triunghiul ABC cu ortocentrul H, înălțimea AD, unde D se află pe BC, și segmentul HM perpendicular pe AC]
(2p) a) Arată că aria triunghiului $AHC$ este egală cu $9{\text{ cm}}^2$.
(3p) b) Știind că $AH=2\cdot CD$, unde $\{D\}=AH\cap BC$, determină lungimea segmentului $CD$.

5p 5. În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$ și triunghiul dreptunghic isoscel $BCQ$, cu $QB=QC$, unde punctul $Q$ este situat în exteriorul pătratului.
[Figura: Pătratul ABCD și în exterior triunghiul dreptunghic isoscel BCQ cu QB = QC, diagonala AC intersectează DQ în punctul T]
(2p) a) Arată că măsura unghiului $ACQ$ este egală cu $90^{\circ }$.
(3p) b) Arată că $AT=3\cdot TC$, unde $T$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $DQ$.

5p 6. În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cu $AB=6\text{ cm}$.
[Figura: Cubul ABCDA'B'C'D' cu N mijlocul lui BB', M mijlocul lui CC', AN intersectează planul (A'B'C') în P și D'M intersectează planul (ABC) în Q]
(2p) a) Arată că volumul cubului $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este egal cu $216{\text{ cm}}^3$.
(3p) b) Punctul $N$ este mijlocul segmentului $B{B}^{\prime }$, punctul $M$ este mijlocul segmentului $C{C}^{\prime }$, $AN\cap (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })=\{P\}$ și $D^{\prime }M\cap (ABC)=\{Q\}$. Determină lungimea segmentului $PQ$.